Ian Stewart: A természet számai

4. FEJEZET

A változás állandói


Az emberi gondolkodás a természetről évszázadok óta két szélsőséges nézet között ingadozik. Az egyik szerint az univerzum rögzített, változatlan törvényeknek engedelmeskedik, és minden egy jól definiált, objektív valóságban létezik. Az ezzel ellentétes vélekedés szerint ilyen objektív realitás nincs; minden áramlás, minden változás. Ahogy Hérakleitosz, a görög filozófus kifejezte: "Nem léphetsz kétszer ugyanabba a folyóba". A természettudományban kialakulásakor nagyrészt az első nézőpont uralkodott.

      Egyre több jel utal azonban arra, hogy az élenjáró kulturális irányzatok a második nézőpont felé fordulnak - egészen különböző áramlatok, amilyen a posztmodernizmus, a kibernetika vagy a káosz elmélete tették bizonytalanabbá a hitet a valóság objektivitásában, és indították újra az örök vitát a merev törvényekről, valamint a rugalmas változásról.

      Nem tehetünk mást, mint hogy mindenestől kilépjünk ebből a hiábavaló játékból. Meg kellene találnunk az utat visszafelé a két ellentétes világnézetből - nem annyira szintézist keresve, mint inkább úgy látva mindkét nézetet, mint a valóság valamely magasabb rendjének árnyékát, olyan árnyékokat, amelyek csak azért különböznek, mert ezt a magasabb rendet két különböző irányból szemlélik.

      De létezik-e ilyen magasabb rend, és ha igen, elérhető-e? Sokak számára mind a mai napig - többek között természettudósok számána is - Isaac Newton képviseli a racionalizmus diadalát a miszticizmus felett. Maynard Keynes, a híres közgazdász Newton, the Man (Newton, az ember) című esszéjében másként vélekedik:

      "A 18. században és azóta is Newtonról úgy gondolkodnak, mint a modern kor természettudósai közül az elsőről és a legnagyobbról, a racionalistáról, aki megtanított minket arra, hogy hideg és rendíthetetlen ésszel gondolkodjunk. Én nem így látom őt. Nem hiszem, hogy aki figyelmet szentelt annak a ládának a töredékesen ránk maradt tartalmára, amelybe Newton becsomagolt, mikor végül 1696-ban elhagyta Cambridgeet, ilyennek láthatná őt. Newton nem az első embere volt az ész korának. Az utolsó varázsló volt, az utolsó a babiloniak, a sumérok közül, az utolsó nagy elme, aki ugyanazzal a szemmel nézett a látható és az intellektuális világra, mint akik nem egészen 10.000 évvel ezelőtt elkezdték építeni a mi szellemi örökségünket. Isaac Newton, az 1642 karácsonyán árván született gyermek volt az utolsó csodagyerek, akit megillethetne a Háromkirályok őszinte és illő alázata."

      Keynes itt Newton személyiségére gondolt, valamint érdeklődésére, ami az alkímia és a vallás iránt éppúgy megmutatkozott, mint a matematika és a fizika iránt. De mi is megtaláljuk Newton matematikájában az első jelentős lépést afelé a világnézet felé, amely meghaladja és egyesíti a merev törvényt és a változékony áramlást. Az univerzum tűnhet a változás vihar korbácsolta óceánjának, ám Newton, s előtte pedig Galilei és Kepler, az óriások, akiknek ő a vállára állt, megértették, hogy e változás törvényeknek engedelmeskedik. Nemcsak együtt léteznek törvény és áramlás, hanem a törvény hozza létre az áramlást.

      A káosz, illetve a komplexitás napjainkban kifejlődő tudománya térképezi fel a fentiek hiányzó ellentétét: az áramlás törvényt hoz létre. De ez már egy másik történet, amit az utolsó fejezetre tartogatunk.

