Ian Stewart: A természet számai

5. FEJEZET

A hegedűktől a videókig


Immár hagyomány lett, ahogy megfigyeltem, szétválasztani a matematikát két különböző részágazatra, amelyeket a tiszta matematika és alkalmazott matematika címkével látnak el. Ez a szétválasztás zavarba ejtette volna a klasszikus idők nagy matematikusait. Carl Friedrich Gauss például legboldogabb a számelmélet elefántcsottornyában volt, ahol egyszerűen azért lelte élvezetét az absztrakt numerikus mintákban, mert szépek voltak és kihívást jelentettek. A számelméletet a "matematika királynőjének" nevezte, és nem állt tőle távol a poétikus eszménykép, amelyben a királynők finom szépségek, akik nem szennyezik be a kezüket semmi hasznossal. Ugyanakkor kiszámította a Ceresnek, az első felfedezett kisbolygónak a pályáját. Felfedezése után hamarosan a Ceres a Nap mögé került, és nem lehetett megfigyelni. Hacsak a pályáját nem számítják ki pontosan, a csillagászok nem találták volna meg, amikor megint látható lett hónapokkal később. Azonban a megfigyelések száma a kisbolygóra vonatkozóan olyan csekély volt, hogy a pálya kiszámítására használt szabvány módszerek nem szolgáltatták a kívánt pontosságot. Így aztán Gauss néhány komoly újítást vezetett be, közülük egyesek ma is használatosak. Virtuózhoz méltó teljesítmény volt, és megalapozta jó hírét a nyilvánosság előtt. És nem is ez volt az egyetlen gyakorlati alkalmazása az ő matematikai munkásságának: többek közt hozzájárult a fejlődéshez a geodéziai felmérő munkában, a távíró kifejlesztésében és a mágnesesség megértésében.

      Gauss idejében lehetséges volt egyetlen személy számára, hogy az egész matematikát elég jól értse. Mivel azonban a tudomány összes klasszikus ága olyan hatalmasat fejlődött, hogy egyetlen elme képtelen akár csak az egyiket is átfogni, ma a specialisták korát éljük. A matematika megszervezése hatékonyabb, ha mindenki specializálja magát vagy témájának elméleti részére, vagy éppen a gyakorlatira. Mivel a matematikusok legtöbbje az egyikben dolgozik sokkal szívesebben, vagy a másikban, ezek az egyéni hajlamok tovább erősítik a fenti szétválasztást. Sajnos így a külvilág számára nagyon indokoltnak látszik a feltevés: a kettő közül csak az alkalmazott matematika használható; még a név is ezt sugallja. A feltevés helyes, ha létrehozott matematikai technikákra vonatkozik: végső soron hasznosat elkerülhetetlenül "alkalmazott"-nak tekintenek, függetlenül attól, hogy mi az eredete. Nagyon torz képet ad viszont a gyakorlati jelentőségű új matematika eredetéről. A jó ötletek ritkák, de ugyanolyan gyakran fakadnak a matematika belső struktúrájáról szőtt képzeletdús ábrándokból, mint egy konkrét gyakorlati probléma megoldására irányuló próbálkozásokból. Ez a fejezet éppen egy ilyen fejlesztés esettanulmányával foglalkozik, amelynek leghatékonyabb alkalmazása a televízió - ez a felfedezés jobban megváltoztatta életünket, mint bármi más. Ebben a történetben a matematika tiszta és alkalmazott aspektusai úgy ötvöződnek össze, hogy amit létrehoznak, sokkal hathatósabb és nagyobb kényszerítő erővel bír, mint akármelyikük egyedül. Történetünk a 16. században kezdődik a rezgő hegedűhúr problémájával. Bár ez gyakorlati kérdésnek tűnhet, főleg úgy tanulmányozták, mint egy differenciálegyenletet; a munkának nem volt célja a hangszerek minőségének javítása.

      Képzeljünk el egy ideális hegedűhúrt, egyenesre kifeszítve két rögzített tartó között. Mi történik, ha a húrt megrántjuk, elhúzzuk eredeti helyzetéből, és aztán elengedjük? Ahogy elhúzzuk, rugalmas feszültsége növekszik, s a keletkező erő a húrt visszahúzza eredeti helyzetébe. Amikor elengedjük, gyorsulni kezd ennek az erőnek a hatására, Newton mozgástörvényének megfelelően. Ám ekkor gyorsan mozog, hiszen végig gyorsult - így túlhaladja az egyenes vonalat és tovább mozog. E ponton a feszültség az ellenkező irányba húzza, lelassítja, míg végül megáll. S kezdődik az egész elölről. Ha nem lenne súrlódás, a húr a végtelenségig ide-oda rezegne.

