A káosz megtanít minket arra, hogy egyszerű szabályoknak engedelmeskedő
rendszerek is viselkedhetnek meglepően bonyolultan. Van itt megszívlelendő
lecke mindenkinek - igazgatóknak, akik úgy képzelik, egy szorosan
ellenőrzött társaság magától simán működik, politikusoknak, akik úgy
gondolják, hogy ha egy problémáról törvényt hoznak, ezzel meg is szüntették
és tudósoknak, akik azt képzelik, ha már modellt adtak egy rendszerre, művük
teljes. Azonban a világ tökéletesen kaotikus sem lehet, különben nem tudnánk
benne élni. Az egyik oka, hogy a káoszt nem fedezték föl előbb, éppen az,
hogy világunk sok szempontból egyszerű. Az egyszerűség általában eltűnik,
mikor a felszín mögé pillantunk, de a felszínen még egyszerű.
Nyelvhasználatunk világunk leírására az alapvető egyszerűség létén nyugszik.
Például, "a rókák nyúlra vadásznak" állításnak csak azért van értelme, mert
megragadja az állatok közti interakciók egy általános mintáját. A rókák
tényleg vadásznak nyúlra, abban az értelemben, hogy ha egy éhes róka meglát
egy nyulat, valószínűleg utánafut.
Ugyanakkor, ha jobban megnézzük a részleteket, rögtön olyan bonyolultakká
válnak, hogy minden egyszerűség elvész. Például, hogy ezt a szimpla
cselekedetet végrehajtsa, a rókának fel kell ismernie a nyúlban a nyulat.
Aztán lábait mozgásba kell hoznia, hogy utánafusson. Hogy megértsük ezeket
az eseményeket, meg kell értenünk magát a látást, a mintafelismerést az
agyban és a mozgást. A 7. fejezetben már vizsgáltuk a harmadik tételt, a
mozgást, és ott érintettük a fiziológia és neurológia bonyodalmait - a
csontokat, az izmokat, az idegeket és az agyat. Az izmok tevékenysége a
sejtbiológiától és a kémiától függ; a kémia a kvantummechanikától; a
kvantummechanika pedig a sokat keresett "Mindenség Elméleté"-től (Theory of
Everything) (*), ahol egyetlen egészben egyesül a fizika öszes törvénye. Ha
a mozgás helyett azt az ösvényt követjük, amit a látás vagy a
mintafelismerés jelöl ki, megint ugyanazt a mindenfelé szerteágazó
komplexitást látjuk.
(*) A modern természettudomány és a modern ismeretelmélet közös törekvése,
hogy megtalálja azt a legátfogóbb elméletet, amely minden létező
lényegét meg tudja ragadni. Ez természetesen nem azonos a
világmindenség elméletével, márcsak azért sem, mert ez utóbbi a minden
létezőnek végső soron otthont nyújtó "valami" absztrakciójának és nem a
"lakók" absztrakciójának az elmélete. E törekvések részben a matematika
(differenciálgeometria, topológia stb.), részben a kozmológia
spekulációiból nőttek ki. Más kérdés, hogy milyen sikerekben
reménykedhetünk. (A szaklektor megj.)
A feladat reménytelennek tűnik - kivéve, ha az egyszerűségek, amelyekből
kiindultunk, valóban léteznek, így vagy használja a természet ok és okozat
eme gigászian komplex hálózatát, vagy úgy rendezi a dolgokat, hogy a
bonyodalmak nagy része nem fontos. A legutóbbi időkig a tudományban a
kutatás természetes útja mind mélyebbre és mélyebbre vezetett a komplexitás
fájában - amit Jack Cohen és én a "redukcionista rémálmának" neveztünk.
Sokat tanultunk a természetről ezen az úton - mindig azt nézve, hogy tudjuk
a magunk céljaira fordítani. De szem elől tévesztettük a nagy
egyszerűségeket, mert már nem is láttuk őket egyszerűnek. Nemrég egy ettől
radikálisan különböző megközelítés kapott hangot,
komplexitáselmélet néven.
