8. FEJEZET
A kockák Istent játszanak?
Isaac Newton intellektuális öröksége látomás volt az óraműszerű
univerzumról, amelyet a teremtés pillanatában hoztak mozgásba, de attól
fogva az előírt kerékvágásban haladt tovább, mint egy jól olajozott
szerkezet. Egy tökéletesen determinisztikus világ képe volt ez, amelyben
nincs lehetőség a véletlen számára, s amelynek jövőjét jelene egyértelműen
meghatározza. Ahogy a nagy matematikus-csillagász, Pierre-Simon de Laplace
ékesszólóan fejezte ki 1812-ben "A valószínűség analitikus elmélete" című
műben: "Egy értelmes lény, aki minden adott pillanatban ismerné az összes, a
Természetet elevenen tartó erőt és a benne lévő lények köksönös helyzetét,
ha elég hatalmas értelemmel bírna, hogy adatait elemzésnek vesse alá, képes
lenne egyetlen formulába sűríteni az univerzum legnagyobb testjeitől egészen
a legkönnyebb atomokig mindennek a mozgását: egy ilyen értelmes lény számára
semmi sem volna bizonytalan, és a jövő éppúgy, mint a múlt, jelen volna
szemei előtt."
Ugyanez a totálisan megjósolható jövőjű világról való látomás húzódik meg
az egyik legemlékezetesebb jelenet mögött Douglas Adams 1979-es The
Hitchhiker's Guide to the Galaxy (Galaktikus kézikönyv autóstopposoknak)
című tudományosfantasztikus regényében, mikor is a két filozófus, Majikthise
és Vroomfondel a "Deep Thought" (Mély gondolat) nevű szuperszámítógépnek azt
az utasítást adják, számítsa kí a választ az Élet, az Univerzum és a Minden
nagy kérdésére. Ötmillió évvel később a számítógép azt felelte:
"Negyvenkettő", s ezen a ponton a filozófusok megértették, hogy a válasz
ugyan világos és precíz, ám a kérdés nem. Hasonlóan, Laplace látomásának
hibája nem a feleletében van - hogy tudniillik a világegyetem elvileg
jósolható, ami nem tesz mást, csak pontosan fogalmazza meg Newton
mozgástörvényének egy speciális matematikai aspektusát -, ennek a ténynek
nála szereplő interpretációja azonban alapvető félreértés, ami abból
származik, hogy a kérdést tette fel rosszul. Miután sikerült feltenniük az
ideillő kérdést, a matematikusok és fizikusok mára eljutottak odáig, hogy
értik: determinizmus és jósolhatóság nem szinonimák.
Hétköznapi életünkben számtalan esettel találkozunk, amikor Laplace
determinizmusa teljesen alkalmatlan modellnek bizonyul. Ezerszer megyünk le
biztoságosan a lépcsőn, míg egyik nap kifordul a bokánk, és eltörik.
Elmegyünk egy teniszmeccsre, de váratlanul elmossa az eső. A favoritra
fogadunk a lóversenyen, és az elesik az utolsó sövénynél, hat hosszal a cél
előtt. Ez nem az az univerzum, amelyben - ahogy Albert Einstein
emlékezetesen megtagadta, hogy higgyen - Isten kockákkal játszik: inkább
hasonlít egy olyan univerzumra, amelyben a kockák Istent játszanak.
Determinisztikus lenne világunk, ahogy Laplace állította, vagy a véletlen
kormányozza, ahogy oly gyakran látni véljük? És ha Laplace-nak tényleg igaza
van, miért jelzi annyi tapasztalatunk, hogy nincs igaza? Az új matematikai
ágak közül az egyik legizgalmasabb, a nemlineáris dinamika - népszerű nevén
a káosz elmélete - állítja magáról, hogy sok efféle kérdésre megvan a
válasza. Akár így van, akár nem, mindenképpen forradalmat hozott ez az
elmélet gondolkodásmódunkban rendről és rendetlenségről, törvényről és
szerencséről, jósolhatóságról és véletlenről.
A modern fizika szerint a természeten a véletlen uralkodik a tér és idő
legapróbb méreteiben is. Például, hogy egy radioaktív atom - mondjuk uránium
- elbomlik-e adott időpillanatban, ez tisztán a véletlen műve. Nincs fizikai
különbség a végül elbomló és a végül nem elbomló urániumatom közt. Nincs.
Egyáltalán nincs.
Legalább két szövegösszefüggésben tárgyalhatjuk ezeket a kérdéseket:
kvantummechanikával és klasszikus mechanikával. Ennek a fejezetnek a
legnagyobb része klasszikus mechanikáról szól, de egy pillanatra vegyük
szemügyre a kvantummechanikai kontextust is. A kvantum-indeterminizmusnak ez
a nézete provokálta ki Einsteinnek fent idézett híres mondatát (egy
kollégájának, Max Bornnak írott levelében): "Ön egy olyan Istenben hisz, aki
kockázik, én pedig a tökéletes törvényben és rendben hiszek." Azt gondolom,
van valami gyanús a kvantum-indeterminizmus ortodox fizikai nézetében, és
véleményemmel nem állok egyedül, mert egyre több fizikus kezd eltűnődni,
vajon nem volt-e mindvégig igaza Einsteinnek, és nem hiányzik-e valami a
hagyományos kvantummechanikából - talán "rejtett változók", amelyek értéke
megmondja az atomnak, mikor bomoljon el. (Sietek hozzátenni, hogy ez nem a
hagyományos nézet.) Közülük a legismertebb, David Bohm, a University of
Princeton fizikusa, felépítette a kvantummechanikának egy olyan módosítását,
amelyik teljesen determinisztikus, egyúttal tökéletesen összeegyeztethető
minden rejtélyes jelenséggel, melyeket a hagyományos kvantum-indeterminizmus
alátámasztására használtak. Bohm rendszerének megvannak a maga belső
problémái, például egy bizonyos "távolhatás", ami nem kevésbé zavaró, mint a
kvantum-indeterminizmus maga.
