5. FEJEZET
A hegedűktől a videókig
Immár hagyomány lett, ahogy megfigyeltem, szétválasztani a matematikát két
különböző részágazatra, amelyeket a tiszta matematika és alkalmazott
matematika címkével látnak el. Ez a szétválasztás zavarba ejtette volna a
klasszikus idők nagy matematikusait. Carl Friedrich Gauss például
legboldogabb a számelmélet elefántcsottornyában volt, ahol egyszerűen azért
lelte élvezetét az absztrakt numerikus mintákban, mert szépek voltak és
kihívást jelentettek. A számelméletet a "matematika királynőjének" nevezte,
és nem állt tőle távol a poétikus eszménykép, amelyben a királynők finom
szépségek, akik nem szennyezik be a kezüket semmi hasznossal. Ugyanakkor
kiszámította a Ceresnek, az első felfedezett kisbolygónak a pályáját.
Felfedezése után hamarosan a Ceres a Nap mögé került, és nem lehetett
megfigyelni. Hacsak a pályáját nem számítják ki pontosan, a csillagászok nem
találták volna meg, amikor megint látható lett hónapokkal később. Azonban a
megfigyelések száma a kisbolygóra vonatkozóan olyan csekély volt, hogy a
pálya kiszámítására használt szabvány módszerek nem szolgáltatták a kívánt
pontosságot. Így aztán Gauss néhány komoly újítást vezetett be, közülük
egyesek ma is használatosak. Virtuózhoz méltó teljesítmény volt, és
megalapozta jó hírét a nyilvánosság előtt. És nem is ez volt az egyetlen
gyakorlati alkalmazása az ő matematikai munkásságának: többek közt
hozzájárult a fejlődéshez a geodéziai felmérő munkában, a távíró
kifejlesztésében és a mágnesesség megértésében.
Gauss idejében lehetséges volt egyetlen személy számára, hogy az egész
matematikát elég jól értse. Mivel azonban a tudomány összes klasszikus ága
olyan hatalmasat fejlődött, hogy egyetlen elme képtelen akár csak az egyiket
is átfogni, ma a specialisták korát éljük. A matematika megszervezése
hatékonyabb, ha mindenki specializálja magát vagy témájának elméleti
részére, vagy éppen a gyakorlatira. Mivel a matematikusok legtöbbje az
egyikben dolgozik sokkal szívesebben, vagy a másikban, ezek az egyéni
hajlamok tovább erősítik a fenti szétválasztást. Sajnos így a külvilág
számára nagyon indokoltnak látszik a feltevés: a kettő közül csak az
alkalmazott matematika használható; még a név is ezt sugallja. A feltevés
helyes, ha létrehozott matematikai technikákra vonatkozik: végső soron
hasznosat elkerülhetetlenül "alkalmazott"-nak tekintenek, függetlenül attól,
hogy mi az eredete. Nagyon torz képet ad viszont a gyakorlati jelentőségű új
matematika eredetéről. A jó ötletek ritkák, de ugyanolyan gyakran fakadnak a
matematika belső struktúrájáról szőtt képzeletdús ábrándokból, mint egy
konkrét gyakorlati probléma megoldására irányuló próbálkozásokból. Ez a
fejezet éppen egy ilyen fejlesztés esettanulmányával foglalkozik, amelynek
leghatékonyabb alkalmazása a televízió - ez a felfedezés jobban
megváltoztatta életünket, mint bármi más. Ebben a történetben a matematika
tiszta és alkalmazott aspektusai úgy ötvöződnek össze, hogy amit
létrehoznak, sokkal hathatósabb és nagyobb kényszerítő erővel bír, mint
akármelyikük egyedül. Történetünk a 16. században kezdődik a rezgő hegedűhúr
problémájával. Bár ez gyakorlati kérdésnek tűnhet, főleg úgy tanulmányozták,
mint egy differenciálegyenletet; a munkának nem volt célja a hangszerek
minőségének javítása.