Központi tétele, hogy a nagyfokú egyszerűsítések nagyszámú komponens
összetett kölcsönhatásából jönnek létre.
Ebben az utolsó fejezetben három példát szeretnék mutatni a
bonyolultságból kialakuló egyszerűségre. Nem a komplexitáselmélet
teoretikusainak írásaiból vettem őket; ehelyett a modern alkalmazott
matematika egyik legfontosabb irányzatából választottam, a dinamikus
rendszerek elméletéből. Két okom volt erre. Az egyik: meg szeretném mutatni,
hogy a komplexitáselmélet központi filozófiája az egész tudományban
mindenütt függetlenül fel-felbukkan, anélkül, hogy bármilyen direkt mozgalom
elősegítené. Csendes forradalom indult el, mint egy kis zümmögő forrás, és a
buborékok már kezdik áttörni a felszínt. A másik ok, hogy mindegyik példa
egy-egy régi-régi rejtvény megoldását mutatja be a matematikai mintákról a
természet világában - és ezáltal a természetnek olyan jellegzetességeire
nyitja rá a szemünket, amelyeket másképp nem vettünk volna észre. A három
téma: a vízcseppek alakja, az állatpopulációk dinamikus viselkedése és végül
a különös minták a virágszirom numerológiájában, amelynek megoldását a nyitó
fejezetben ígértem.
Először térjünk vissza a csapból lassan csepegő víz kérdéséhez. Ez
egyszerű mindennapi jelenség - mégis a káoszról tanulhattunk a példáján.
Most a komplexitásról fogunk tanulni - ugyanezen példa kapcsán.
Most nem az egymás utáni cseppek közt eltelt időre figyelünk. Ehelyett
megnézzük a csaptól elváló csepp alakját.
Ez aztán igazán egyszerű, nem? Nyilván a klasszikus "könnycsepp" alak,
inkább, mint egy ebihal; gömbölyű a fejénél, és bekanyarodik, hogy hegyes
farokban végződjön. Végül is ezért hívjuk könnycsepp alaknak.
Mégsem egyszerű. Sőt, nem is igaz.
Mikor először hallottam erről a problémáról, főleg az lepett meg, hogy a
választ nem találták meg már régóta. Szó szerint könyvtárpolcok kilométereit
tölti meg a folyadékok mozgásának tanulmányozása. Valaki csak vette ezek
után a fáradságot, hogy megnézze, milyen alakú a vízcsepp?! Mégis, a korai
irodalom egyetlen korrekt ábrát tartalmaz, több mint száz éve Lord Rayleigh
fizikustól, s az is olyan parányi, hogy alig lehet észrevenni. 1990-ben
Howell Peregrine matematikus és munkatársai a bristoli egyetemről
lefényképezték a folyamatot, és rájöttek, hogy sokkal bonyolultabb - de
sokkal érdekesebb is -, mint akárki hitte volna.
Az elváló csepp kialakulása egy kiduzzadó csepp-pel kezdődik, amely a
csap vége alkotta felületről lóg. Dereka lesz, amely elkeskenyedik, és a
cseppecske alsó része, úgy tűnik, a klasszikus könnycsepp alakot veszi fel.
Ám ahelyett, hogy lecsípődne és rövid, hegyes farkot alkotna, a derék
hosszú, vékony, hengerszerű fonállá nyúlik, aminek végéről egy majdnem gömb
alahú csepp lóg. Ekkor a fonál elkezd vékonyodni, éppen ott, ahol a gömbbel
találkozik, míg egyetlen pontot alakít ki. Ebben a fázisban egy kötőtűt
látunk, ami egy narancsot éppen hogy érint. Majd a narancs leesik a tűről, s
enyhén pulzál esés közben. De ez csak a sztori első fele. Ekkor a tű hegyes
vége gömbölyödni kezd, és enyhe hullámok haladnak benne fölfelé, a
gyökeréhez, s így olyan lesz, mint egy gyöngyfüzér, a gyöngyök pedig egyre
kisebbek és kisebbek. Végül, a függő vízfonál a felső végénél egyetlen
ponttá keskenyedik, és ez is leválik. Ahogy esik, felső vége kigömbölyödik,
és hullámok bonyolult sorozata halad a hossza mentén.