Jóllehet a kvantummechanika érvényes a legkisebb méretekben, a tér és idő
makroszkopikus méreteiben a világegyetem determinisztikus törvényeknek
engedelmeskedik. Ez egy olyan jelenségből következik, amit inkoherenciának
neveznek, és hatására elég nagy kvantumrendszerek elvesztik csaknem teljes
indetermináltságukat, és sokkal inkább newtoni rendszerekként működnek.
Valójában így újra érvényes lesz a klasszikus mechanika a legtöbb emberi
nagyságrendű problémára nézve. A lovak, az időjárás és Einstein híres kockái
nem a kvantummechanika miatt jósolhatatlanok. Ellenkezőleg, a newtoni
modellen belül is azok! Ez talán nem olyan meglepő, ha lovakról van szó - az
élőlényeknek megvannak a maguk rejtett változói, például hogy aznap milyen
szénát reggeliztek. Viszont igen nagy meglepetés érte azokat a
meteorológusokat, akik komoly számítógépes időjárás-szimulációs programokat
fejlesztettek ki, hogy hónapokra előre jelezzék az időt. És bizony riasztó,
mikor a kockák felbukkannak, pedig az emberiség makacsul a kockát használja
a szerencse legkedveltebb szimbólumaként. A kocka végtére is kocka alakú, és
egy feldobott kockának semmivel sem kevésbé volna szabad jósolhatónak
lennie, mint egy pályáján keringő bolygónak: hiszen mindkét objektum
ugyanazoknak a mechanikai mozgástörvényeknek tesz eleget. Alakjuk különböző,
de ugyanolyan szabályos és matematikai jellegű.
Hogy lássuk, miként békíthető ki jósolhatatlanság és determinizmus,
gondoljunk egy, a világegyetemnél sokkal kevésbé ambíciózus rendszerre -
nevezetesen a csapból csöpögő vízcseppekre. Ez egy determinisztikus
rendszer: elvileg a vízfolyás állandó és egyenletes, s már kialakulása is
tökéletesen leírható a folyadékáramlás törvényeivel. Mégis egy egyszerű, de
látványos kísérlet megmutatja, ez a végeredményben determinisztikus rendszer
rávehető, hogy jósolhatatlanul viselkedjék. Ez matematikai töprengésre
késztet minket, amelynek során magyarázatot találunk, vajon miért lehetséges
egy ilyen paradoxon.
Ha egy csapot nagyon finoman megnyitunk, és várunk néhány másodpercet,
hogy a vízfolyás nyugodttá váljon, általában vízcseppek szabályos sorozatát
kapjuk, amelyek szabályos ritmusban csöpögnek le. Nehéz ennél
megjósolhatóbbat találnunk. Ha azonban lassan elforgatjuk a csapot, hogy a
vízfolyás erősségét növeljük, be tudjuk úgy állítani, hogy a vízcseppek
sorozata valami egészen szabálytalan ritmusban essen le, úgy, hogy már
véletlenszerűnek lehessen hallani. Belekerül egy kis kísérletezésbe, hogy ez
valóban sikerüljön, és jó, ha a csap simán forog. Ne fordítsuk el annyira,
hogy a víz folytonos áramban jöjjön; közepes sebességű csepegésre van
szükségünk. Ha jól állítottuk be, percekig hallgathatjuk, anélkül, hogy
bármilyen minta kivehető volna.
1978-ban egy csapat tekintélyromboló fiatal, a kaliforniai egyetemen
végzett hallgató Santa Cruzban megalapította a Dínamikus Rendszerek
Kollektíváját. Amikor elkezdtek ezen a vízcsepprendszeren gondolkozni,
rájöttek, hogy nem is olyan véletlenszerű, mint amilyennek látszik.
Mikrofonnal rögzítették a csepegés zajait, és elemezték az egymást követő
cseppek közti intervallumok sorozatát. Rövid távú jósolhatóságot
tapasztaltak. Ha elmondom az időket négy egymás utáni cseppre, önök is meg
tudják mondani, mikor esik le a következő csepp. Például, ha az utolsó három
intervallum 0,63, 1,17 és 0,44 másodperc volt, biztosak lehetünk benne, hogy
a következő csepp 0,82 másodperccel később esik le. (Ezek a számok csak
illusztrációul szolgálnak.) Valójában ha pontosan ismerjük az első négy
csepp időadatait, a rendszer egész jövőjét előre jelezni tudjuk.
Akkor hát miért is nincs igaza Laplace-nak? A lényeg az, hogy egy
rendszer kezdeti állapotát sosem tudjuk pontosan megmérni! A legprecízebb
mérések, amelyeket bármilyen fizikai rendszerben valaha is végeztek,
körülbelül tíz-tizenkét tizedesjegy pontosságot értek el. De Laplace
állítása csak úgy korrekt, ha végtelen nagy pontossággal tudunk mérni - és
ez persze lehetetlen. Tudtak a mérési hibának erről a problémájáról Laplace
korában is, de általában feltételezték, hogy ha a kezdeti mérések mondjuk
tíz jegyre pontosak, akkor az ebből levezetett előrejelzések is ugyanilyenek
lesznek. Vagyis azt hitték, hogy bár a hiba nem tűnik el, sohasem növekszik.