      Mindez elfogadható szóbeli leírás; a matematikai elmélet számára az egyik feladat megállapítani, vajon a fenti forgatókönyv helyes-e, s ha igen, kiszámítani a részleteket, például a húr alakját, amit az egyes időpillanatokban felvesz. Ami bonyolult probléma, mert ugyanaz a húr sokféle módon rezeghet, attól függően, hogyan pendítették meg. Az ókori görögök tudták ezt, mert kísérleteik megmutatták, hogy a rezgő húr sok különböző zenei hangot képes kiadni. Későbbi nemzedékek rájöttek, hogy a hang magasságát a rezgés frekvenciája - a húr ide-oda-mozgásának gyorsasága - határozza meg, tehát a görögök felfedezése azt árulja el számunkra, hogy ugyanaz a húr sok különböző frekvenciával tud rezegni. Minden egyes frekvencia a mozgó húr egy bizonyos alakjának felel meg, és ugyanaz a húr többféle alakot vehet fel.

      A húrok túl gyorsan mozognak ahhoz, hogy szabad szemmel akármilyen pillanatnyi alakjukat észlelhessük, de a görögök fontos bizonyítékot találtak arra nézve, hogy a húr sok különböző frekvenciával rezeghet. Kimutatták, hogy a hangmagasság a csomópontok elhelyezkedésétől függ - ezek azok a pontok a húr mentén, amelyek mozdulatlanok maradnak. Kipróbálhatjuk ezt egy hegedűn, bendzsón vagy gitáron. Mikor a húr az "alapfrekvenciáján" rezeg - vagyis a lehető legmélyebb hangot adja -, csak a végpontok vannak nyugalomban. Ha ujjunkat a húr közepére tesszük, s így csomópontot képezünk, majd megpendítjük a húrt, egy oktávval magasabb hangot fog adni. Ha ujjunkat az egyik harmadolópontra helyezzük, ezzel két csomópontot hozunk létre (a másik a másik harmadolópont lesz), ekkor még magasabb hangot kapunk. Minél több csomópont van, annál nagyobb lesz a frekvencia. Általában azt mondhatjuk, a csomópontok száma egész szám, és egyenlő távolságban helyezkednek el.

      A megfelelő rezgések állóhullámok, olyan hullámok, amelyek föl-le mozognak, de nem vándorolnak a húr mentén. Eme föl-le mozgás méretét a hullám amplitúdójának hívják, ez határozza meg a hang erősségét. A hullámok szinuszhullámok olyan alakúak, mint egy szinuszgörbe, ami ismétlődő, elegáns alakú hullámvonal; bizonyára emlékeznek még rá a trigonometriából.

      1714-ben Brook Taylor angol matematikus írta le a rezgés alapfrekvenciáit a húr hosszának, feszültségének és sűrűségének függvényében. 1746-ban Jean Le Rond d'Alembert kimutatta, hogy a hegedűhúr sok rezgése nem álló szinuszhullám. Egyúttal azt is megmutatta, hogy a hullám pillanatnyi alakja bármilyen lehet. 1748-ban, válaszképpen d'Alembert munkájára, a termékeny svájci matematikus, Leonhard Euler felállította a húr "hullámegyenletét". Ez a húr alakjának változásmértékét leíró, Isaac Newton szellemében fogant, differenciálegyenlet. Valójában "parciális differenciálegyenlet", ami azt jelenti, hogy nemcsak az időre vonatkozó változásmértéket, hanem a térre vonatkozót is tartalmazza - ez a húr irányát jelenti. Azt fejezi ki a matematika nyelvén, hogy a húr minden egyes kis szakaszának gyorsulása arányos a szakaszra ható feszítőerővel, ami Newton mozgástörvényéből adódik.

      Euler nemcsak felállította a hullámegyenletet, meg is oldotta. Megoldása elmagyarázható szavakban is. Először, deformáljuk a húrt olyan alakra, amilyenre csak akarjuk - lehet ez parabola, háromszög vagy valamilyen ide- oda tekergőző, magunk kieszelte alakzat. Ezután képzeljük el, hogy ez az alak tovaterjed a húr mentén jobb felé. Nevezzük ezt jobb felé utazó hullámnak. Majd "állítsuk feje tetejére" az eredeti alakot, és képzeljük el, hogy a másik irányba terjed tova, és bal felé utazó hullámot alkot. Végül rakjuk egymásra ("szuperponáljuk") a két hullámalakot. Ez a folyamat elvezet a hullámegyenlet összes olyan megoldásához, amiben a húr két végpontja rögzített.