Képzeljünk el egy ideális hegedűhúrt, egyenesre kifeszítve két rögzített
tartó között. Mi történik, ha a húrt megrántjuk, elhúzzuk eredeti
helyzetéből, és aztán elengedjük? Ahogy elhúzzuk, rugalmas feszültsége
növekszik, s a keletkező erő a húrt visszahúzza eredeti helyzetébe. Amikor
elengedjük, gyorsulni kezd ennek az erőnek a hatására, Newton
mozgástörvényének megfelelően. Ám ekkor gyorsan mozog, hiszen végig gyorsult
- így túlhaladja az egyenes vonalat és tovább mozog. E ponton a feszültség
az ellenkező irányba húzza, lelassítja, míg végül megáll. S kezdődik az
egész elölről. Ha nem lenne súrlódás, a húr a végtelenségig ide-oda rezegne.
Mindez elfogadható szóbeli leírás; a matematikai elmélet számára az egyik
feladat megállapítani, vajon a fenti forgatókönyv helyes-e, s ha igen,
kiszámítani a részleteket, például a húr alakját, amit az egyes
időpillanatokban felvesz. Ami bonyolult probléma, mert ugyanaz a húr sokféle
módon rezeghet, attól függően, hogyan pendítették meg. Az ókori görögök
tudták ezt, mert kísérleteik megmutatták, hogy a rezgő húr sok különböző
zenei hangot képes kiadni. Későbbi nemzedékek rájöttek, hogy a hang
magasságát a rezgés frekvenciája - a húr ide-oda-mozgásának gyorsasága -
határozza meg, tehát a görögök felfedezése azt árulja el számunkra, hogy
ugyanaz a húr sok különböző frekvenciával tud rezegni. Minden egyes
frekvencia a mozgó húr egy bizonyos alakjának felel meg, és ugyanaz a húr
többféle alakot vehet fel.
A húrok túl gyorsan mozognak ahhoz, hogy szabad szemmel akármilyen
pillanatnyi alakjukat észlelhessük, de a görögök fontos bizonyítékot
találtak arra nézve, hogy a húr sok különböző frekvenciával rezeghet.
Kimutatták, hogy a hangmagasság a csomópontok elhelyezkedésétől függ - ezek
azok a pontok a húr mentén, amelyek mozdulatlanok maradnak. Kipróbálhatjuk
ezt egy hegedűn, bendzsón vagy gitáron. Mikor a húr az "alapfrekvenciáján"
rezeg - vagyis a lehető legmélyebb hangot adja -, csak a végpontok vannak
nyugalomban. Ha ujjunkat a húr közepére tesszük, s így csomópontot képezünk,
majd megpendítjük a húrt, egy oktávval magasabb hangot fog adni. Ha ujjunkat
az egyik harmadolópontra helyezzük, ezzel két csomópontot hozunk létre (a
másik a másik harmadolópont lesz), ekkor még magasabb hangot kapunk. Minél
több csomópont van, annál nagyobb lesz a frekvencia. Általában azt
mondhatjuk, a csomópontok száma egész szám, és egyenlő távolságban
helyezkednek el.
A megfelelő rezgések állóhullámok, olyan hullámok, amelyek föl-le
mozognak, de nem vándorolnak a húr mentén. Eme föl-le mozgás méretét a
hullám amplitúdójának hívják, ez határozza meg a hang erősségét. A hullámok
szinuszhullámok olyan alakúak, mint egy szinuszgörbe, ami ismétlődő, elegáns
alakú hullámvonal; bizonyára emlékeznek még rá a trigonometriából.