Sajnos növekszik. Ez pedig megakadályoz minket abban, hogy rövid távú
előrejelzések egy sorozatát hosszú távú előrejelzéssé fűzzük össze. Tegyük
fel például, hogy az első négy vízcsepp időadatait tíz jegy pontossággal
ismerem. Ekkor a következő csepp leesésének időpontját kilenc jegy
pontossággal tudom meghatározni, a következőét nyolc jegy pontossággal, és
így tovább. Minden lépésben a hiba hozzávetőleg egy tizes faktorral nő, a
megbízhatóságból tehát egy további tizedeshelyet veszítek. Így aztán tíz
lépés után már sejtelmem sincs, mikor érkezik a következő vízcsepp. (Ismét
meg kell jegyezzük, hogy a valódi adatok bizonyára mások: lehet, hogy
féltucat csepp is kell, hogy egy tizedesnyi pontosságot veszítsünk, de még
ekkor is elég hatvan csepp, hogy a fenti probléma előálljon.)
A hibának ez a felerősödése kelti azt a logikai rést, amin át Laplace
tökéletes determinizmusa eltűnik. A mérésnek semmilyen tökéletesítése sem
lesz elgendő. Ha az időbeli viszonyokat száz tizedesjegyig tudnánk mérni,
már mindössze száz csepp után a jóslatunk hibás lesz (vagy hatszáz csepp
után, egy optimistább becslés mellett). Ennek a jelenségnek a neve
"érzékenység a kezdeti feltételekre" vagy a "pillangó effektus". (Amikor egy
pillangó Tokióban meglebegteti a szárnyát, az eredmény esetleg egy hurrikán
Floridában egy hónappal később.) Mindez szorosan összefügg a viselkedés
nagyfokú szabálytalanságával. Minden, ami valóban szabályos, definíciója
szerint jósolható, míg az érzékenység a kezdeti feltételekre jósolhatatlan
viselkedéssel jár - következésképp szabálytalan. Ez az oka, hogy egy
rendszert, amelyik érzékeny a kezdeti feltételekre, kaotikusnak hívunk. A
kaotikus viselkedés determinisztikus törvényeknek tesz eleget, de annyira
szabálytalan, hogy a gyakorlatlan szem egészen véletlenszerűnek látja. A
káosz nem egyszerűen komplikált, minta nélküli viselkedés: ravaszabb annál.
A káosz látszólag komplikált, látszólag minta nélküli viselkedés, aminek
valójában van egy egyszerű, determinisztikus magyarázata.
A káosz felfedezése túl sok ember nevéhez fűződik, ahhoz, hogy itt
felsoroljuk őket. Nagyjából azt mondhatjuk, hogy három külön fejlemény
összekapcsolódásának köszönhetjük. Az egyik a tudományos figyelem
elfordulása volt az egyszerű mintáktól (amilyenek az ismétlődő ciklusok) az
összetettebb viselkedésfajták felé. A második a számítógép, amely lehetővé
tette, hogy könnyen és gyorsan közelítő megoldást találjanak dinamikai
egyenletekre. A harmadik pedig a dinamika egy matematikai felfogása volt - a
numerikus helyett inkább geometriai felfogás. Az első motivációt
szolgáltatott, a második technikát, a harmadik a dolgok jobb megértését.
A dinamika geometrizálása körülbelül egy évszázada kezdődött el, amikor
Henri Poincaré francia matematikus - a legkülöncebb különc, de olyan ragyogó
elme, hogy nézetei általában majdnem egyik napról a másikra kötelezővé
váltak - bevezette a fázistér fogalmát. Ez képzeletbeli matematikai tér,
amely reprezentálja egy adott dinamikai rendszer összes lehetséges mozgását.
Hogy egy nemmechanikai példát vegyünk, nézzük meg egy ragadozó-zsákmány
típusú ökológiai rendszer dinamikáját. A ragadozók vaddisznók, a zsákmány
pedig egy bizonyos csípős gombafajta, a szarvasgomba. A számunkra fontos
változók a két populáció mérete - a vaddisznók száma (valamilyen
referenciaértékhez képest, mondjuk egymillióhoz) és a szarvasgombák száma
(ugyanígy). Ez a választás lényegében folytonossá teszi a változókat - azaz
felvehetnek valós számértékeket is tizedesjegyekkel, nemcsak egészeket.
Például ha a vaddisznók referenciaértéke egymillió, akkor egy 17.439
állatból álló populáció a 0,017439 értéknek fog megfelelni. Mármost, a
szarvasgombák számának növekedése attól függ, hány gomba van, és hogy a
vaddisznók milyen gyorsan eszik a gombát; a vaddisznó-populáció növekedése
attól függ, mennyi vaddisznó van, és hogy mennyi gombát esznek. Eszerint
mindegyik változó változásmértéke függ mindkét változótól, s ezt az
észrevételt egy differenciálegyenlet-rendszer felírására használhatjuk fel,
amely a populáció dinamikáját írja le. Nem fogom itt tárgyalni az
egyenleteket, mert a mi szempontunkból nem érdekesek: csak az, hogy mihez
kezdünk velük.