      Röviddel ezután Euler vitába keveredett Daniel Bernoullival, akinek családja Antwerpenből származott, de Németországba, aztán Svájcba települt át, a vallási üldöztetés elől. Bernoulli ugyancsak megoldotta a hullámegyenletet, de teljesen más módszerrel. Szerinte a legáltalánosabb megoldás úgy állítható elő, mint végtelen sok álló szinuszhullám szuperpozíciója. Ez a látszólagos egyet nem értés egy évszázadig tartó polémia leezdete volt, ami úgy oldódott fel, hogy kiderült: mind Eulernek, mind Bernoullinak igaza volt. Ennek magyarázata, hogy minden periodikusan változó alak előállítható végtelen sok szinuszgörbe szuperpozíciójaként. Euler azt hitte, hogy az ő megközelítése az alakzatok nagyobb bőségéhez vezet, mert nem ismerte fel periodicitásukat. A matematikai analízis azonban végtelen hosszú görbékkel dolgozik. Mivel csak a görbe két végpont közötti része fontos, periodikusan ismételhető akármeddig egy végtelen húr mentén, lényeges változás nélkül. Euler aggodalmai tehát alaptalannak bizonyultak.

      Ennek az egész munkának az a tanulsága, hogy a szinuszhullámok az alapvető rezgési komponensek. A rezgési lehetőségek teljessége megkapható úgy is, hogy az összes lehetséges véges és végtelen összegét képezzük az öszes lehetséges frekvenciájú szinuszhullámnak. Ahogyan Daniel Bernoulli mindig is hangoztatta: "minden d'Alembert és Euler által adott új görbe csak a Taylor-féle rezgések kombinációja".

      Ennek a polémiának a feloldásával a hegedűhúr rezgései elvesztették rejtélyességüket, ezért a matematikusok nagyobb vadat kerestek. A hegedűhúr egy görbe - egydimenziós objektum -, de többdimenziós objektumok is rezeghetnek. A legközönségesebb hangszer, amely kétdimenziós rezgést produkál, a dob, mert a dob bőre felület, nem pedig egyenes vonal. A matematikusok tehát figyelmüket a dobok felé fordították, élükön Eulerrel. Euler 1759-ben megint levezetett egy hullámegyenletet, amely ezúttal leírta, hogyan változik a dob-bőr egyes pontjainak magassága az időben. Fizikai interpretációja szerint a dob valamely kis részletének gyorsulása egyenesen arányos a környező részek által rá gyakorolt átlagos húzóerővel: szimbolikusan ez nagyon hasonlít az egydimenziós hullámegyenletre; csak most térbeli (másodrendű) változásmértékek is szerepelnek két független irányban az időre vonatkozó változásmérték mellett.

      A hegedűhúrok végei rögzítettek. Ez a "peremfeltétel" igen fontos: meghatározza, hogy a hullámegyenletnek milyen fizikai megoldásai lehetségesek a hegedűhúrra nézve. Ebben az egész tárgykörben perdöntőek a határok. A dobok nemcsak dimenziójukban különböznek a hegedűhúroktól, hanem a határuk is sokkal érdekesebb, a dob határa zárt görbe: kör. Ugyanakkor, éppúgy, mint a húrnál, a dob határa is rögzített: a dob bőrének többi része mozoghat, de a peremre rá van feszítve. A perem feltétel leszűkíti a dob-bőr mozgási lehetőségeit. A hegedűhúr két elszigetelt végpontja nem ad olyan érdekes és változatos peremfeltételt, mint egy zárt görbe; a határ igazi szerepe csak két és több dimenzióban válik nyilvánvalóvá.

      Ahogy a 18. század matematikusai egyre jobban értették a hullámegyenletet, meg tudták oldani a különböző alakú dobok mozgására. Ekkor azonban a hullámegyenlet kilépett a zene területéről és a matematikai fizika központi kérdése lett. A valaha kidolgozott matematikai képletek közül valószínűleg ez lett a legfontosabb - Einstein híres tömeg-energia relációjával is dacolva. Ami történt, igen jellemző példa arra, hogyan bontja ki a matematika a természet rejtett egységét. Ugyanaz az egyenlet bukkant fel mindenütt. Feltűnt a folyadékok dinamikájában, ahol leírta a víz hullámainak kiformálódását és mozgását. Megjelent a hangtanban, ahol leírta, hogyan terjednek a hanghullámok - a légrezgések, melyek során a levegő molekulái hol közelednek egymáshoz, hol szétválnak. És jelentkezett az elektromosság, valamint a mágnesesség elméletében, miközben örökre megváltoztatta az emberi kultúrát.