      Newton előtt a matematika a természetnek egy lényegében statikus modelljét fogalmazta meg. Kevés kivétellel a legnyilvánvalóbb Ptolemaiosz elmélete a bolygók mozgásáról, amely nagyon pontosan rögzítette a megfigyelt változásokat körök egy rendszerének használatával, ezek a körök középpontok körül forogtak, s a középpontok maguk is forgó körökhöz tartoztak - kerékben-kerékben-kerék. Csakhogy akkor a matematika feladata a természet által használt "ideális formák" katalógusának elkészítése volt. A kört tartották a lehető legtökéletesebb formának, annak a demokratikus felismerésnek a nyomán, hogy a kör kerületének minden pontja ugyanolyan távol van a középponttól. A természet, mely magasabb rendű lények alkotása, már meghatározása szerint is tökéletes, és az ideális formák matematikai tökéletességek, a kettő tehát természetszerűleg összeillik. A tökéletességről pedig úgy gondolták, hogy nem csúfítja el semmilyen változás.

      Kepler szembeszállt ezzel a felfogással, amikor a bonyolult körrendszerek helyébe ellipsziseket képzelt. Végül Newton teljesen elvetette ezt a felfogást, és a formákat az őket létrehozó törvényekkel helyettesítette.

      Bár következményei beláthatatlanok, a mozgás Newton-féle megközelítése valójában egyszerű. Szemléltethető egy lövedék, például egy bizonyos szögben kilőtt ágyúgolyó mozgásával. Galilei kísérletei során felfedezte, hogy egy ilyen lövedék pályája ún. parabola, az ókori görögök által már ismert görbe, s kapcsolatos az ellipszissel. Ebben az esetben fordított U betűt formáz.

      A parabolapálya úgy érthető meg a legjobban, ha a lövedék mozgását két független komponensre bontjuk: vízszintes irányú és függőleges irányú mozgásra. Ha külön-külön foglalkozunk e kétfajta mozgással, és csak akkor rakjuk össze őket újra, ha külön-külön már megértettük, látni fogjuk, miért lesz a pálya parabola.

      Az ágyúgolyó vízszintes irányú mozgása nagyon egyszerű: állandó sebességgel történik. Függőleges irányú mozgása az érdekesebb. Egészen gyorsan kezd felfelé mozogni, aztán lelassul, míg egyszer csak egy pillanatra mintha megállna a levegőben, aztán elkezd lefelé esni, először lassan, majd gyorsan növekvő sebességgel.

      Newton felismerése az volt, hogy bár az ágyúgolyó helyzete egészen bonyolult módon változik, sebessége sokkal egyszerűbben, gyorsulása pedig már egészen egyszerűen alakul. A következő oldalon lévő 2. ábra együtt mutatja a három függvényt és a köztük fennálló kapcsolatot az alábbi példában.

2. ábra
A kalkulus dióhéjban.
Három matematikai minta, amelyeket az ágyúgolyó határoz meg: magasság, sebesség, gyorsulás. A magasság mintája, amit közvetlenül megfigyelünk, bonyolult. Newton rájött, hogy a sebesség mintája egyszerűbb, a gyorsulásé pedig még ennél is egyszerűbb. A kalkulus két fő operációja, a differenciálás és az integrálás, lehetővé teszi, hogy akármelyik mintáról akármelyik másikra térjünk át. Tehát dolgozhatunk e legegyszerűbbel, a gyorsulással, s belőle levezethetjük - amelyikre valóban kiváncsiak voltunk - a magasságot.

      A szemléletesség kedvéért tegyük fel, hogy a kezdeti sebesség felfelé ötven méter másodpercenként (50 m/sec). Akkor az ágyúgolyó magassága a föld felett, egymásodperces időközökben:

0, 45, 80, 105, 120, 125, 120, 105, 80, 45, 0.

Láthatjuk ezekből a számokból, hogy a golyó felszáll, a csúcsnál megáll, majd leszáll. Az adatsor általános mintája azonban nem teljesen nyilvánvaló. A nehézséget Galilei és még inkább Newton idejében fogalmazták meg, tudniillik, nehéz volt ezeknek a számoknak a közvetlen mérése. Galilei golyót görgetett fel egy enyhe lejtőn, hogy az egész folyamatot lelassítsa. A legnagyobb nehézséget az idő pontos mérése jelentette: Stillmann Drake történész hipotézise szerint Galilei talán dúdolt magában, és a zenei ütemet fejben felosztotta, ahogyan a zenészek.

