Amikor meghalljuk a "matematika" szót, elsőnek a számok jutnak eszünkbe. A
számok alkotják a matematika szívét, hatásuk mindig érezhető, a számok az a
nyersanyag, amelyből a matematika nagy része kikovácsolódik. Mégis, a számok
önmagukban csak elenyésző részét alkotják a matematikának. Korábban már
említettem, hogy matematikával teli világban élünk, de ahol csak lehet, a
matematikát a szőnyeg alá söprik, hogy világunk "user-friendly" (vagyis
"felhasználóbarát", ahogyan a számítógép-forgalmazó cégek mondják) legyen.
Ugyanakkor, bizonyos matematikai fogalmak annyira alapvetőek, hogy nem
rejthetők el; a számok adják erre a legjobb példát. Például, ha nem lennénk
képesek a tojások megszámlálására és a visszajáró pénz kiszámítására, még
élelmiszert sem tudnánk vásárolni. Ezért aztán oktatják is a számtant.
Mégpedig mindenkinek. Ha valaki nem tud számolni, éppoly hátrányos helyzetű,
mint az analfabéta. Ezért közkeletű a felfogás, mely szerint a matematika
főleg a számokkal kapcsolatos, pedig valójában nem erről van szó. A
számolási trükkök, amelyeket az aritmetikában tanulunk, csak a jéghegy
csúcsát alkotják. Élhetjük mindennapi életünket anélkül, hogy sokkal többet
tudnánk matematikából, kultúránk azonban nem tudja működtetni
társadalmunkat, ha az eszközök közül ennyire keveset vesz igénybe. A számok
csak egy fajtája az objektumoknak, amelyekről a matematikus gondolkozik.
Ebben a fejezetben megpróbálok néhány mást is megmutatni és megmagyarázni,
miért fontosak.
Szükségszerűen magukból a számokból indulok ki. A matematika korai
történetének zöme összefoglalható, mint a rátalálás különböző
civilizációkban azon dolgok egyre szélesebb skálájára, amelyeket számoknak
nevezhetünk. A legegyszerűbbek a számlálásra használt számok. Valójában a
számlálás jóval megelőzte az 1, 2, 3 szimbólumok kialakulását - hiszen lehet
számlálni számok nélkül is, például az ujjainkkal. Kiszámolhatjuk, hogy "két
kéznyi és egy hüvelykujjnyi tevém van", mindig kihajlítva egy-egy ujjunkat,
s rápillantva egy-egy tevére. Nem szükséges, hogy fogalmunk legyen a
"tizenegyes" számról annak nyomon követésére, vajon lopják-e a tevéinket.
Csak azt kell észrevennünk, hogy legközelebb két kéznyi tevénk van - tehát
egy hüvelykujjnyi teve hiányzik.
A számlálást karcolásokkal is feljegyezhetjük fadarabon vagy csonton.
Jeleket is használhatunk számlálóként - agyagkorongokat juhok képeivel juhok
számlálására, vagy tevék képével díszített agyagkorongot tevék számlálására.
Ahogy egy állat elhalad előttünk, bedobunk egy zsákba egy korongot.
A szimbólumok használata számok jelzésére valószínűleg körülbelül ötezer
évvel ezelőtt alakult ki, amikor ilyenfajta számlálókat raktak egy lezárt
agyagtartóba. Túl bonyolultnak bizonyult, hogy amikor a számvevők
ellenőrizni akarták ennek tartalmát, az agyagedényt fel kellett törni, és az
ellenőrzés végeztével újat készíteni. Így aztán speciális jeleket helyeztek
el a tartó külsejére, megjegyzendő, hogy mi van benne. Később rájöttek, hogy
egyáltalán nem kell belerakni semmit: ugyanezeket a jeleket róhatják
agyagtáblácskára is.
Csodálatos, hogy mennyire hosszú időbe telik, mire meglátjuk a
nyilvánvalót. Persze ez csak
most nyilvánvaló.