4. ábra
A leeső vízcsepp alakjai, miközben leválik.
Remélem, az olvasó is olyan csodálatosnak tartja ezt, mint én. Sose hittem
volna, hogy a hulló vízcseppek ilyen
serények.
Ezek a megfigyelések megmagyarázzák, miért nem vizsgálta senki korábban a
problémát matematikai részletességgel. Túl nehéz. Amikor a csepp leválik,
van egy szingularitás a problémában - ezen a helyen a matematika nagyon
csúnya szokott lenni. A szingularitás a "tű" hegye. De miért van ott
szingularitás egyáltalán? 1994-ben J. Eggers és T. F. Dupont megmutatta,
hogy a forgatókönyv a folyadékmozgás egyenleteinek következménye.
Számítógépen szimulálták az egyenleteket, és megkapták ugyanazt a
forgatókönyvet, mint Peregrine.
Brilliáns munka volt. Valamilyen szempontból mégsem adja meg a teljes
választ a kérdésemre. Megnyugtató, hogy a folyadékáramlás egyenletei előre
jelezték az egész forgatókönyvet, de ez önmagában nem segít, hogy megértsem:
miért ez a forgatókönyv, és nem más. Nagy különbség, ha csak kiszámítjuk a
természet számait, vagy hogy törjük rajta a fejünket - ahogy Majikthise és
Vroomfondel, mikor kijött: "negyvenkettő".
A további bepillantás a leváló csepp mechanizmusába X. D. Shi, Michael
Brenner és Sidney Nagel (University of Chicago) munkája révén vált lehetővé.
A megközelítés jellege már Peregririe munkájában is hasonló volt: speciális
fajta, "hasonlósági megoldás" nevű megoldás a folyadékáramlási egyenletekre.
Az ilyen megoldásnak van egy bizonyos szimmetriája, amely matematikailag
kezelhetővé teszi: struktúráját rövid idő elteltével megismétli kisebb
méretekben. Shi csoportja továbbment, s megvizsgálta, hogyan függ a leváló
csepp alakja a folyadék viszkozitásától. Víz és glicerin keverékeivel
kísérleteztek, hogy különböző viszkozitásokat kapjanak. Számítógépes
szimulációt is végeztek, és továbbfejlesztették az elméleti megközelítést is
a hasonlósági megoldásokkal. Azt kapták, hogy viszkózabb folyadékokra a
fonál második szakasza előbb megjelenik, mint ahogy a szingularitás
kialakul, és a csepp leválik. Ekkor inkább valami olyat kapunk, mint egy
narancs, felfüggesztve egy húrral egy kötőtű hegyére. Még nagyobb
viszkozitásokra van egy harmadik szakasz - egy narancs, felfüggesztve egy
gyapjúszállal egy húrra, az pedig egy kötőtű hegyére. S ahogy a viszkozitás
nő, az elvékonyodások száma határtalanul növekszik - legalábbis ha
eltekintünk az anyag atomi struktúrájából következő korlátoktól.
Csodálatos!
A második példa a populációk dinamikájáról szól. Ennek a kifejezésnek a
használata a matematikai modellezésnek egy régi hagyományát tükrözi, ahol az
egymással kölcsönhatásban levő lények populációjának változását
differenciálegyenletekkel reprezentálják. Példa volt erre az én
vaddisznó/szarvasgomba rendszerem. Ugyanakkor nem teljes az ilyen modell
biológiai realitása - és nem is a szereplő élőlények megválasztása miatt. A
valóságban a populációk méretét megszabó mechanizmus nem egy Newton
mozgástörvényével rokon "populációs törvény". Nagyon sok más hatás is
érvényesül, például véletlenszerűek (ki tudja ásni a vaddisznó a gombát,
vagy egy szikla útját állja?) vagy az egyenletekbe be nem vett változások
(egyes nőstény vaddisznók több malacot ellenek, mint a többi).