      A távolságok adatsorának mintája rejtvényszerű, de a sebességeké sokkal világosabb. A golyó 50 m/sec-os felfelé irányuló sebességgel indul. Egy másodperccel később a sebesség (nagyjából) 40 m/sec; újabb másodperc elteltével 30 m/sec; aztán 20 m/sec, 10 m/sec, végül 0 m/sec (a golyó egy pillanatra mozdulatlanná válik). Újabb másodperc elteltével a sebesség 10 m/sec lefelé. Negatív számokat használva ezt úgy tekinthetjük, mint egy felfelé irányuló -10 m/sec-os sebességet. A további másodpercekben a minta így folytatódik: -20 m/sec, -30 m/sec, -40 m/sec, -50 m/sec. Ezen a ponton az ágyúgolyó eléri a talajt. A sebességek sorozata tehát, egymásodpercenként mérve:

50, 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, -40, -50.

Mármost itt a mintát nehéz nem észrevenni, de menjünk egy lépéssel tovább, és nézzük meg a gyorsulásokat. Az ágyúgolyó gyorsulásának megfelelő sorozat, ismét negatív számokat használva a lefelé tartó mozgáshoz:

-10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10.

Azt hiszem, egyetértenek abban, hogy ez egy fokozhatatlanul egyszerű sorozat. A golyó lefelé irányuló állandó 10 m/s˛ gyorsulással halad. (A valóságos érték 9,81 m/s˛ körül ingadozik, attól függően, hogy a kísérletet a Földnek mely pontján hajtjuk végre. De a 10-es számmal könnyebb dolgozni.)

      Hogyan tudjuk megmagyarázni ezt az állandót, amely megbúvik a mozgás változói között? Miért marad állandó a gyorsulás, mikor minden más változik? Az egyik meggyőző magyarázatnak két eleme van. Az első, hogy a Föld húzza lefelé a golyót; vagyis a gravitációs erő hat a golyóra. Indokolt feltételeznünk, hogy ez az erő különböző magasságokban ugyanakkora. Valóban, azért érezzük, hogy súlyunk van, mert a gravitáció lefelé húzza testünket, és akkor is ugyanannyit nyomunk, ha egy magas épület tetején állunk. Persze, ebből a mindennapi megfigyeléshez folyamodó hivatkozásból nem derül ki, mi történik, ha a távolság meglehetősen nagy - mondjuk a Hold és a Föld távolsága. Ez megint egy másik történet, amire később röviden visszatérünk.

      A magyarázat második eleme az igazi áttörés. Adott egy test, amire állandó lefelé irányuló erő hat, és azt tapasztaljuk, hogy lefelé irányuló gyorsulása állandó. Tegyük fel az érvelés kedvéért, hogy a gravitációs erő sokkal nagyobb: ekkor elvárhatjuk, hogy a lefelé való gyorsulás is sokkal nagyobb legyen. Anélkül, hogy átmennénk egy nehéz bolygóra, például a Jupiterre, nem tudjuk kipróbálni ezt az ötletet, mégis indokoltnak látszik; s ugyanilyen indokolt feltennünk, hogy a Jupiteren a lefelé tartó gyorsulás ismét állandó lenne - persze az ittenitől különböző állandó. A legegyszerűbb elmélet, ami a valódi és a gondolatkísérleteknek e vegyülékével összhangban áll, úgy szól, hogy ha erő hat egy testre, akkor a test gyorsulása egyenesen arányos az erővel. És ez Newton mozgástörvényének lényege. Most már csupán az a feltevés hiányzik, hogy ez mindig igaz, minden testre és minden erőre, függetlenül attól, hogy az erő állandó marad-e vagy sem; valamint az arányossági tényező azonosítása a test tömegével. Hogy pontosak legyünk, Newton mozgástörvénye kimondja:

tömeg x gyorsulás = erő.

Hát ez az. Nagy erénye, hogy érvényes minden erő- és tömegrendszerre, beleértve az időben változókat is. Nem sejthettük ezt az univerzális alkalmazhatóságot abból az érvelésből, ami a törvényhez vezetett, mégis így alakult.