A következő felfedezés a számok terén a tört volt - az a számfajta, amit
ma úgy jelölünk: 2/3 (kétharmad) vagy 22/7 (huszonkét heted - vagy akár
három egész egy heted). A törtekkel nem lehet számolni - bár kétharmad teve
megehető, de nem megszámlálható -, ehelyett sokkal érdekesebb dolgokat
tehetünk velük. Például ha három testvér az örökségen, két tevén osztozik,
úgy képzeljük, hogy mindegyiknek a tulajdona lesz kétharmad teve - ez a
fikció teljesen törvényes, és annyira kényelmes, hogy elfelejtjük, milyen
furcsa, ha szó szerint vesszük.
Sokkal később, Kr. u. 400 és 1200 között a nulla fogalmát is felfedezték,
és elfogadták, hogy számot jelöl. Ha úgy véljük, nagyon furcsa a nullának ez
az igen kései törvényesítése, vegyük tekintetbe, hogy hosszú ideig az
"egy"-et sem tekintették számnak, mert úgy gondolták, hogy csak több dolgot
lehet megszámolni. Sok történelemkönyvben olvasható: a nulla megjelenésében
a kulcsidea az volt, hogy szimbólumot találtak a "semmire". Ez az aritmetika
gyakorlati szempontjából persze hasznos volt; a matematika számára viszont
fontossága egy újfajta szám fogalmában rejlett, egy száméban, amely
reprezentálta a "semmi" konkrét ideáját. A matematika alkalmaz
szimbólumokat, de ugyanúgy nem azonos velük, mint a zene a kottával vagy a
nyelv az ábécé betűivel. Carl Friedrich Gauss, akit sokan minden matematikus
legnagyobbikának tartanak, egyszer (latinul) ezt mondta: Mi lényeges a
matematikában? Nem a jelölések, hanem a fogalmak. A latinban ez szójáték:
"non notationes, sed notiones".
A számfogalom következő bővítése a negatív számok felfedezése volt. Ismét
nem sok értelme van mínusz két tevének, legalábbis szó szerint; de ha két
tevével tartozunk valakinek, mégiscsak kettővel csökken a tulajdonunkban
lévő tevék száma. Tehát egy negatív szám úgy képzelhető el, mint ami
valamilyen adósságot reprezentál. Sok más módja van, hogyan értelmezzük
ezeket a valamivel misztikusabb számokat; például a negatív hőmérséklet
(Celsius fokban) a fagypont alatti hőmérséklet, és egy negatív sebességű
tárgy visszafelé mozog. Tehát ugyanaz az elvont matematikai fogalom a
természet többféle nézőpontjához is kapcsolódhat.
A törtek tökéletesen elegendőek a legtöbb kereskedelmi tevékenységhez, de
nem a matematikához. Például, ahogy azt az ókori görögök, bánatukra,
felfedezték, a kettő négyzetgyöke nem fejezhető ki pontosan törtként.
Vagyis, ha bármely törtet megszorzunk önmagával, nem kaphatunk
pontosan
kettőt. Egészen közel juthatunk hozzá - mondjuk, a 17/12 négyzete 289/144,
és ha 288/144 volna, kettőt kapnánk. De nem annyi és akármilyen törttel
próbálkozunk, nem kapunk kettőt. A kettő négyzetgyökét, amit általában
{2 a négyzetgyök alatt} jellel jelölünk, így "irracionálisnak" mondjuk. A
legegyszerűbb mód a számok halmazának kibővítésére, úgy, hogy az
irracionálisak is beletartozzanak, az ún. valós számok bevezetése.