1714-ben Brook Taylor angol matematikus írta le a rezgés alapfrekvenciáit
a húr hosszának, feszültségének és sűrűségének függvényében. 1746-ban Jean
Le Rond d'Alembert kimutatta, hogy a hegedűhúr sok rezgése nem álló
szinuszhullám. Egyúttal azt is megmutatta, hogy a hullám pillanatnyi alakja
bármilyen lehet. 1748-ban, válaszképpen d'Alembert munkájára, a termékeny
svájci matematikus, Leonhard Euler felállította a húr "hullámegyenletét". Ez
a húr alakjának változásmértékét leíró, Isaac Newton szellemében fogant,
differenciálegyenlet. Valójában "parciális differenciálegyenlet", ami azt
jelenti, hogy nemcsak az időre vonatkozó változásmértéket, hanem a térre
vonatkozót is tartalmazza - ez a húr irányát jelenti. Azt fejezi ki a
matematika nyelvén, hogy a húr minden egyes kis szakaszának gyorsulása
arányos a szakaszra ható feszítőerővel, ami Newton mozgástörvényéből adódik.
Euler nemcsak felállította a hullámegyenletet, meg is oldotta. Megoldása
elmagyarázható szavakban is. Először, deformáljuk a húrt olyan alakra,
amilyenre csak akarjuk - lehet ez parabola, háromszög vagy valamilyen ide-
oda tekergőző, magunk kieszelte alakzat. Ezután képzeljük el, hogy ez az
alak tovaterjed a húr mentén jobb felé. Nevezzük ezt jobb felé utazó
hullámnak. Majd "állítsuk feje tetejére" az eredeti alakot, és képzeljük el,
hogy a másik irányba terjed tova, és bal felé utazó hullámot alkot. Végül
rakjuk egymásra ("szuperponáljuk") a két hullámalakot. Ez a folyamat elvezet
a hullámegyenlet összes olyan megoldásához, amiben a húr két végpontja
rögzített.
Röviddel ezután Euler vitába keveredett Daniel Bernoullival, akinek
családja Antwerpenből származott, de Németországba, aztán Svájcba települt
át, a vallási üldöztetés elől. Bernoulli ugyancsak megoldotta a
hullámegyenletet, de teljesen más módszerrel. Szerinte a legáltalánosabb
megoldás úgy állítható elő, mint végtelen sok álló szinuszhullám
szuperpozíciója. Ez a látszólagos egyet nem értés egy évszázadig tartó
polémia leezdete volt, ami úgy oldódott fel, hogy kiderült: mind Eulernek,
mind Bernoullinak igaza volt. Ennek magyarázata, hogy minden periodikusan
változó alak előállítható végtelen sok szinuszgörbe szuperpozíciójaként.
Euler azt hitte, hogy az ő megközelítése az alakzatok nagyobb bőségéhez
vezet, mert nem ismerte fel periodicitásukat. A matematikai analízis azonban
végtelen hosszú görbékkel dolgozik. Mivel csak a görbe két végpont közötti
része fontos, periodikusan ismételhető akármeddig egy végtelen húr mentén,
lényeges változás nélkül. Euler aggodalmai tehát alaptalannak bizonyultak.
Ennek az egész munkának az a tanulsága, hogy a szinuszhullámok az
alapvető rezgési komponensek. A rezgési lehetőségek teljessége megkapható
úgy is, hogy az összes lehetséges véges és végtelen összegét képezzük az
öszes lehetséges frekvenciájú szinuszhullámnak. Ahogyan Daniel Bernoulli
mindig is hangoztatta: "minden d'Alembert és Euler által adott új görbe csak
a Taylor-féle rezgések kombinációja".
Ennek a polémiának a feloldásával a hegedűhúr rezgései elvesztették
rejtélyességüket, ezért a matematikusok nagyobb vadat kerestek. A hegedűhúr
egy görbe - egydimenziós objektum -, de többdimenziós objektumok is
rezeghetnek. A legközönségesebb hangszer, amely kétdimenziós rezgést
produkál, a dob, mert a dob bőre felület, nem pedig egyenes vonal. A
matematikusok tehát figyelmüket a dobok felé fordították, élükön Eulerrel.