      Newton három mozgástörvényt mondott ki, de a modern megközelítés ugyanazon matematikai egyenlet három aspektusának tekinti ezeket. A "Newton mozgástörvénye" mondattal ezért a továbbiakban az egész hármas csomagra utalok.

      A hegy lábánál álló hegymászót természetes ösztöne arra bírja, hogy megmássza a hegyet; a matematikust, ki leül egy egyenlethez, természetes ösztöne arra bírja, hogy megoldja azt. De hogyan? Ha adott egy test tömege és a rá ható erők, könnyen meg tudjuk oldani az egyenletet, hogy megkapjuk a gyorsulást. Csakhogy ezt a választ rossz kérdésre adtuk. Ha tudjuk, hogy egy ágyúgolyó gyorsulása 10 m/s˛, ez még nem ad kézenfekvő információt pályájának alakjáról. Itt jön be a kalkulusnak (differenciál- és integrálszámításnak) nevezett matematikai ágazat; Newton (és Leibniz) voltaképpen ezért találták fel. A kalkulus egy manapság integrálásnak nevezett technikát szolgáltat, ami lehetővé teszi, hogy a gyorsulást minden pillanatban ismerve kiszámítsuk a sebességet minden pillanatra. Ha ugyanezt a trükköt megismételjük, megkapjuk a helyet is minden pillanatban. Ez hát a válasz a kérdésre.

      Ahogy korábban már mondtam, a sebesség a helyváltoztatás mértéke, míg a gyorsulás a sebességváltozásé. A kalkulus egy abból a célból kifejlesztett matematikai módszer, hogy a változásmértékekkel kapcsolatos kérdéseket megoldja. Pontosabban technikát szolgáltat arra is, hogy változásmértékeket megállapítsunk - ez a differenciálásnak nevezett technika. Az integrálás "visszacsinálja", amit a differenciálás elvégzett; kétszeri integrálás pedig visszacsinálja, amit a kétszeri differenciálás elvégzett. Mint Janus, a római isten ikerarcai, a kalkulusnak ezek az ikertechnikái két ellentétes irányba mutatnak. Közben megmondják, hogy akármelyik függvényt ismerve - a hely, a sebesség vagy a gyorsulás közül - minden pillanatban, hogyan számítsuk ki a másik kettőt.

      Newton mozgástörvénye fontos leckére tanít: az út a természet törvényeitől a természet viselkedéséig nem okvetlenül közvetlen és nyilvánvaló. A megfigyelt viselkedés és a belőle következő törvény között szakadék tátong, amit az emberi elme csak matematikai számításokkal tud áthidalni. Ezzel nem azt sugalljuk, hogy a természet nem más, mint matematika - hogy (mint azt Paul Dirac fizikus mondta) "Isten matematikus". Lehet, hogy a természet mintáinak és szabályosságainak más az eredete; de, végtére is, a matematika nagyon hatékony módszer az ember számára, hogy megértse ezeket a mintákat.

      A fizikának minden törvénye, amit Newton alapvető felismerése nyomán fedeztek fel - tudniillik, hogy a változás a természetben leírható matematikai eljárásokkal, csakúgy, ahogyan a természeti forma is leírható matematikával -, hasonló jelleget ölt. Ezek a törvények olyan egyenletekkel fogalmazhatók meg, amelyek nem elsősorban a fizikai mennyiségekhez kapcsolódnak, hanem azok időbeli változásának mértékéhez. Például a "hővezetési egyenlet", amely megadja, hogyan terjed a hő egy hővezető testben, nem másról szól, mint a test hőmérsékletének változásmértékéről; a "hullámegyenlet" pedig, amely leírja a hullámok mozgását a vízben, levegőben és más anyagokban, a hullámamplitúdó változásmértékének változásmértékét követi nyomon. A fény, hang, elektromosság, mágnesesség, anyagok rugalmas hajlítása, folyadékok áramlása vagy kémiai reakciók lefolyása, mind különböző változásmértékekre vonatkozó egyenletek.