Lélegzetelállítóan alkalmatlan név ez, mivel a valós számokat olyan tizedes
törtekkel ábrázoljuk, amelyek akármeddig folytatódnak, mint a 3,141599...,
ahol a pontok végtelen sok tizedesjegyet jelentenek. Hogyan lehet egy dolog
valóságos, ha le sem tudjuk írni teljesen? Ez a név mégis megmaradt,
bizonyára mert a valós számok sok vizuális érzetünket öntik formába a
hosszúságokról és a távolságokról.
A valós számok az emberi elme által alkotott elvonatkoztatások közül a
legmerészebbek közé tartozik, ennek ellenére évszázadokig vidáman használták
őket, anélkül, hogy bárki kétkedett volna a mögöttük meghúzódó logikában.
Paradox módon, az emberek nagyon sokat kételkedtek a számfogalom ezt követő
kibővítésében, pedig az teljesen ártalmatlan volt. Ez, a negatív számok
négyzetgyökének bevezetése, az "imaginárius" és a "komplex" számokhoz
vezetett. Egy vérbeli matematikus soha nem megy el nélkülük otthonról, de
szerencsére ebben a könyvben sehol nem lesz szükség a komplex számok
ismeretére, így hát a matematikai szőnyeg alá söpröm őket; remélem, nem
fogják észrevenni. Ugyanakkor szeretném hangsúlyozni, hogy amíg egy végtelen
tizedes törtet könnyen értelmezhetünk, valamilyen hosszúság vagy súly mérése
egyre finomuló sorozatának végállomásaként, addig a mínusz egy
négyzetgyökének egyszerű, szemléletes interpretációja nem kézenfekvő.
A jelenleg érvényes szóhasználat szerint a 0, 1, 2, 3... számokat
természetes számoknak mondják. Ha negatív egész számok is megengedettek,
egész számokról beszélünk. A pozitív és negatív törteket racionális
számoknak hívjuk. A valós számok fogalma ennél általánosabb, a komplexeké
még általánosabb. Így öt számhalmazunk van, mindegyik nagyobb, mint az
előző: természetes számok, egészek, racionálisak, valós számok és komplex
számok. Ebben a könyvben az egészek és a valósak halmaza lesz fontos.
Ugyanilyen gyakran kell majd beszélnünk a racionális számokról; és, mint
említettem, a komplex számokat teljesen ki tudjuk kerülni. Remélem azonban,
mostantól megértik, hogy ennek a szónak: "szám", nincs semmilyen istenadta,
változtathatatlan jelentése. Többször is kitágult ennek a szónak a
jelentése, ami elvileg akármikor újra bekövetkezhet.
Ugyanakkor a matematika nem szűkíthető le a számokra. Futólag már
találkoztunk egy másfajta matematikai fogalommal, a
művelettel; példa rá az
összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Általában a
művelet két (néha több)
matematikai objektumra alkalmazható, hogy segítségével egy harmadik
objektumot kapjunk. Céloztam már egy harmadik fajta matematikai objektumra
is, amikor a négyzetgyököket említettem. Ha kiindulunk egy számból és a
négyzetgyökét képezzük, új számot kapunk. Az ilyen "objektum" neve
függvény.
Egy függvényt úgy kell elképzelnünk, mint egy matematikai szabályt, amely
kiindul valamely matematikai objektumból - általában egy számból -, és egy
másik objektumot rendel hozzá speciális módon. A függvényeket gyakran
definiálják algebrai képletekkel, amelyek rövid formái a szabály
magyarázatának, de bármilyen más alkalmas módon is definiálhatók. Egy másik
kifejezés, ami ugyanazt jelenti, mint a függvény, a
transzformáció: a
szabály az első objektumot a másodikba transzformálja. Ezt a kifejezést
általában akkor használják, amikor a szabályok geometriai jellegűek. A 6.
fejezetben alkalmazunk majd transzformációkat, hogy megragadjuk a szimmetria
matematikai lényegét.
A műveletek és a függvények nagyon hasonló fogalmak. Valójában az
általánosság megfelelő szintjén nem szükséges már őket megkülönböztetnünk.