1994-ben Jackie McGlade, David Rand és Howard Wilson (University of
Warvick) élvezetes tanulmányt írtak, amely foglalkozik a biológiai
szempontból reálisabb modellek és a hagyományos egyenletek viszonyával. Egy,
a komplexitás-elméletben szokásos stratégiát követ: olyan számítógépes
szimulációt folytat, ahol "ágensek" nagy tömege lép egymással kölcsönhatásba
biológiai szempontból kézenfekvő (bár erősen leegyszerűsített) szabályok
szerint, és valamilyen nagyvonalú mintára próbál következtetni a
szimulációból. Ebben az esetben a szimulációt a "sejtautomata" módszerével
hajtották végre, amit úgy képzelhetünk, mint valamilyen számítógépes
játékot. McGlade, Rand és Wilson, mivel hiányzott belőlük az én nagy
szimpátiám a disznók iránt, a hagyományosabb róka-nyúl esetet vizsgálták. A
számítógép képernyője négyzetekre oszlik, és minden négyzetnek van színe -
mondjuk, a vörös a rókát, a szürke a nyulat, a zöld a füvet, a fekete a
csupasz sziklát jelenti. Felállítanak egy szabályrendszert is, hogy a főbb
működő biológiai hatásokat modellezzék. Példák ilyen szabályokra:
* Ha egy nyúl egy fű mellett van, rálép és megeszi.
* Ha egy róka egy nyúl mellett van, a pozíciójára lép, és megeszi.
* A játék minden fázisában egy nyúl új nyulakat szül valamilyen
valószínűséggel.
* Ha egy róka bizonyos számú lépés eltelte után még nem evett, elpusztul.
McGlade csoportja persze ennél bonyolultabb játékot játszott, de ebből a
példából talán képet lehet alkotni róla. A játék minden lépésében a gép
veszi az aktuális konfigurációt (nyulak, rókák, fű, szikla), és a
szabályokat alkalmazva generálja az új konfigurációt - feldobja a számítógép
"kockáját", ha véletlen választásokra van szükség. A folyamat több ezer
lépésig folytatódik, egy "mesterséges ökológia" ez, amely az életjátékot
játssza egy képernyőn. Ez a mesterséges ökológia hasonlít egy dinamikus
rendszerhez, amennyiben ismételten ugyanazt a szabályegyüttest alkalmazza,
de véletlen effektusokat is tartalmaz, ezért a modell egészen más
matematikai kategóriába kerül: sztochasztikus sejtautomaták - véletlen
számítógépes játékok.
Éppen mert az ökológia mesterséges, előfordulhat, hogy olyan kísérleteket
végzünk, amelyek lehetetlenek vagy túl költségesek az ökológiai
megvalósításhoz. Vizsgálhatjuk, hogyan változik az időben a nyúlpopuláció
egy adott területen, hogy megkapjuk a pontos számokat. Ez az, amiben McGlade
csoportja drámai és meglepő felfedezést tett. Azt vették észre, hogy ha egy
területet túlságosan kicsinek választunk, véletlenszerű képet kapunk.
Például, mi történik egyetlen négyzeten? Ez túlságosan bonyolult. Másrészt,
ha túl nagy területet nézünk, csak egy kiátlagolt populációstatisztikát
látunk, semmi mást. A kettő között valami kevésbé unalmasat kapunk.
Kifejlesztettek hát egy technikát, hogy megtalálják azt a területméretet,
ami a legtöbb érdekes információt szolgáltatja. Aztán egy ilyen méretű
területet megfigyeltek, és feljegyezték a változó nyúlpopulációt. A
káoszelméletben kidolgozott módszerekkel azt nézték meg, vajon az adott
sorozat determinisztikus vagy véletlenszerű, és ha determinisztikusnak
találták, megvizsgálták az attraktorát. Ez elég furcsa ötletnek látszik,
hiszen, amennyire tudjuk, a szimuláció szabályaiba nagyfokú véletlenszerűség
épül, mindenesetre ők ezt csinálták.