      Mivel a változásmérték egy mennyiség jelenlegi és későbbi értéke közti különbség, az ilyen egyenleteket differenciálegyenleteknek hívjuk. A "differenciálás" kifejezés eredete ugyanez. Newton óta a matematikai fizika arra törekszik, hogy az univerzumot differenciálegyenletekkel írja le, és aztán megoldja azokat.

      Ugyanakkor, ahogy nyomon követtük ezt a törekvést bonyolultabb régiókban, a "megoldani" szó jelentése sok változáson ment keresztül. Először azt jelentette: pontos matematikai képletet találni, ami minden időpillanatban leírja, mi történik egy adott rendszerben. Newton felfedezése egy másik természeti mintáról, a gravitációs törvény, ilyenfajta megoldás volt. Kepler felfedezéséből indult ki, amely szerint a bolygók ellipszispályán mozognak, valamint Keplernek két másik észrevételéből. Newton azt kérdezte, milyen, a bolygóra ható erő szükséges ahhoz, hogy megkapjuk a Kepler által feltételezett ellipszismintát. Valójában Newton megpróbált fordított irányban dolgozni, indukcióval dedukció helyett. És nagyon szép eredményre jutott. A szükséges erő mindig a Nap irányába mutat; ezenkívül csökken, ha a Naptól mért távolság nő. Továbbá, e csökkenés egyszerű matematikai törvénynek tesz eleget, a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. Ez azt jelenti, hogy egy kétszer akkora távolságban elhelyezkedő bolygóra negyedakkora erő hat, egy háromszor akkora távolságban levőre kilencedakkora, és így tovább. Ezt a felfedezést, ami olyan szép volt, hogy tudni lehetett: mély igazságot rejt a világról - már csak egy lépés választotta el annak megértéséig, hogy a fenti erő okozója elsősorban a Nap. A Nap vonzza a bolygót, de a vonzás gyengébb, ha a bolygó távolabb helyezkedik el. Csábító volt az ötlet, és Newton óriási szellemi ugrásra vállalkozott: feltételezte, hogy ugyanez a vonzóerő lép fel bármely két test között, bárhol a világegyetemben.

      Most, hogy "indukálta" az erőtörvényt, Newtonnak sikerült körbeérnie érvelésével, dedukálva a bolygómozgás geometriáját. Megoldotta a mozgás- és gravitációs törvényekből nyert egyenleteket két egymást kölcsönösen vonzó testre, amelyek eleget tesznek a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. Akkoriban a "megoldotta" annyit jelentett: talált egy matematikai képletet a mozgásuk leírására. A képlet kiadta, hogy ellipszispályákon kell mozogniuk közös tömegközéppontjuk körül. Ahogy a Mars a Nap körül óriási ellipszispályán kering, a Nap annyira kicsiny ellipszispályán mozog, hogy mozgása érzékelhetetlen. Valóban, a Nap tömege a Marshoz képest oly nagy, hogy a közös tömegközéppont mélyen a Nap felszíne alatt helyezkedik el, ami megmagyarázza, miért hitte Kepler, hogy a Mars a mozdulatlan Nap körüli ellipszispályán halad.

      Ám amikor Newton és követői megpróbáltak erre az eredményre támaszkodni három vagy még több test - például a Hold/Föld/Nap vagy akár az egész Naprendszer - által alkotott rendszer egyenleteinek megoldásakor, komoly technikai nehézségekbe ütköztek, és csak úgy tudták ezeket kikerülni, hogy megváltoztatták a "megoldani" szó jelentését. Nem találtak semmilyen képletet, amely az egyenleteket megoldaná, így feladták az ez irányú próbálkozásokat. Ehelyett megpróbáltak módszereket találni közelítő értékek kiszámítására. Például 1860 körül Charles-Eugčne Delaunay francia csillagász egy teljes könyvet töltött meg egyetlen közelítő számítással, amely a Föld és Nap gravitációs vonzása által befolyásolt Hold mozgását írja le. Igen pontos számítások voltak ezek - ezért is töltöttek meg egy könyvet -, és húszévi munkájába kerültek. Amikor 1970-ben végigellenőrizték egy szimbolikus algebrai számítógépes programmal, a számítás csupán húsz órát igényelt: mindössze három hibát találtak Delaunay művében, és azok sem voltak komolyak.