Mindkettő inkább folyamat, mint dolog. S most itt a pillanat, hogy kinyissuk
Pandóra szelencéjét és bemutassuk az egyik leghatásosabb fegyvert a
matematikus fegyvertárából, amit így hívhatnánk: a folyamatok "dolgokká
tétele". A matematika "dolgai" nem léteznek a való világban; absztrakciók.
Csakhogy a matematikai folyamatok is absztrakciók, tehát a folyamatok nem
kevésbé "dolgok", mint azok a "dolgok", amelyekre alkalmazzuk őket.
Kézenfekvő ezért a folyamatok "dolgokká tétele". Valójában tudok olyan
esetet, amikor a "kettes" szám éppen hogy nem dolog, hanem folyamat - az a
folyamat, amikor éppen számláljuk a tevéket és a juhokat, s ellátjuk őket az
"1, 2" címkékkel. A szám olyan folyamat, amelyet nagyon régen dologgá
tettünk, és mindenki dologként gondol rájuk. Ugyanennyire megengedhető - bár
legtöbbünk számára kevésbé természetes -, hogy egy műveletre vagy egy
függvényre úgy gondoljunk, mint egy dologra. Például beszélhetünk a
"négyzetgyökről", mintha dolog volna és itt most nem egy bizonyos szám
négyzetgyökére gondolok. Ebben a képben a négyzetgyök függvény valamilyen
hurkatöltő gép: az egyik végén betöltünk egy számot, a négyzetgyöke pedig
kijön a másikon.
A 6. fejezetben a sík és a tér mozgatásait úgy tekintem majd, mintha
dolgok lennének. Már most figyelmeztetem az olvasót, mert lehet, hogy
zavarni fogja majd. De nem a matematikusok az egyedüliek, akik a "dologgá
tevés" vagy "dologiasítás" játékot játsszák. A törvénykezés a "lopásról" úgy
beszél, mint dologról; mi több, pontosan be is határolja - bűncselekmény.
Olyan mondatokban, mint "a nyugati társadalom két fő rákfenéje a kábítószer
és a lopás", találunk egy igazi dolgot és egy dologgá tevésből származó
dolgot, miközben úgy kezelik őket, mintha ugyanazon a szinten lennének. Mert
a lopás folyamat, amelynek során tulajdonom máshoz kerül át az én
beleegyezésem nélkül, de a kábítószer valóságosan létező tárgy.
A számítógéptudósoknak van egy jó kifejezésük azokra a képződményekre,
amelyek számokból dologiasítási eljárásokkal építhetők fel:
adatstruktúráknak hívják őket. Jól ismert példák a számítógéptudományban a
listák (számok sorozatai) és a tömbök (számtáblázatok több sorral és
oszloppal). Említettem már, hogy a számítógép képernyője számpárok
listájaként is felfogható; ez egy bonyolultabb, de egészen szemléletes
adatstruktúra. Elképzelhetők sokkal bonyolultabb lehetőségek is - tömbök,
amelyek számok helyett listákból álló táblázatok; tömbök listái; tömbök
tömbjei; listák tömbjeinek listáinak listái... A matematika hasonló módon
építi gondolati objektumait. Amikor a matematika logikai alapjai még éppen
csak kialakulóban voltak, Bertrand Russell és Alfred North Whitehead írtak
egy hatalmas háromkötetetes művet, a
Principia Mathematicát, s ez a lehető
legegyszerűbb logikai egységgel kezdődött, a halmaz fogalmával. A halmaz
dolgok gyűjteménye. A szerzők fő célja a matematika logikai struktúrájának
elemzése volt, de erőfeszítéseik zöme arra irányult, hogy megfelelő
adatstruktúrákat tervezzenek a matematikai gondolkodás fontos objektumai
számára.