Euler 1759-ben megint levezetett egy hullámegyenletet, amely ezúttal leírta,
hogyan változik a dob-bőr egyes pontjainak magassága az időben. Fizikai
interpretációja szerint a dob valamely kis részletének gyorsulása egyenesen
arányos a környező részek által rá gyakorolt átlagos húzóerővel:
szimbolikusan ez nagyon hasonlít az egydimenziós hullámegyenletre; csak most
térbeli (másodrendű) változásmértékek is szerepelnek két független irányban
az időre vonatkozó változásmérték mellett.
A hegedűhúrok végei rögzítettek. Ez a "peremfeltétel" igen fontos:
meghatározza, hogy a hullámegyenletnek milyen fizikai megoldásai
lehetségesek a hegedűhúrra nézve. Ebben az egész tárgykörben perdöntőek a
határok. A dobok nemcsak dimenziójukban különböznek a hegedűhúroktól, hanem
a határuk is sokkal érdekesebb, a dob határa zárt görbe: kör. Ugyanakkor,
éppúgy, mint a húrnál, a dob határa is rögzített: a dob bőrének többi része
mozoghat, de a peremre rá van feszítve. A perem feltétel leszűkíti a dob-bőr
mozgási lehetőségeit. A hegedűhúr két elszigetelt végpontja nem ad olyan
érdekes és változatos peremfeltételt, mint egy zárt görbe; a határ igazi
szerepe csak két és több dimenzióban válik nyilvánvalóvá.
Ahogy a 18. század matematikusai egyre jobban értették a
hullámegyenletet, meg tudták oldani a különböző alakú dobok mozgására. Ekkor
azonban a hullámegyenlet kilépett a zene területéről és a matematikai fizika
központi kérdése lett. A valaha kidolgozott matematikai képletek közül
valószínűleg ez lett a legfontosabb - Einstein híres tömeg-energia
relációjával is dacolva. Ami történt, igen jellemző példa arra, hogyan
bontja ki a matematika a természet rejtett egységét. Ugyanaz az egyenlet
bukkant fel mindenütt. Feltűnt a folyadékok dinamikájában, ahol leírta a víz
hullámainak kiformálódását és mozgását. Megjelent a hangtanban, ahol leírta,
hogyan terjednek a hanghullámok - a légrezgések, melyek során a levegő
molekulái hol közelednek egymáshoz, hol szétválnak. És jelentkezett az
elektromosság, valamint a mágnesesség elméletében, miközben örökre
megváltoztatta az emberi kultúrát.
Az elektromosságnak és a mágnesességnek hosszú és bonyolult a története,
sokkal bonyolultabb, mint a hullámegyenletnek; véletlen felfedezések,
kuksszerepet játszó kísérletek és matematikai, illetve fizikai elméletek
tarkítják. E történet William Gilberttel, I. Erzsébet fizikusával kezdődik,
aki gigászi mágnesként írta le a Földet, és megfigyelte, hogy az
elektromosan feltöltött testek vonzzák vagy taszítják egymást. Folytatását
olyan nevek fémjelzik, mint Benjamin Franklin, aki 1752-ben, zivatarban
papírsárkányt föleresztve bebizonyította, hogy a villámlás az elektromosság
egyik formája; meg Luigi Galvani, aki észrevette, hogy az élettelen béka
combizmai összehúzódnak villamos szikra hatására; valamint Alessandro Volta,
aki feltalálta az első elektromos telepet. E korai fejlődés idején az
elektromosságot és a mágnesességet végig két teljesen különböző természeti
jelenségnek tekintették.