      A Hold/Föld/Nap mozgásának problémáját három-testproblémának hívjuk. Annyira más, mint a takaros két-testprobléma, amit Newton megoldott, mintha valami más bolygón egy másik galaxisban találták volna ki, vagy egy másik univerzumban. A három-test-probléma megoldást keres három tömeg mozgását leíró egyenletekre, ha ezek eleget tesznek a távolság négyzetével fordított arányosság törvényének. A matematikusok évszázadok óta próbáltak erre megoldást találni, de megdöbbentően kevés sikerrel, ha eltekintünk az olyan közelítésektől, mint Delaunay munkája, ami ráadásul csak a Hold/Föld/Nap speciális esetével foglalkozott. Kezelhetetlennek bizonyult továbbá az ún. leszűkített három-test-probléma is, ahol az egyik test tömege annyira kicsi, hogy úgy tekinthetjük, mintha nem gyakorolna erőt a másik kettőre. Ez volt az első intő jel arra nézve, hogy a törvények ismerete nem mindig elegendő egy rendszer viselkedésének megértéséhez; hogy a szakadék törvények és viselkedés között nem mindig hidalható át.

      A komoly erőfeszítések ellenére több mint háromszáz évvel Newton után máig sem ismerjük a teljes megoldást a három-test-problémára. Tudjuk viszont, hogy miért olyan nehéz ez a kérdés. A két-test-probléma "integrálható" - az energia és az impulzus megmaradásának törvénye annyira leszűkíti a lehetséges megoldások halmazát, hogy ez egyszerű matematikai formát kényszerít ki. 1994-ben Zhiong Xia, a Georgia Institute of Technology (USA) munkatársa bebizonyította, amit a matematikusok hosszú ideje gyanítottak: hogy egy három testből álló rendszer nem integrálható. Sőt, sokkal többet bizonyított be; kimutatta, hogy egy ilyen rendszer produkálni tudja az Arnold-diffúziónak nevezett különös jelenséget. Ezt először 1964-ben fedezte fel a Moszkvai Állami Egyetemen dolgozó Vlagyimir Arnold. Az Arnold-diffúzió a testek egymáshoz viszonyított helyzetének igen lassú, "véletlen" ingadozása. Az ingadozás valójában nem véletlenszerű: ez is egy példa a manapság káoszként ismert viselkedésre - amely látszólag véletlen, de valójában tökéletesen meghatározott folyamat.

      Vegyük észre, hogy ez a megközelítés megint csak megváltoztatja az "oldd meg" jelentését. Először ez azt jelentette: "találj képletet". Később pedig azt: "találj közelítő megoldást". Végül nem várt mást, mint: "mondd meg, milyen a megoldás". Mennyiségi válaszok helyett minőségi válaszokat keresünk. Bizonyos értelemben ez visszavonulásnak látszik: ha túl nehéz képletet találni, keress közelítést; ha még ezt se lehet, kísérelj meg minőségi leírást. Azonban tévedés ezt a fejleményt visszavonulásnak tekintenünk, mert a fenti jelentésváltozás arra tanított meg minket, hogy a három-test-problémához hasonló kérdések esetében egyáltalán nincs képlet. Be tudjuk bizonyítani, hogy vannak olyan minőségi szempontok, amelyeket egy képlet nem tudna figyelembe venni. Az ilyen kérdésekben képlet keresése légvárépítés volt.

      Miért akartak a tudósok elsősorban képletet találni? Azért, mert a dinamika korai szakaszában ez volt az egyetlen módja annak, hogy kiszámítsák, milyenfajta mozgás léphet fel. Később ugyanez az információ közelítő számításokból is megkapható volt. Napjainkban olyan elméletekből jutunk hozzá, amelyek közvetlenül és pontosan kezelik a mozgás minőségi aspektusait. Ahogy a következő néhány fejezetben látni fogjuk, ez a lépés a kimondottan kvalitatív elmélet felé nem visszalépés, hanem komoly fejlődés. Először azzal kezdjük, hogy a természet mintáit a saját formájukban próbáljuk megérteni.