A matematika képe alapvető objektumainak ebben a leírásában egy fához
hasonlít, amelynek gyökerei - a számok -, egyre ravaszabb adatstruktúrákba
ágaznak el, ahogy a törzstől az ágak felé, ágaktól az ágacskákhoz,
ágacskáktól a gallyakhoz... haladunk. Ebből a képből mégis hiányzik egy
lényeges összetevő. Figyelmen kívül hagyja, hogyan hatnak egymásra a
matematikai fogalmak. A matematika nem egymástól elszigetelt tények
gyűjteménye: nem puszta táj; sajátos földrajza van, amit felhasználói és
alkotói jól ismernek, miközben keresztülnavigálnak rajta. E sajátos
geográfia nélkül áthatolhatatlan dzsungel lenne ez a táj. Például van
valamiféle képletes távolságérzék. Bármelyik matematikai tény közelében ott
találunk más hozzá kapcsolódó tényeket. Például a tény, hogy a kör kerülete
az átmérőjének {Pi} szerese, szorosan összefügg azzal, hogy a kerület a
sugár két {Pi} szerese. A két tény között közvetlen a kapcsolat: az átmérő a
sugár duplája. Ezzel szemben nem egymáshoz kapcsolódó fogalmaknak nagyobb a
távolságuk; például az a tény, miszerint pontosan hatféle módon rendezhetünk
sorba három tárgyat, igen távol áll a fenti, körökkel kapcsolatos tényektől.
Van valamiféle képletes érzékünk a magaslatokról is. "A magasba törő csúcsok
kilyukasztják az eget" - a fontos, széles körben használható ideák messziről
láthatók, mint a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről, vagy a
differenciálszámítás alapvető technikái. Minden kanyarban új látkép
rajzolódik ki - váratlan folyó, amit csak köveken lépkedve tudunk átszelni,
hatalmas, nyugodt tó, átjárhatatlan gleccserszakadék. A matematika
alkalmazója csak a vidék jól kitaposott ösvényein jár. Az alkotó matematikus
felkutatja ismeretlen titkait, feltérképezi azokat, és utakat épít rajtuk
keresztül, hogy mindenki számára hozzáférhetők legyenek.
E táj egybekapcsolására a
bizonyítás szolgál. A bizonyítás jelöli ki az
utat az egyik ténytől a másikig. Hivatásos matematikus nem tekint
érvényesnek semmilyen állítást mindaddig, amíg az be nincs bizonyítva
logikai hiba nélkül. Ám vannak határok: mit bizonyíthatunk be és hogyan. A
filozófia és a matematika megalapozásának tudománya igen nagy munkát
fordított arra, hogy megmutassa: nem bizonyíthatunk bármit, mert valahonnét
ki kell indulnunk; s ha már eldöntöttük, honnan induljunk, bizonyos
állítások bizonyíthatatlanok vagy cáfolhatatlanok lehetnek. Nem kívánok
ebben az irányban továbbhaladni; ehelyett gyakorlatiasan szemügyre veszem,
mik a bizonyítások és miért szükségesek.
A matematikai logika tankönyvei szerint a bizonyítás állítások sorozata,
ezek mindegyike vagy előző állításokból következik, vagy axiómákból -
bizonyíthatatlan, de explicite feltételezett állításokból, amelyek végső
soron meg is határozzák a matematika éppen vizsgált területét. Ez így
körülbelül annyit mond számunkra, mintha egy regényt mondatok sorozataként
jellemeznénk, mely mondatok mindegyike vagy utal egy ismert szövegre, vagy
hihetően következik az előző mondatokból. Mindkét meghatározásból csak a
lényeg hiányzik: hogy akár a bizonyításnak, akár a regénynek érdekesnek kell
lennie. Másodlagos szempontot ragadnak meg, ti. a sztori meggyőző voltát, és
a használandó formátumot is megjelölik, de a legfontosabb jellemző, valljuk
be, mégiscsak egy lendületes jó sztori volna.