Aki egységben kezdte látni a kettőt, az Michael Faraday angol fizikus és
kémikus volt. Faraday a londoni Royal Institutionnál állt alkalmazásban,
feladata többek között az volt, hogy az intézet természettudományos
érdeklődésű tagjait minden héten kísérletekkel szórakoztassa. Az új
ötleteknek ez a folytonos kényszere Faradayt minden idők egyik legnagyobb
kísérleti fizikusává tette. Különösen lelkesedett az elektromosságért és a
mágnesességért, mert tudta, hogy az elektromos áram mágneses erőt kelt. Tíz
évet töltött azzal, hogy bebizonyítsa: fordítva is igaz, a mágnes képes
elektromos áramot kelteni, és 1831-ben sikerült is neki. Megmutatta, hogy a
mágnesesség és az elektromosság csak két aspektusa ugyanannak a dolognak -
az elektromágnesességnek. Állítólag IV. Vilmos király egyszer megkérdezte
Faradayt, milyen hasznuk van az ő tudományos műhelyében előadott trükköknek,
és ezt a választ kapta: "Nem tudom, Felség, de azt tudom, hogy Ön egyszer
adót fog kivetni rájuk." Valóban, a gyakorlati alkalmazás nem váratott
magára sokáig, nevezetesen az elektromotor (az elektromosság mágnesességet
kelt, ez pedig mozgást) és a generátor (a mozgás mágnesességet kelt, ez
pedig elektromosságot).
De Faraday az elektromágnesesség elméletét is kifejlesztette. Nem volt
matematikus, így fogalmait fizikai szóképek, hasonlatok formájába
öltöztette, ezek közül a fogalmak közül az erővonal volt a legfontosabb. Ha
egy darab papír alá mágnest helyezünk, rá pedig vasreszeléket szórunk, a
reszelék jól meghatározott görbe vonalakba rendeződik. Faraday ezeket úgy
magyarázta, hogy a mágneses erő nem hat minden továbbító közeg nélkül, nincs
"távolhatás", hanem a téren keresztül görbe vonalak mentén halad. Ugyanez
érvényes az elektromos erőre is. Faraday szellemi utódja James Clerk Maxwell
volt. Faraday ideáját az erővonalakról Maxwell matematikai egyenletekben
fejezte ki. Ezek a mágneses és elektromos erőterekről szóltak - olyan
jelenségekről, amelyeket a mágneses és elektromos töltés térbeli eloszlása
határoz meg.
Maxwell addig finomította elméletét, míg 1864 körül négy
differenciálegyenletből álló rendszert kapott, amelyek összefüggésbe hozták
a mágneses és az elektromos mező változásait. Az egyenletek elegánsak, és
különös szimmetriát tesznek láthatóvá az elektromosság, valamint a
mágnesesség között, amelyek hasonló módon hatnak egymásra.
Itt, Maxwell egyenleteinek elegáns szimbolizmusában érhetjük tetten azt
az óriási ugrást a hegedűktől a videókig, amit az emberiség megtett:
egyszerű algebrai jellegű manipulációkkal sikerült a Maxwell-egyenleteket
hullámegyenletté alakítani, s ebből már egyértelműen következett az
elektromágneses hullámok létezése. Ráadásul a hullámegyenlet azt is kiadta,
hogy az elektromágneses hullámok a fény sebességével terjednek. Közvetlen
követleezményként adódott, hogy a fény is elektromágneses hullám - elvégre a
legkézenfekvőbb dolog, ami fénysebességgel terjed, maga a fény. Viszont
éppúgy, ahogy a hegedűhúr sokféle frekvenciával rezeghet - a
hullámegyenletnek megfelelően -, az elektromágneses mezővel is ez a helyzet.
Az emberi szemmel látható hullámoknál a frekvenciának a szín felel meg. Más
frekvenciájú húrok más hangot adnak; más fekvenciájú látható elektromágneses
hullámoknak a színe lesz más. Ha a frekvencia a látható tartományon kívül
van, a hullám nem fény, hanem valami más.