Amit találtak, igen meglepő volt. A nyúlpopuláció dinamikájának 94%-a
ebben a köztes nagyságrendben úgy tekinthető, mint determinisztikus mozgás
egy kaotikus attraktoron a négydimenziós térben. Röviden, egy
differenciálegyenlet mindössze négy változóban már megragadja a
nyúlpopuláció dinamikájának legfontosabb jellemzőit, összesen 6%-os hibával
- a számítógépes játékmodell jóval nagyobb bonyolultsága ellenére. Ez a
felfedezés azt mutatja, hogy bizonyos kevésváltozós modellek reálisabbak
lehetnek, mint ahogy azt eddig sok biológus feltételezte. Ennél mélyebb
következmény, hogy a komplex ökológiai játékok finom struktúrájából
adódhatnak egyszerű jellemzések nagyméretű rendszerekre.
Harmadik és egyben utolsó példám a természet matematikai szabályosságára,
amely inkább komplexitásból, mint "a beépített szabályokból" következik, a
virágok szirmainak száma. Az első fejezetben említettem, hogy a virágok
többségénél a szirmok száma a 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sorozat egy tagja.
A konzervatív biológusok úgy vélik, hogy a virágok génjei tartalmaznak
minden ilyen információt, és másról nincs is szó. Azonban, éppen mivel az
élő szervezetekben bonyolult a DNS-láncnak az a része, amely meghatározza,
hogy mely proteinekből épüljenek fel, és így tovább, a gének mégsem
határoznak meg mindent. S még ha meghatároznak is, nem közvetlenül. Például
a gének megmondják a növényeknek, hogyan készítsenek klorofillt, de nem
mondják meg, milyen színűt. Ha klorofill, akkor zöld - nincs választás. Így
az élőlények néhány morfológiai jellemzője genetikai eredetű, mások a
fizika, kémia és a növekedésdinamika következményei. A megkülönböztetésre az
egyik fogódzó, hogy a genetikai hatások rugalmassága óriási, míg a fizika,
kémia és növekedésdinamika matematikai szabályosságokat produkál.
A növényeknél előforduló számok - nemcsak szirmok számai, hanem
mindenféle más jellemzőké is - matematikai szabályosságot mutatnak. Az ún.
Fibonacci-sorozat elejét alkotják, ebben a sorozatban minden szám az előző
kettőnek az összege. De nem csak a szirmok esetében találunk Fibonacci-
számokat. Ha megnézünk egy óriási napraforgót, virágocskák egy figyelemre
méltó mintáját látjuk rajta - apró virágok, ezek amelyekből a végén mag lesz
- a fejben. A virágocskák két, egymást átmetsző spirálcsaládba rendeződnek,
az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellenkező irányba. Egyes
fajtáknál az első fajta spirálok száma 34, a másik fajtáé 55. Ez két egymás
utáni Fibonacci-szám. A pontos számok a napraforgó fajtájától függnek, de
gyakran találunk 34-et és 55-öt vagy 55-öt és 89-et, akár 89-et és 144-et, a
következő Fibonacci-számot. Az ananásznak 8 sor pikkelye - gyémánt alakú
dísze van -, ezek a sorok bal fele lejtenek, 13 pedig jobb fele.
Leonardo Fibonacci 1200 körül fedezte fel sorozatát egy nyúlpopuláció
növekedésével kapcsolatos probléma vizsgálatakor. Nem annyira realisztikus
modell volt ez, mint az "életjáték"-modell, amit fent tárgyaltam, de nagyon
érdekes részeit jelentette a matematikának, mert ez volt az első ilyenfajta
modell és mert a matematikusok a Fibonacci-számokat elragadónak és
önmagukért szépnek találják. Az erre a fejezetre szánt fő kérdés: ha a
genetika akármilyen számú szirommal is elláthatja a virágokat, vagy az
ananászt akármilyen számú pikkellyel, akkor miért tapasztaljuk a Fibonacci-
számoknak ezt a túlsúlyát?
A válasz feltehetően az, hogy a számokat egy olyan mechanizmus hozza
létre, amely inkább matematikai, mint tetszőleges genetikai utasítás. A
legesélyesebb egyfajta dinamikus feltétel a növényfejlődésre, ami
természetes módon vezet a Fibonacci-számokhoz. Persze a jelenségek
félrevezetőek is lehetnek,
lehet az egész is gének által vezérelt folyamat.