Nagyon kevés tankönyv beszél erről.
Legtöbbünket felbosszant egy logikai bakugrással teli film, legyen mégoly
fényes a technikai kivitele. Nemrég láttam egy ilyet, ebben egy repülőteret
gerillák foglalnak el, és az irányítótorony elektronikus berendezését a
sajátjukkal helyettesítik. A személyzet és a főhős aztán a filmből másfél
órát vagy még többet (sztori-időben mérve több órát) töltenek el azzal, hogy
képtelenek kommunikálni a közeledő repülőgépekkel, amelyek egyre jobban
összetorlódnak a magasban, és az üzemanyaguk is kifogy. Senkinek nem tűnik
fel, hogy van egy tökéletesen működő repülőtér alig 50 kilométernyire, és
eszükbe se jut, hogy telefonáljanak a legközelebbi légibázisra. A sztorit
ragyogóan és fényűzően vitték filmre - és bután.
Ettől még sokan élvezhetik a filmet, a kritikai szintjük, úgy látszik,
alacsonyabb, mint az enyém. De mindannyiunknak vannak korlátai, meddig
fogadunk el valamit hihetőnek. Ha egy amúgy realisztikus filmben egy gyerek
azzal szórakozna, hogy felkap egy házat, és odébbviszi, legtöbbünk
elvesztené az érdeklődését. Hasonlóan, a matematikai bizonyítás maga is
történet a működő matematikáról. Nem fontos, hogy minden i-re kitegye a
pontot és áthúzza minden t szárát; az olvasók maguk is elvégezhetik a
rutinlépéseket - ahogy a film szereplői is felbukkanhatnak váratlanul új
körülmények között anélkül, hogy tudnánk, hogyan kerültek oda. De a
sztoriban nem lehetnek hézagok, és a cselekménynek bizonyosan hihetőnek kell
lennie. A szabályok szigorúak: a matematikában egyetlen rés is végzetes.
Sőt, egy nemnyilvánvaló logikai rés ugyanúgy, mint egy nyilvánvaló.
Vegyünk egy példát. Egyszerűt választottam, hogy elkerüljük a technikai
nehézségeket; ezért aztán a bizonyítás egyszerű és nem túlságosan jelentős
sztorit mesél el. Egy kollégámtól loptam, aki SHIP/DOCK Tételnek nevezi.
Bizonyára ismeri az olvasó azt a rejtvényt, amiben adott egy szó (SHIP),
amit át kell alakítani egy másikká (DOCK), mindig csak egy betűt
változtatva, és végig értelmes szavakon haladva. Megpróbálhatná az olvasó is
megfejteni a rejtvényt még most, mielőtt tovább olvasna: akkor talán
könnyebben megértené a tételt és a bizonyítását. Íme egy rnegoldás:
(*) A játék szellemének érzékeltetésére magyarul is készítettünk egy
változatot - miként lesz a NAPOS-ból BORÚS. (A szaklektor megj.)
Számtalan lehetőség van, és némelyik még kevesebb szóval is megoldható. De
ha eljátszadozunk ezzel a problémával, észre fogjuk venni, hogy minden
megoldásban van valami közös: legalább az egyik közbülső szó tartalmazni fog
két magánhangzót.
Rendben van, bizonyítsuk be!
Nem fogadok el semmiféle kísérleti bizonyítékot. Hiába hoz valaki száz
megoldást, és mindben akad egy-egy szó két magánhangzóval. Egy ilyen
bizonyíték nem felel meg nekünk, egyrészt, mert valami azt súgja, hátha
elnéztünk egy jó megoldást, ami ilyen szót nem tartalmaz. Másrészt bizonyára
azt is érezzük: "ez nyilvánvaló". Egyetértek: de
miért nyilvánvaló?