      Az elektromosságnak és a mágnesességnek hosszú és bonyolult a története, sokkal bonyolultabb, mint a hullámegyenletnek; véletlen felfedezések, kuksszerepet játszó kísérletek és matematikai, illetve fizikai elméletek tarkítják. E történet William Gilberttel, I. Erzsébet fizikusával kezdődik, aki gigászi mágnesként írta le a Földet, és megfigyelte, hogy az elektromosan feltöltött testek vonzzák vagy taszítják egymást. Folytatását olyan nevek fémjelzik, mint Benjamin Franklin, aki 1752-ben, zivatarban papírsárkányt föleresztve bebizonyította, hogy a villámlás az elektromosság egyik formája; meg Luigi Galvani, aki észrevette, hogy az élettelen béka combizmai összehúzódnak villamos szikra hatására; valamint Alessandro Volta, aki feltalálta az első elektromos telepet. E korai fejlődés idején az elektromosságot és a mágnesességet végig két teljesen különböző természeti jelenségnek tekintették.

      Aki egységben kezdte látni a kettőt, az Michael Faraday angol fizikus és kémikus volt. Faraday a londoni Royal Institutionnál állt alkalmazásban, feladata többek között az volt, hogy az intézet természettudományos érdeklődésű tagjait minden héten kísérletekkel szórakoztassa. Az új ötleteknek ez a folytonos kényszere Faradayt minden idők egyik legnagyobb kísérleti fizikusává tette. Különösen lelkesedett az elektromosságért és a mágnesességért, mert tudta, hogy az elektromos áram mágneses erőt kelt. Tíz évet töltött azzal, hogy bebizonyítsa: fordítva is igaz, a mágnes képes elektromos áramot kelteni, és 1831-ben sikerült is neki. Megmutatta, hogy a mágnesesség és az elektromosság csak két aspektusa ugyanannak a dolognak - az elektromágnesességnek. Állítólag IV. Vilmos király egyszer megkérdezte Faradayt, milyen hasznuk van az ő tudományos műhelyében előadott trükköknek, és ezt a választ kapta: "Nem tudom, Felség, de azt tudom, hogy Ön egyszer adót fog kivetni rájuk." Valóban, a gyakorlati alkalmazás nem váratott magára sokáig, nevezetesen az elektromotor (az elektromosság mágnesességet kelt, ez pedig mozgást) és a generátor (a mozgás mágnesességet kelt, ez pedig elektromosságot).

      De Faraday az elektromágnesesség elméletét is kifejlesztette. Nem volt matematikus, így fogalmait fizikai szóképek, hasonlatok formájába öltöztette, ezek közül a fogalmak közül az erővonal volt a legfontosabb. Ha egy darab papír alá mágnest helyezünk, rá pedig vasreszeléket szórunk, a reszelék jól meghatározott görbe vonalakba rendeződik. Faraday ezeket úgy magyarázta, hogy a mágneses erő nem hat minden továbbító közeg nélkül, nincs "távolhatás", hanem a téren keresztül görbe vonalak mentén halad. Ugyanez érvényes az elektromos erőre is. Faraday szellemi utódja James Clerk Maxwell volt. Faraday ideáját az erővonalakról Maxwell matematikai egyenletekben fejezte ki. Ezek a mágneses és elektromos erőterekről szóltak - olyan jelenségekről, amelyeket a mágneses és elektromos töltés térbeli eloszlása határoz meg.

      Maxwell addig finomította elméletét, míg 1864 körül négy differenciálegyenletből álló rendszert kapott, amelyek összefüggésbe hozták a mágneses és az elektromos mező változásait. Az egyenletek elegánsak, és különös szimmetriát tesznek láthatóvá az elektromosság, valamint a mágnesesség között, amelyek hasonló módon hatnak egymásra.

      Itt, Maxwell egyenleteinek elegáns szimbolizmusában érhetjük tetten azt az óriási ugrást a hegedűktől a videókig, amit az emberiség megtett: egyszerű algebrai jellegű manipulációkkal sikerült a Maxwell-egyenleteket hullámegyenletté alakítani, s ebből már egyértelműen következett az elektromágneses hullámok létezése. Ráadásul a hullámegyenlet azt is kiadta, hogy az elektromágneses hullámok a fény sebességével terjednek. Közvetlen követleezményként adódott, hogy a fény is elektromágneses hullám - elvégre a legkézenfekvőbb dolog, ami fénysebességgel terjed, maga a fény. Viszont éppúgy, ahogy a hegedűhúr sokféle frekvenciával rezeghet - a hullámegyenletnek megfelelően -, az elektromágneses mezővel is ez a helyzet. Az emberi szemmel látható hullámoknál a frekvenciának a szín felel meg. Más frekvenciájú húrok más hangot adnak; más fekvenciájú látható elektromágneses hullámoknak a színe lesz más. Ha a frekvencia a látható tartományon kívül van, a hullám nem fény, hanem valami más.