De micsoda? Amikor Maxwell felállította egyenleteit, senki nem tudta. Az
egész puszta feltételezés volt, ami arra alapozódott, hogy Maxwell
egyenletei tényleg alkalmazhatók a fizikai világra. Ahhoz, hogy ezeket a
hullámokat valóságosnak fogadják el, a Maxwell-egyenleteket valahogyan
tesztelni kellett. Maxwell eszméi élveztek valamennyi rokonszenvet
Angliában, de külföldön majdnem teljesen ismeretlenek voltak 1886-ig, amikor
Heinrich Hertz, a német fizikus elektromágneses hullámokat keltett - olyan
frekvenciával, amit ma rádiófrekvenciának nevezünk -, és kísérletileg is
kimutatta őket.
A saga végső epizódja Guglielmo Marconi nevéhez fűződik, aki 1895-ben
sikerrel kivitelezte az első drótnélküli távírót, majd 1901-ben pedig az
Atlanti-óceánon keresztül adott le és vett rádiójeleket.
A többi, ahogy mondani szokás, történelem. Ezután már jött a radar, a
televízió és a videó.
Persze mindez csupán vázlata a matematika, a fizika, a mérnöki munka és a
pénzvilág közötti hosszadalmas és bonyolult együttműködésnek. Ki tudna
hitelt igényelni a rádió feltalálásához? Elképzelhető, hogy amennyiben a
matematikusok nem tudtak volna már eleve sokat a hullámegyenletről, Maxwell
vagy követői mégis kidolgozzák valahogyan a következményeket. De az
ötleteknek el kell érniük bizonyos kritikus tömeget ahhoz, hogy robbanjanak,
és egy feltalálónak sincs ideje vagy képzelőereje, hogy megalkossa az
eszközöket ahhoz, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa...,
akkor sem, ha ezek intellektuális eszközök. Tagadhatatlan, hogy
történelmileg folytonos vonal húzódik a hegedűktől a videókig. Talán egy
másik bolygón a dolgok másként alakultak volna; ám a miénken ez történt.
Meglehet, azon a másik bolygón sem lett volna másként - jó, nem nagyon
másként. Maxwell hullámegyenlete nagyon komplikált: egyszerre ír le
elektromos és mágneses mezőben végbemenő változásokat a háromdimenziós
térben. A hegedűhúr egyenlete sokkal egyszerűbb, egyetlen mennyiséget - a
húr egy pontjának helyét, illetve annak változását írja le egy egydimenziós
vonal mentén.
A matematikai kutatás általában az egyszerűtől az összetett felé halad.
Az egyszerű rendszerekről, így a rezgő húrokról szerzett tapasztalatok
nélkül egy "célorientált" nekirugaszkodás a drótnélküli távíró
feltalálásához (üzenetek küldése vezeték nélkül, innen a kissé divatjamúlt
elnevezés) nem járt volna több sikerrel, mint amivel ma az antigravitáció
vagy a fénynél sebesebb hajtóművek feltalálása kecsegtet. Senki sem tudná,
hogy induljon el.
Persze a hegedűk az emberi és főleg az európai kultúra véletlen
velejárói. De egy vonalszerű tárgy rezgései bárhol előfordulnak ilyen vagy
olyan álruhában. Betelgeuse II pókjainak világában talán egy pókhálófonal
rezgése lenne - melyet egy küszködő rovar kelt - az elektromágneses hullámok
felfedezésének kiváltó oka.
Ám kell néhány világos gondolatmenet ama speciális kísérletsorozat
kidolgozásához, amely Heinrich Hertzet korszakalkotó találmányához
elvezette, és ez a gondolatmenet szükségszerűen valami egyszerűvel kezdődik.
A matematika képes láthatóvá tenni a természet egyszerűségét, ez teszi
lehetővé az általánosítást az egyszerű példákból a valóságos világ összetett
jelenségei felé. Többek közreműködése kellett sokféle területről, hogy egy-
egy hasznos termék matematikai háttere megteremtődjön. De legközelebb, ha az
olvasó walkmannel a fülén kocog, vagy bekapcsolja a tévét, nézi a videót,
jusson eszébe, hogy matematikusok nélkül egyik csodát sem fedezték volna
fel.