Most önök olyan lelkiállapotba kerültek, amiben a matematikusok idejük
nagy részét töltik: ez a frusztráció. Már tudják, mit akarnak bizonyítani,
hisznek benne, de nem látják, milyen meggyőző sztori-ív alkalmas a
bizonyításra. Ez azt jelenti, hogy hiányzik valami kulcsötletük, ami az
egész problémát feltárná önök előtt. Hadd adjak önöknek ilyen ötletet.
Gondolkozzanak el rajta néhány percig, és megtapasztalhatják a matematikus
sokkalta kellemesebb lelkiállapotát: a megvilágosodást.
Az ötlet a következő: Minden, az angol nyelvben valóban létező szó
tartalmaz legalább egy magánhangzót.
Egész egyszerű kis állítás. Először is, győződjenek meg róla, hogy igaz.
(Itt elfogadható egy szótárban történő keresés, feltéve, hogy nagy szótárról
van szó.) Akkor hát tekintsük az állítás következményeit!
Rendben, akár megcsinálták, akár föladták. Mindkét esetben ugyanezt tette
számos matematikai problémájával minden hivatásos matematikus. És most jön a
trükk. Arra kell koncentrálniuk, mi történik a magánhangzókkal. Ezek a
hegycsúcsok a SHIP/DOCK tájon, azok az útjelzők, amelyek körül a bizonyítás
ösvénye kanyarog.
A SHIP kezdőszó csak egy magánhangzót tartalmaz, a harmadik helyen. A
DOCK végszó is egyet, a második helyen. Hogyan válthat helyet a magánhangzó?
Három lehetőség van. Átugorhat az egyik helyről a másikra; teljesen eltűnhet
és újra megjelenhet később; vagy pedig többlet magánhangzó vagy magánhangzók
keletkezhetnek, majd később eltűnhetnek.
A harmadik lehetőség egyenesen a tételhez vezet. Mivel egyszerre csak egy
betű változhat, egy bizonyos fázisban a szónak egymagánhangzósból
kétmagánhangzósba kell átmennie. Nem ugorhat például egyből háromba. De mi a
helyzet a másik két lehetőséggel? Ötletem az, hogy a SHIP szó egyetlen
magánhangzója nem tűnhet el. Így már csak az első lehetőség marad, ahol
mindig pontosan egy magánhangzó van, de az a harmadik helyről valamikor
átugrik a másodikba. Ám ez egyetlen betű megváltoztatásával lehetetlen. Egy
lépésben egy harmadik helyen lévő magánhangzóból és egy második helyen lévő
mássalhangzóból kellene egy harmadik helyen lévő mássalhangzót és egy
második helyen lévő magánhangzót faragni. Két betűnek kellene változnia
egyszerre, ami nem megengedett. Q.E.D. (*)
(*) Quod erat demonstrandum (latin) = amit bizonyítani kellett, ahogy az
Eukleidész latin forrásaiból közkinccsé vált. (A szaklektor megj.)
Egy matematikus sokkal formálisabban írná le ezt a bizonyítást, kicsit a
tankönyvbeli modellhez hasonlóan, de a fontos az, hogy a sztori meggyőző
legyen. Mint minden jó sztori, van eleje és van vége, és egy íve, amely
eljuttatja az olvasót az elejétől a végéig, logikai hézag nélkül. Bár az
előbbi nagyon egyszerű példa volt, és egyáltalán nem standard matematika, a
lényeget láttatni engedi; többek között az óriási különbséget a természetes
módon meggyőző érv és az "integetős" érv között, amely elfogadható, mégsem
átütő. Remélem, sikerült elérni, hogy az olvasó átélje az alkotó matematikus
néhány lelkiállapotát: a frusztrációt amiatt, hogy nem sikerült még kezelni
azt, aminek egész könnyű kérdésnek kellene lennie, a lelkesültséget, amikor
földereng a fény, a gyanakvást, amikor ellenőrizzük az érvelést, nincs-e
benne logikai hézag, az esztétikai örömöt, amikor eldöntöttük, hogy az idea
valóban helyes, és látjuk, milyen elegánsan vágta keresztül a gordiuszi
csomót. Az alkotó matematika éppen ilyen - csak komolyabb a tárgya.