Ha így van, szeretném tudni, hogyan kerültek a Fibonacci-számok a DNS-kódba,
és miért éppen ezek. Lehetséges, hogy az evolúció eleve a természetes módon
előadódó matematikai mintákkal kezdte, és a természetes kiválasztódás
segítségével hangolta be őket. Úgy sejtem, sok ilyen történt - a tigris
csíkjai, a lepke szárnyai. Ez megmagyarázná, miért vannak a genetikusok
meggyőződve arról, hogy a minták genetikai eredetűek, míg a matematikusok az
ellenkezőjéről.
A levelek, szirmok és a növények hasonló részeinek elrendeződéséről
hatalmas irodalommal rendelkezünk. Azonban a korai megközelítések pusztán
leíróak - nem magyarázzák meg, hogyan függnek össze a számok a növény
fejlődésével, csak osztályozzák az elrendeződések geometriáját. A
legdrámaibb betekintést egy meglehetősen friss munka adja, Stéphane Douady
és Yves Couder francia matematikai fizikusoktól. Felállítottak egy elméletet
a növényfejlődés dinamikájáról, és számítógépes modelleket, valamint
laboratóriumi kísérleteket használtak, hogy megmutassák: az elmélet
megmagyarázza a Fibonacci-mintát.
5. ábra
Pontok sorakoznak egymás után, 137,5°-os szögben egymáshoz képest
egy szorosan megcsavart spirál mentén (amelyet nem ábrázoltunk), és
természetes módon lazán megcsavart spirálok két családjára oszlanak
szét, amelyek szabad szemmel jól láthatók. Itt 8 spirál látszik az
egyik, 13 a másik irányban - ezek egymást követő Pibonacci-számok.
Az alapgondolat régi. Ha megnézzük egy fejlődő növény friss hajtásának a
csúcsát, már láthatjuk azokat az apró darabkákat, amelyekből a növény összes
fő tartozéka - levelek, szirmok, csészelevelek, virágocskák és minden más -
kifejlődik majd. A csúcs közepén van egy kör alakú szövetterület, minden
különösebb jelleg nélkül, neve csúcs (apex). A csúcs körül egyenként apró
kidudorodások alakulnak ki, nevük primordium. Minden primordium elvándorol a
csúcstól - pontosabban a csúcs növekedés közben eltávolodik a kidudorodástól
és végül a kidudorodás levéllé, szirommá vagy hasonlóvá fejlődik. Továbbá,
ezeknek a tartozékoknak az elrendeződése eldől már a kezdetben, amikor a
primordium kialakul. Nincs más hátra tehát, mint megmagyarázni, hogy
magukban a primordiumokban miért látunk spirálokat és Fibonacci-számokat.
Az első, amit meg kell értenünk, hogy a legszembeszökőbb spirálok nem
alapvetőek. A legfontosabb spirál úgy keletkezik, hogy vesszük a
primordiumokat megjelenési sorrendjükben. Az előbb megjelent primordiumok
távolabbra vándorolnak, így megjelenési sorrendjüket megállapíthatjuk a
csúcstól való távolságuk alapján. Azt találjuk, hogy az egymás utáni
primordiumok elég ritkásan helyezkednek el egy szorosra tekert spirál
mentén, aminek neve generatív spirál. Az emberi szem azért szúrja ki a
Fibonacci-spirálokat, mert olyan primordiumokból alakultak ki, amelyek
egymás mellett jelennek meg a térben. De csak az időbeli sorozat érdekes.
A lényeges mennyiségi jellemző a szög az egymás utáni primordiumok közt.