Ezek az egyenletek határozzák meg - elvileg -, hogy miképp változik
bármilyen kezdeti populáció az időben. Például ha 17.439 vaddisznóval és
788.444 gombával indulunk, akkor a 0,017439 és a 0,788444 értékeket írjuk
fel a két változó kezdeti értékeként, és az egyenletek implicit módon
megmondják, hogyan változnak ezek a számok. A nehézség abban áll, hogy az
implicitet explicitté kell tenni: meg kell oldani az egyenleteket. De milyen
értelemben? Egy klasszikus matematikus természetes reflexe az volna, hogy
képletet keres, amely pontosan leírja, adott időpillanatban hány disznó és
hány gomba van. Sajnos, ilyen "explicit megoldások" annyira ritkán adódnak,
hogy alig éri meg a fáradságot keresni őket, hacsak az egyenletek nem nagyon
speciális alakúak. Egy másik lehetőség számítógép segítségével közelítő
megoldásokat keresni; azonban ebből csak azt tudjuk meg, hogy mi a helyzet a
konkrét kezdeti értékekre, mi viszont ezt sok kezdeti értékre szeretnénk
tudni.
Poincaré ötlete a következő: rajzoljunk egy ábrát, amely megmutatja, mi
történik bármilyen kezdeti értékek mellett. A rendszer állapota - a két
populáció mérete valamilyen időpillanatban - ábrázolható egy síkbeli
ponttal, a régi koordinátás trükköt használva. Például a vaddisznópopulációt
reprezentálhatjuk a vízszintes, a gombapopulációt függőleges koordinátával.
A fent leírt kezdeti állapot a 0,017439 vízszintes koordinátájú és a
0,788444 függőleges koordinátájú pontnak felel meg. Az idő múlásával két
koordináta pillanatról pillanatra változik, a differenciálegyenlet által
kifejezett szabály szerint, így a megfelelő pont mozog. Egy mozgó pont
görbét ír le; és ez görbe az egész rendszer jövőbeli viselkedésének vizuális
ábrázolása. Valóban, megnézve a görbét, a dinamika fontos jellemzőit
"láthatjuk", anélkül, hogy a koordináták aktuális értékével kellene
törődnünk.
Például ha a görbe hurokká záródik, akkor a két populáció periodikus
ciklust ír le, s újra és újra ugyanazokat az értékeket ismétli - ahogy egy
kocsi a lóversenypályán minden futamban ugyanazok előtt a nézők előtt megy
el. Ha a görbe meglátogat néhány pontot, és aztán megáll, akkor a populációk
megállapodnak egy stabil állapotban, amiben semmi sem változik mint az autó,
ha kifogyott belőle a benzin. Szerencsés egybeesés miatt a ciklusoknak és a
stabil állapotoknak van ökológiai jelentőségük - többek között mindkettő
felső és alsó korlátokat állít be a populációk méretére: Így azok a
jellegek, amelyeket a szem könnyedén leolvas az ábráról, pontosan
megegyeznek a folyamat valóságos jellegével. Továbbá, sok lényegtelen
részletet figyelmen kívül hagyhatunk: például, látjuk, hogy zárt hurok
alakult ki, anélkül, hogy alakját pontosan kiszámítanánk (ami a két
populációs ciklus összekombinált "hullámformája").
Mi történik, ha kipróbálunk egy másik kezdeti-érték párt? Kapunk egy
második görbét. Minden kezdeti-érték pár definiál egy új görbét; és
átfoghatjuk a rendszer összes lehetséges viselkedését az összes kezdeti
értékre, ha az ilyen görbék teljes halmazát felrajzoljuk. Ez a görbehalmaz
hasonlít egy képzeletbeli matematikai folyadék áramvonalaira, amely a síkon
örvénylik mindenfele. A síkot a rendszer fázisterének hívjuk, az összes
örvénylő görbe halmazát fázisportrénak. Ahelyett, hogy lenne egy szimbólum
alapú fogalmunk a differenciálegyenletről különböző kezdeti feltételek
mellett, van egy geometriai, vizuális sémánk pontokról, amelyek a
vaddisznó/gomba téren végigáramlanak. Az eredeti síktól csak abban
különbözik, hogy sok pontja inkább potenciális, mint aktuális: koordinátáik
olyan számoknak felelnek meg, amelyek megjelenhetnek, megfelelő kezdeti
feltételek mellett, de adott esetben hiányozhatnak is. Tehát, a
szimbólumoktól a geometria felé való tudati eltolódáshoz hasonlóan, létezik
egy filozófiai eltolódás is, az aktuálistól a potenciális felé.
Ugyanilyen geometriai ábra képzelhető el bármely dinamikus rendszerre.
Van egy fázistér, amelynek koordinátái az összes változók értékei; és van
egy fázisportré, örvénylő görbék rendszere, amely az összes lehetséges
viselkedést képviseli lehetséges kezdeti feltétel mellett, és amelyet a
differenciálegyenletek írnak le. Ez az idea nagy előnnyel jár, mert
ahelyett, hogy az egyenletek megoldásainak pontos számszerű részleteivel
bajlódnánk, figyelmünket a fázisportré széles spektrumára irányíthatjuk, s
így értékesíteni tudjuk az emberiség legnagyobb kincsét, varázslatos
képalkotó képességét. A fázistér képe, mint a lehetséges viselkedések teljes
skálájának szervezési módja, amely skálából a természet választja ki az
aktuálisat, a tudományban igen elterjedtté vált.