      De micsoda? Amikor Maxwell felállította egyenleteit, senki nem tudta. Az egész puszta feltételezés volt, ami arra alapozódott, hogy Maxwell egyenletei tényleg alkalmazhatók a fizikai világra. Ahhoz, hogy ezeket a hullámokat valóságosnak fogadják el, a Maxwell-egyenleteket valahogyan tesztelni kellett. Maxwell eszméi élveztek valamennyi rokonszenvet Angliában, de külföldön majdnem teljesen ismeretlenek voltak 1886-ig, amikor Heinrich Hertz, a német fizikus elektromágneses hullámokat keltett - olyan frekvenciával, amit ma rádiófrekvenciának nevezünk -, és kísérletileg is kimutatta őket.

      A saga végső epizódja Guglielmo Marconi nevéhez fűződik, aki 1895-ben sikerrel kivitelezte az első drótnélküli távírót, majd 1901-ben pedig az Atlanti-óceánon keresztül adott le és vett rádiójeleket.

      A többi, ahogy mondani szokás, történelem. Ezután már jött a radar, a televízió és a videó.

      Persze mindez csupán vázlata a matematika, a fizika, a mérnöki munka és a pénzvilág közötti hosszadalmas és bonyolult együttműködésnek. Ki tudna hitelt igényelni a rádió feltalálásához? Elképzelhető, hogy amennyiben a matematikusok nem tudtak volna már eleve sokat a hullámegyenletről, Maxwell vagy követői mégis kidolgozzák valahogyan a következményeket. De az ötleteknek el kell érniük bizonyos kritikus tömeget ahhoz, hogy robbanjanak, és egy feltalálónak sincs ideje vagy képzelőereje, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa az eszközöket ahhoz, hogy megalkossa..., akkor sem, ha ezek intellektuális eszközök. Tagadhatatlan, hogy történelmileg folytonos vonal húzódik a hegedűktől a videókig. Talán egy másik bolygón a dolgok másként alakultak volna; ám a miénken ez történt.

      Meglehet, azon a másik bolygón sem lett volna másként - jó, nem nagyon másként. Maxwell hullámegyenlete nagyon komplikált: egyszerre ír le elektromos és mágneses mezőben végbemenő változásokat a háromdimenziós térben. A hegedűhúr egyenlete sokkal egyszerűbb, egyetlen mennyiséget - a húr egy pontjának helyét, illetve annak változását írja le egy egydimenziós vonal mentén.

      A matematikai kutatás általában az egyszerűtől az összetett felé halad. Az egyszerű rendszerekről, így a rezgő húrokról szerzett tapasztalatok nélkül egy "célorientált" nekirugaszkodás a drótnélküli távíró feltalálásához (üzenetek küldése vezeték nélkül, innen a kissé divatjamúlt elnevezés) nem járt volna több sikerrel, mint amivel ma az antigravitáció vagy a fénynél sebesebb hajtóművek feltalálása kecsegtet. Senki sem tudná, hogy induljon el.

      Persze a hegedűk az emberi és főleg az európai kultúra véletlen velejárói. De egy vonalszerű tárgy rezgései bárhol előfordulnak ilyen vagy olyan álruhában. Betelgeuse II pókjainak világában talán egy pókhálófonal rezgése lenne - melyet egy küszködő rovar kelt - az elektromágneses hullámok felfedezésének kiváltó oka.

      Ám kell néhány világos gondolatmenet ama speciális kísérletsorozat kidolgozásához, amely Heinrich Hertzet korszakalkotó találmányához elvezette, és ez a gondolatmenet szükségszerűen valami egyszerűvel kezdődik.

      A matematika képes láthatóvá tenni a természet egyszerűségét, ez teszi lehetővé az általánosítást az egyszerű példákból a valóságos világ összetett jelenségei felé. Többek közreműködése kellett sokféle területről, hogy egy- egy hasznos termék matematikai háttere megteremtődjön. De legközelebb, ha az olvasó walkmannel a fülén kocog, vagy bekapcsolja a tévét, nézi a videót, jusson eszébe, hogy matematikusok nélkül egyik csodát sem fedezték volna fel.