Képzeljük el, hogy felrajzoljuk a vonalakat az egymás utáni primordiumok
középpontjaiból az apex középpontjához. Az egymás utáni szögek majdnem
egyenlőek; közös értéküket divergenciaszögnek nevezzük. Más szóval a
primordiumok egyenletesen helyezkednek el - ha a szögeket tekintjük - a
generatív spirál mentén. Továbbá a szögek divergenciája általában nagyon
közel van a 137,5°-hoz, amit először Auguste Bravais kristallográfus és
testvére, Louis hangsúlyoztak. Hogy lássuk, miért jelentős ez a szám,
vegyünk két egymás utáni számot a Fibonacci-sorozatban: például a 34-et és
az 55-öt. Mármost vegyük a megfelelő törtet, 34/55. Szorozzuk meg 360°-kal,
és 222,5-öt kapunk. Mivel ez több 180°-nál, ellenkező irányban kell
felmérnünk, vagy ki kell vonnunk 360-ból. Az eredmény 137,5°, a Bravais-
testvérek által megfigyelt érték.
Az egymás utáni Fibonacci-számok aránya egyre közelebb kerül
0,618034-hez. Például 34/55=0,6182, ami már igen közeli. A határérték
(négyzetgyök alatt 5-1)/2, az ún. aranymetszési szám, gyakran jelölik a görög (fi) betűvel. A
természet hagyott egy rejtvényt a matematikus detektíveknek: a szög az
egymás utáni primordiumok között az aranyszög 360(1-fi)°=137,5°. 1907-ben G.
Van Iterson felkapta ezt a rejtvényt, és kiszámította, mi történik, ha egy
szorosan összecsavart spirálra rátervezünk egymás utáni pontokat, 137,5°-os
szögben. Ahogy a szomszédos pontok egymás után sorakoznak, az emberi szem
kiválasztja egymáson áthatoló spirálok két családját - az egyiket az
óramutató járása szerint, a másikat fordítva. A Fibonacci-számok és az
aranymetszési szám közti összefüggés miatt a spirálok száma két családban
két egymás utáni Fibonacci-szám. Hogy melyik, azt a spirál szorossága dönti
el. Hogy magyarázza ez a szirmok számát? Alapjában, vegyünk ugyanis egy
szirmot a spirál széléről, éppen az egyik családból.
Mindenesetre, csak azt kell megmagyaráznunk, miért zárnak be az egymás
utáni primordiumok aranyszöget, ebből minden más következik.
Douady és Couder dinamikus magyarázatot talált az aranyszögre. Ötleteiket
H. Vogel 1979-es fontos meglátására építették. Az ő elmélete is leíró -
inkább az elrendezés geometriájára koncentrál, mint a dinamikára, ami azt
okozta. Számszerű kísérleteket végzett, amelyek erősen azt sugallták, hogy
akkor rendezzük el a primordiumokat a leghatékonyabban, ha az egymás utáni
primordiumok a generatív spirál mentén helyezkednek el aranyszögben. Például
tegyük fel, hogy aranyszög helyett 90°-os szöggel próbálkozunk, ami osztója
360°-nak. Akkor az egymás utáni primordiumok négy sugár irányában
helyezkednek el, amelyek keresztet alkotnak. Valójában, ha a divergenciaszög
egész számú többszöröse a 360°-nak, akkor mindig sugár irányú vonalakat
kapunk. Tehát nagy szakadások vannak a vonalak között, és nem rendeztünk
elég hatékonyan. A konklúzió: hogy hatékonyan töltsük be a teret, olyan
divergenciaszögre van szükség, ami 360°-nak irracionális többszöröse -
hányadosuk
nem két egész szám hányadosa. De melyik irracionális szám? A
számok vagy racionálisak, vagy nem - amilyen az egyenlőség George Orwell
Állatfarmjában -, egyes számok irracionálisabbak, mint a többi. A
számelmélet mesterei hoszú ideje tudják, hogy a legirracionálisabb szám az
aranymetszési szám. "Rosszul approximálható" racionális számokkal, és ha
mérjük, mennyire rosszul, hát ez a legrosszabbul. Ebből, ha az okoskodást a
feje tetejére állítjuk, következik, hogy az aranyszögben való elrendezés a
leghatékonyabb. Vogel számítógépes kísérletei ezt erősítik meg, de nem
bizonyítják.