Poincaré nagy újításának eredménye, hogy a dinamika láthatóvá tehető az
attraktoroknak nevezett geometriai alakzatok segítségével. Ha elindítunk egy
dinamikus rendszert valamilyen kezdőpontból, és megfigyeljük, mi történik
vele hosszú távon, gyakran tapasztaljuk: végül valamilyen jól meghatározott
alakzat mentén vándorol körbe a fázistérben. Például a görbe egyszer csak
rákerülhet egy zárt hurokra, és attól kezdve e hurok mentén megy körbe-
körbe. Továbbá, különböző kezdeti feltételek vezethetnek ugyanahhoz a végső
alakzathoz. Ebben az esetben az alakzatot attraktornak hívjuk. Egy rendszer
hosszú távú dinamikáját az attraktorai irányítják, és az attraktor alakja
határozza meg, milyen fajta dinamika érvényesül.
Például, ha egy rendszer végül megmarad stacionárius (állandósult)
állapotban, attraktora egy pont. Ha a rendszer végül periodikusan ugyanazt a
viselkedést ismétli, attraktora valamilyen zárt hurok. Vagyis a zárt hurok
alakú attraktorok az oszcillátoroknak felelnek meg. Emlékezzünk a rezgő
hegedűhúr leírására az 5. fejezetből; a húr mozgások egy olyan sorozatán
megy keresztül, ami végül visszaviszi oda, ahonnét elindult, s innen kezdve
akárhányszor kész megismételni a sorozatot. Nem azt állítottam, hogy a
hegedűhúr fizikailag hurok mentén mozog. Hanem a róla szóló leírásom olyan,
mint egy zárt hurok képletes értelemben: a mozgás körutazást tesz egy
fázistér dinamikai tájképén.
A káosznak megvan a maga meglehetősen különös geometriája: különös
attraktorok nevű furcsa fraktál-alakzatokhoz kapcsolódik. A pillangó-
effektusból következik, hogy egy furcsa attraktoron a mozgást részletesen
nem tudjuk előre meghatározni. Ez azonban nem változtat a tényen, hogy ez
egy attraktor. Képzeljük el, hogy beleengedünk egy pingponglabdát a viharos
tengerbe. Akár a levegőből dobjuk be, akár a víz alól engedjük fel, a labda
a felszín irányába mozog. Ha már elérte a felszínt, nagyon bonyolult utat
jár be a dagadó hullámokon, de bármilyen bonyolult is ez az út, a labda ott
marad a felszínen - vagy legalábbis nagyon közel hozzá. Ebben a képben a
tenger felszíne az attraktor. Így aztán, a káosz ellenére, a kezdőponttól
függetlenül, a rendszer az attraktorához igen közel végzi majd.
A káosz, mint matematikai fogalom, jól megalapozott, de hogy vegyük észre
a valóságos világban? Kísérleteket kell végeznünk - van azonban itt egy
probléma. A kísérletek hagyományos szerepe a természettudományban az
elméleti előrejelzések tesztelése, de ha éppen működik a pillangó-effektus -
ahogy működik minden kaotikus rendszerben -, hogyan remélhetjük, hogy
teszteljünk egy előrejelzést? Nem eredendően tesztelhetetlen a káosz, s így
tudománytalan?
A válasz határozott nem, mivel az előrejelzés szónak két jelentése van.
Az egyik "előre megmondani a jövőt", és a pillangó-effektus ezt
megakadályozza, ha káoszról van szó. De a másik jelentés "előre leírni, mi
lesz egy kísérlet kimenetele". Gondoljunk arra, amikor százszor dobunk fel
egy érmét. Hogy előre jelezzük - az első értelemben -, mi történik, előre
fel kéne sorolnunk minden dobás eredményét. De olyan tudományos
előrejelzéseket is tehetünk, mint "a dobásoknak kb. a fele fej lesz",
anélkül, hogy előre részletesen megmondanánk a jövőt - még akkor is, ha,
mint itt, a rendszer véletlenszerű. Senki sem állítja, hogy a statisztika
tudománytalan, csak mert részletesen előre meg nem mondható eseményekkel
foglalkozik, tehát a káoszt is ugyanígy kell kezelnünk. Mindenféle
előrejelzést adhatunk egy kaotikus rendszerről: valójában annyit is, hogy
így megkülönböztessük a determinisztikus káoszt a valódi véletlentől. Az
egyik dolog, amit gyakran előre jelezhetünk, az attraktor alakja, amin a
pillangó-effektus nem változtat. A pillangó-effektus mindössze azt
befolyásolja, hogy a rendszer az attraktoron belül hogyan mozogjon. Emiatt
az attraktor általános alakja gyakran kikövetkeztethető kísérleti
megfigyelésekből.
A káosz felfedezése rávilágított egy alapvető félreértésünkre arról az
összefüggésről, ami fennáll a szabályok és az általuk kiváltott viselkedés -
ok és okozat - között. Addig úgy hittük, hogy determinisztikus okok mindig
szabályos okozatokat hoznak létre, most azonban azt látjuk, hogy
létrehozhatnak egészen szabálytalan okozatokat is, amelyek könnyen
összetéveszthetők a véletlennel. Úgy hittük, hogy egyszerű okok egyszerű
okozatokat vonnak maguk után (ami azt is jelenti, hogy összetett okozatoknak
komplex oka van), most azonban már tudjuk, hogy az egyszerű okok maguk után
vonhatnak összetett okozatokat is. Most értjük meg, hogy a szabályok
ismerete még nem elegendő az eljövendő viselkedés megjóslásához.