A bizonyításoknak meggyőzőeknek kell lenniük, ahhoz, hogy a matematikusok
elfogadják őket. Sok olyan eset fordult elő, amikor igen nagy numerikus
adathalmaz rossz megoldást sugallt. Egy közismert példa a prímszámokkal
kapcsolatos ezek azok a számok, amelyeknek két osztója van: önmaguk és az 1.
A prímszámok sorozata a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sorozattal kezdődik, és
akármeddig folytatódik. A 2-től eltekintve mindegyik páratlan; a páratlan
prímek kétfélék: azok, amelyek eggyel kisebbek, mint a négy többszöröse (3,
7, 11, 19) és amelyek eggyel nagyobbak, mint a négy többszöröse (5, 13, 17).
Ha a prímek sorozatán haladva mindig megszámoljuk, hány prím esik az egyik,
illetve a másik osztályba, megfigyelhetjük, hogy mindig több van az "eggyel
kisebb", mint az "eggyel nagyobb" osztályban. Például a fenti hét prím közül
négy esik az első, és három a második osztályba. Ez a minta kitart legalább
egybillióig, és teljesen indokolt volna azt sejteni, hogy mindig érvényes.
De mégsem ez a helyzet.
A számelmélet szakemberei indirekt módszerekkel kimutatták, hogy amikor
elég nagy prímeket vizsgálunk, a szituáció megváltozik, és az "eggyel
nagyobb" osztály kezd vezetni. Ennek a ténynek az első bizonyítása csak
10'10'10'10'46-nál nagyobb számokra működött. Hogy a nyomtató macskakörmeit
elkerüljem, a ' jelet használtam a hatványozás jelölésére. Ez
csillagászatian nagy szám. Ha teljesen kiirnánk, tömérdek nullát kellene a
végére írni. Ha a kozmoszban minden papírrá változna, és minden elektronra
ráírnánk egy nullát, még úgy is csak apró töredékét tudnánk leírni a
szükséges nulláknak.
Nincs a kísérleti tapasztalatoknak olyan mennyisége, ami szavatolná, hogy
kivételek ne merüljenek fel a megsejtett szabály alól, még ha ezek a
kivételek csak a fenti nagyságrendű számoknál jelentkeznek is. Sajnos a
matematikában a ritka kivételek is számítanak. A hétköznapi életben nem
szoktunk aggódni olyan események miatt, amelyek billió esetből egyszer
következnek be. Szokott ön aggódni, hogy eltalálja egy meteorit? Ennek az
esélye kb. egy a trillióhoz. A matematika azonban a logikai
következtetéseket sorra egymásra rakja, és ha csak egy lépés hibás, az egész
épület összedőlhet. Ha azt állítottuk, hogy minden szám egy bizonyos módon
viselkedik, és akár csak egy szám mégsem így, akkor tévedtünk, és mindennek
az érvényessége, amit erre a hamis állításra építettünk, bizonytalanná
válik.
Még a legjobb matematikusokkal is előfordult: kijelentették valamiről,
hogy bebizonyították, később azonban kiderült, hogy állításuk nem állja meg
a helyét, volt a bizonyításukban egy megbúvó rés, vagy a számításaikban
valami egyszerű hiba, esetleg figyelmetlenségből feltételeztek valamit, ami
mégsem volt olyan sziklaszilárdan igaz, mint képzelték. Ezért aztán az
évszázadok során a matematikusok megtanulták, hogy nagyon kritikusak
legyenek a bizonyításokkal szemben. A bizonyítások tartják össze a
matematika szövetét, ha csak egy cérnaszál is gyenge, az egész szövet
szétbomolhat.