A legfigyelemreméltóbb, amit Douady és Couder tett, hogy az aranyszöget
az egyszerű dinamika
következményeként kapták meg, nem pedig közvetlenül a
hatékony elrendezésből. Feltételezték, hogy bizonyos egymás utáni elemek -
amelyek a primordiumokat képviselik - egyenlő időintervallumokban
keletkéznek valahol egy kis kör peremén, ami a csúcsot képviseli, és hogy
ezek az elemek aztán elvándorolnak sugár irányban egy bizonyos
kezdősebességgel. Ráadásul taszítják egymást - mint elektromos töltések vagy
azonos polaritású mágnesek. Ez biztosítja, hogy a sugár irányú mozgás
fennmarad, és hogy minden új elem olyan távol jelenik meg a közvetlen
követőjétől, amennyire csak lehet. Fogadhatnánk, hogy egy ilyen rendszer
teljesíteni fogja Vogel kritériumát a hatékony elrendezésről, és azt
várhatjuk, hogy az aranyszög magától előbukkan. És valóban előbukkan.
Douady és Couder egy kísérletet végzett el - nem növényekkel, hanem egy
kör alakú edény segítségével, ami tele volt szilikonolajjal, s ezt
függőleges mágneses mezőbe helyezték. Kicsi csöppeket csöpögtettek mágneses
folyadékból szabályos időintervallumokban az edény közepére. A cseppek
polarizálódtak a mágneses mezőtől és taszították egymást. Erősítést kaptak
sugárirányból úgy, hogy erősebbé tették a mágneses mezőt az edény szélén,
mint a közepén. A megjelenő minták attól függtek, hogy a cseppek közti
intervallumok milyenek voltak. De az igazán kiugró mintában az egymás utáni
cseppek spirál alakban helyezkednek el, olyan divergenciaszögben, ami az
aranyszöghöz van közel, s összefűzött spirálok napraforgómagszerű mintáját
adják. Douady és Couder ugyancsak végzett komputeres számításokat, hasonló
eredménnyel. Mind a két módszerrel azt találták, hogy a divergenciaszög a
cseppek közti intervallumoktól valamilyen tekergőző görbék komplikált
elágazási mintája szerint függ. A görbe minden két tekergőzés közti szakasza
megfelel spirálszámok egy speciális párjának. A főág nagyon közel van a
137,5°-os divergenciaszöghöz, és a mentén minden lehetséges párt
megtalálunk, ami egymás utáni Fibonacci-számokból képezhető az eredeti
sorrendben. Az ágak közti szakadások "bifurkációkat" képviselnek, ahol a
dinamika jelentős változásokon megy át.
Persze, senki sem állítja, hogy a botanika annyira matematikai jellegű,
mint ez a modell. Speciálisan, sok növényben a primordiumok előfordulásának
aránya meg tud nőni vagy le tud csökkenni. Valójában a változások a
morfológiában - például, hogy egy adott primordiumból levél lesz vagy szirom
- gyakran járnak együtt az ilyen variációkkal. Így, amit a gének csinálnak,
hat arra, hogy milyen lesz a primordiumok megjelenésének időbelisége. De a
növényeknek nincs szükségük arra, hogy a génjeik megmondják nekik, hogyan
helyezzék el a primordiumaikat: ezt megteszi a dinamika. Partnerkapcsolat ez
a fizika és a genetika között, és nekünk mindkettőre szükségünk van ahhoz,
hogy megértsük, miről van szó.
Három példa, a tudománynak igen különböző területeiről. Mindhárom, a maga
módján, csak felnyitja a szemet. Mindegyik egy-egy esettanulmány a természet
számainak eredete körül - mély matematikai szabályosságok ezek, amelyeket a
természet formáiban megtalálhatunk. És van egy közös fonál, egy mélyebb
tanulság bennük. Nem az, hogy a természet bonyolult. Nem, a természet, a
maga ravasz módján, egyszerű. Csakhogy éppen ezek az egyszerűségek nem
mutatkoznak meg nekünk közvetlenül. Ehelyett a természet rejtvényeket hagy a
matematikus-detektíveknek, hogy megfejtsék azokat. Élvezetes játék ez, a
nézőnek is. És teljesen ellenállhatatlan egy matematikus Sherlock Holmes
számára.