Hogyan áll elő ez a meg nem egyezés ok és okozat között? Miért hoznak
létre ugyanazok az okok néha kézenfekvő mintákat, néha pedig káoszt? A
felelet megtalálható minden konyhában, egy egyszerű mechanikus eszköz, a
habverő használatában. A két verőrész mozgása egyszerű és előrejelezhető,
épp ahogy Laplace elvárta: mindkét verőrész folyamatosan forog. Viszont a
cukor és a tojásfehérje mozgása a tálban jóval bonyolultabb.
A két anyag összekeveredik - ezért van a habverő. De a két verőrész nem
keveredik össze - nem kell őket szétválasztani, mikor végeztünk. Miért olyan
különböző a hab mozgása a habverőkétől? A keverés sokkal bonyolultabb,
dinamikusabb folyamat, mint hinnénk. Képzeljük el, hogy megpróbálnánk egy
adott cukorszemecskéről előre megmondani, hol lesz a keverés végén! Ahogy a
keverék a két verőrész között elmegy, széthúzódik, balra és jobbra, és két
cukorszemecske, amelyek egymáshoz nagyon közel indultak el, hamarosan távol
kerülnek egymástól, és független utakat járnak be. Valójában ezt is a
pillangó-effektus működése okozza - apró változások a kezdeti feltételekben
nagy hatásokkal járnak. A keverés tehát kaotikus folyamat.
Megfordítva, minden kaotikus folyamat együtt jár egyfajta matematikai
keveréssel Poincaré képzeletbeli fázisterében. Emiatt van, hogy az ár
előrejelezhető, míg az időjárás nem. Ugyanolyan fajta matematika kell
hozzájuk, de az ár dinamikája nem keveri össze a fázisteret, az időjárásé
igen.
Nem az a fontos, mit csinálunk, hanem hogy hogyan csináljuk.
A káosz felborítja kényelmes feltevéseinket arról, hogyan működik a
világ. Arról tudósít, hogy az univerzum sokkal különösebb, mint hisszük.
Kételyeket ébreszt sok hagyományos tudományos módszer iránt: nem elég többé
pusztán ismerni a természet törvényeit. Másrészt arról is tudósít, hogy
bizonyos véletlenszerűnek hitt dolgok esetleg egyszerű törvényeknek
engedelmeskednek. A természet káoszát törvények szabják meg. A múltban a
tudomány hajlott arra, hogy ne vegyen tudomást a véletlenszerűnek tűnő
eseményekről vagy jelenségekről, olyan kiindulásból, hogy nincs kézenfekvő
minta, s így bizonyára nem egyszerű törvények irányítják őket. Ez nem így
van. Akadnak egyszerű törvények, épp az orrunk előtt - azok a törvények,
amelyek befolyásolják a járványos betegségeket vagy a szívrohamot, esetleg a
sáskajárást. Ha megismerjük e törvényeket, talán meg tudjuk akadályozni az
őket követő katasztrófákat.
Már maga a káosz is megmutatott nekünk új törvényeket, egész új
törvénytípusokat. A káosz új univerzális minták egy sajátos fajtáját
tartalmazza. Az első ilyen mindjárt a csepegő csappal kapcsolatos.
Emlékezzünk rá, hogy a csap csöpöghet ritmikusan és kaotikusan, a folyás
sebességétől függően. Valójában a szabályos csöpögés és a "véletlen"
ugyanazon matematikai előírás két csekély mértékben különböző variánsa. De
ahogy a folyás sebessége nő, a dinamika típusa megváltozik. Az attraktor a
dinamikát képviselő fázistérben folyamatosan változik - mégpedig
előrejelezhető, de nagyon bonyolult módon.
Kezdjük egy szabályosan csepegő csappal: ismétlődő csöpp-csöpp-csöpp-
csöpp ritmus, minden csepp szakasztott, mint az előző. Nyissuk ezek után
kicsit erősebbre a csapot, hogy a cseppek valamivel gyorsabban jöjjenek.
Most a ritmus csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP, és minden második cseppnél
megismétlődik. Nemcsak a cseppméret változik, ami a csepp hangját
befolyásolja, hanem valamennyire a két csepp között eltelt idő is.
Ha még egy kicsit gyorsabb vízfolyást engedünk meg, négycseppes ritmust
kapunk: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Legyen kicsit még gyorsabb, és nyolc
cseppes ritmus alakul ki: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP.
Az ismétlődő cseppsorozatok hossza továbbra is megkettőződik. Matematikailag
ez a folyamat a végtelenségig folytatódik, 16, 32, 64 cseppből álló
csoportok, és így tovább. Viszont a folyási sebességnek egyre parányibb
változtatása fogja eredényezni ezt a kettőződést, míg végül olyan folyási
sebességhez jutunk, aminél a csoport mérete végtelenszer duplázódott. Ekkor
nincs cseppsorozat, ami ugyanazt a mintát ismételné. Ez a káosz.
A történteket ki tudjuk fejezni Poincaré geometriai nyelvén. A csap
attraktora zárt hurokkal kezdődik, ami egy periodikus ciklust képvisel.
Képzeljük a hurkot ujjunk köré tekert rugalmas szalagnak. Ahogy a folyási
sebesség megnő, ez a hurok két szomszédos hurokká osztódik, mintha rugalmas
szalagot tekertünk volna az ujjunk köré. A szalag kétszer olyan hosszú, mint
az eredeti, ezért lesz a periódus kétszer olyan hosszú. Ekkor, pontosan úgy,
mint az előbb, ez a már megkettőződött hurok újra megkettőződik, végig a
hossza mentén, hogy négyperiódusú kört alkosson, és így tovább. Végtelen sok
kettőződés után ujjunk ki van dekorálva rugalmas spagettivel, egy kaotikus
attraktorral.
A forgatókönyvet a káosz előállítására periódus-kettőző kaszkádnak
hívják. 1975-ben Mitchell Feigenbaum fizikus fedezte fel, hogy van egy
speciális, kísérletileg megmérhető szám, amely kapcsolatos e kaszkádokkal.
Ez a szám körülbelül 4,669, és egy sorba helyezhető a (Pi)-vel, mint azok a
különös számok, amelyek rendkívüli jelentőségűnek látszanak mind a
matematikában, mind a természeti világhoz való viszonyukban. A Feigenbaum-
féle számra egy szimbólumot is használ nak: a görög (delta) betűt. A (Pi)
azt mondja meg, hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez. Analóg módon,
Feigenbaum (delta) száma azt mondja meg, hogyan aránylik a cseppek periódusa
a vízfolyás sebességéhez. Hogy pontosak legyünk, a tényező, ami azt mutatja
meg, hogy hányszor kell gyorsabbra állítanunk a vízfolyást, minden
perióduskettőzéskor egy 4,669 faktorral csökken.
A (Pi) szám mennyiségi jellemzője mindennek, ami körökkel kapcsolatos.
Ugyanígy, a Feigenbaum féle (delta) szám mennyiségi jellemzője minden
periódus-kettőző kaszkádnak, függetlenül attól, hogy miképp állítható elő,
vagy kísérletileg hogyan realizálható. Ugyanez a szám mutatkozik meg azokban
a kísérletekben is, amelyeket cseppfolyós héliummal, vízzel, elektromos
áramkörökkel, ingákkal, mágnesekkel és rezgő vonatkerekekkel végeztek.
Ez egy új univerzális minta a természetben, amelyet csak a káosz
szemüvegén keresztül vehetünk észre, mennyiségi jellemző, egy szám, amely
egy minőségi jellegű folyamatból származik. Valóban a természet számainak
egyike. A Feigenbaum-féle szám új matematikai világra nyitott kaput, amit
csak most kezdtünk el kutatni.
A Feigenbaum által megtalált pontos minta és más hasonló minták a finom
részleteken múlnak. A lényeg, hogy még ha a természeti törvények
következményei minta nélkülinek látszanak is, ezek a törvények léteznek, és
a minták is. A káosz nem véletlenszerű: látszólag véletlen viselkedésforma,
ami pontos szabályok eredménye. A káosz a rend egy rejtélyes formája.
A tudomány mindig is értékelte a rendet, de kezdjük észrevenni, hogy a
káosz a tudománynak más előnyöket képes kölcsönözni. A káosz könnyebbé teszi
a gyors választ a külső ingerekre. Gondoljunk csak a teniszjátékosra, aki
épp egy szervára vár. Nyugodtan áll? Szabályosan egyik oldalról a másikra
mozog? Természetesen nem. Hanem szabálytalanul táncol egyik lábáról a
másikra. Részben megpróbálja megzavarni ellenfelét, de egyben arra is fel
van készülve, hogy akármilyen neki küldött szervát visszaadjon. Hogy
bármilyen irányba gyorsan el tudjon mozdulni, gyors mozdulatokat tesz sok
különböző irányba. Egy kaotikus rendszer sokkal gyorsabban és kevesebb
erőfeszítéssel tud válaszolni a külső eseményekre, mint egy nemkaotikus. Ez
fontos a műszaki vezérlés problémáinál. Például ma már tudjuk, hogy bizonyos
fajta turbulenciák a káoszból származnak - emiatt látszik a turbulencia
véletlenszerűnek. Lehetségesnek mutatkozik, hogy a repülőgép felületét
elhagyó légáramot sokkal kevésbé turbulenssé, s így a mozgást kevésbé
akadályozóvá tegyük, ha olyan vezérlő mechanizmusokat szerelünk föl, amelyek
igen gyorsan válaszolnak bármilyen kezdődő kicsi turbulenciára, kiiktatva
azt. Az élőlényeknek is kaotikusan kell viselkedniük ahhoz, hogy gyorsan
válaszoljanak egy változó környezet ingereire.
Ezt a gondolatot nagyon hasznos gyakorlati technikára váltotta be
mateinatikusok és fizikusok egy csoportja, többek közt William Ditto, Alan
Garfinkel és Jim Yorke. A módszert kaotikus vezérlésnek nevezték el. Az
ötlet lényegében az, hogy a pillangó-effektust a magunk hasznára fordítjuk.
A tény, miszerint kicsi változások a kezdeti feltételekben nagy változásokat
eredményeznek a további viselkedésben, előny lehet; csak annyit kell
tennünk, hogy biztosítjuk: elérjük azt a nagy változást, amit akartunk. A
kaotikus dinamika működésének megértése lehetővé teszi, hogy vezérlési
stratégiákat dolgozzunk ki, amelyek épp ezt teszik. A módszer sok sikert ért
el. Az űrjárművek egy hidrazin nevű üzemanyagot használnak a
pályakorrekcióhoz. A kaotikus vezérlés egyik legkorábbi sikere volt, hogy
egy lerobbant mesterséges holdat pályájáról letérítettek, és elérték, hogy
találkozzék egy kisbolygóval, s mindezt annak a csekély mennyiségű
hidrazinnak a segítségével, ami a fedélzeten megmaradt. A NASA ötször
"lengette meg" a Hold körül, úgy, hogy mindig egy egész kicsi hidrazinadagot
használt, s finoman odébblökte. Több ilyen találkozást valósítottak meg, egy
olyan művelet révén, amely ügyesen aknázta ki a káosz fellépését a három-
test problémában (itt Föld/Hold/mesterséges hold), valamint az ezzel
kapcsolatos pillangó-effektust.
Ugyanezt a matematikai ötletet használták, hogy mágnesszalagot
vezéreljenek egy turbulens folyadékban - ami mintául szolgált
tengeralattjárót és repülőgépet elhagyó turbulens folyadék vezérléséhez.
Kaotikus vezérlést használtak, hogy egy szabálytalanul verő szívet
visszatérítsenek a szabályos ritmusra, előrevetítve az intelligens pacemaker
felfedezését. Nemrég arra alkalmazták, hogy az elektromos aktivitás ritmikus
hullámait fölkeltse, illetve megakadályozza az agyszövetben, s ezzel
lehetőség nyílt az epileptikus rohamok megelőzésére.
A káosz fejlődő ipar. Ma már minden héten adódnak új felfedezések a káosz
matematikai alapjairól vagy a káosz új hozzájárulásai a természeti világ
jobb megértéséhez, avagy a káosz új technológiai alkalmazásai, beleértve a
kaotikus edénymosogatót is, egy japán találmányt, amelynek két forgó karja
van, ezek pörögnek is, méghozzá kaotikusan, hogy az edényt tisztábbra
mossák, kevesebb energiával; és egy angol gép, amely káosz-elméleti alapú
adatelemzést végez, hogy egy rugógyárban jobbá tegye a minőség-ellenőrzést.
De még sok a teendő. A káosznak talán a legutolsó megoldatlan problémája
a kvantumok furcsa világa, ahol Szerencse Asszony uralkodik. A radioaktív
atomok "véletlenszerűen" bomlanak el; minden szabályosságuk csak
statisztikai jellegű. Nagy mennyiségű radioaktív atom egy jól meghatározott
felezési idővel jellemezhető - ez egy olyan időperiódus, ami alatt az atomok
fele el fog bomlani. Csakhogy nem tudjuk előre megmondani, melyik fele.
Albert Einstein fent említett tiltakozása éppen erre a kérdésre vonatkozott.
Tényleg egyáltalán nem lenne különbség a végül el nem bomló és a végül
elbomló radioaktív atom között? Akkor honnan tudja az atom, hogy mit tegyen?
Lehet a kvantummechanika látszólagos véletlenszerűsége csalóka? Tényleg
nem más, mint determinisztikus káosz? Képzeljük el az atomot kozmikus
folyadék egy rezgő cseppjének. A radioaktív atomok nagyon erősen rezegnek,
és könnyen leválhat egy kisebb csepp - elbomolhat. Az atomok olyan gyorsan
rezegnek, hogy nem tudjuk külön-külön megmérni a sebességüket: csak
kiátlagolt mennyiségeket tudunk mérni, például energiaszinteket. Mármost, a
klasszikus mechanika arra tanít, hogy valódi folyadék egy cseppje rezeghet
kaotikusan. Ilyenkor mozgása determinisztikus, de nem előre jelezhető.
Alkalmanként, "véletlenül", a rezgések összefognak és leválasztanak egy apró
cseppecskét. A pillangó-effektus lehetetlenné teszi, hogy előre megmondjuk,
mikor válik le a csepp; de ennek az eseménynek pontos statisztikai jellemzői
vannak, beleértve egy jól meghatározott felezési időt is.
Lehetne a radioaktív atomok látszólag véletlenszerű elbomlása valami
hasonló, csak mikrokozmikus méretekben? És különben is, miért vannak
statisztikai szabálytalanságok egyáltalán? Talán nyomai egy mélyenfekvő
determinizmusnak? Milyen egyéb helyről származhatnának a statisztikai
szabályosságok? Sajnos ezt a csábító ötletet még senki sem próbálta
kidolgozni - pedig szellemében rokon a "szuperhúrok" divatos elméletével,
amelyben az atomnál kisebb részecske egyfajta felhangolt rezgő sokdimenziós
húr. Itt a legfőbb közös jellemvonás, hogy mind a rezgő húr, mind a rezgő
csepp behoz egy új "belső változót" a fizikai modellbe. A jelentős különbség
a két megközelítés közt abban áll, ahogy a kvantumindeterminációt kezelik. A
szuperhúr-elmélet, mint a hagyományos kvantummechanika is, az
indeterminációt eredendően a véletlenből származónak tekinti. Ugyanakkor egy
olyan rendszerben, mint a csepp, a látszólagos indetermináció valójában egy
determinisztikus, bár kaotikus dinamika eredménye. A trükk - ha sejtenénk,
hogyan kellene nyélbe ütni - az lenne, hogy keresnénk egy struktúrát, amely
a szuperhúr-elmélet kedvező tulajdonságait megőrzi, míg egyes belső változók
viselkedését kaotikussá teszi. Csábító módja lenne ez annak, hogy az
Istenség kockáját determinisztikussá varázsoljuk és Einstein szellemét
boldoggá tegyük.