Ian Stewart: A természet számai

7. FEJEZET

Az élet ritmusa


A természet nagyon ritmikus, sok és sokféle ritmus található benne. Szívünk és tüdőnk ritmikus ciklusokat jár be, amelyek időbeosztása alkalmazkodik testünk szükségleteihez. A természetnek sok ritmusa olyan, mint a szívverés: fenntartják önmagukat, mintegy "a háttérben" működnek. Mások a lélegzéshez hasonlóak: az egyszerű "alapértelmezés"-szerű minta, mindaddig működik, amíg nem történik semmi szokatlan, de van egy bonyolultabb vezérlő mechanizmus is, amelyik bekapcsol, ha szüleséges, és a ritmust a pillanatnyi szükséglethez igazítja. Az ilyenfajta vezérelhető ritmusok különösen elterjedtek - és különösen érdekesek - a helyváltoztatásban. A lábon helyváltoztató állatok tudatos kontrolltól mentes mozgási alapmintáit járásmódoknak nevezzük.

      A gyors fényképezés kifejlesztése előtt lényegében lehetetlen volt megállapítani, hogy egy állat lába futás vagy vágta közben hogyan mozog: ez a mozgás az emberi szemnek túl gyors. A legenda szerint a fotótechnika egy lóversenyen történő fogadás nyomán fejlődött ki. Az 1870-es években Leland Stanford vasútmágnás huszonötezer dollárban fogadott, hogy van olyan pillanat, amikor az ügető lónak mind a négy lába elválik a talajtól. A vitát eldöntendő egy fényképész, akinek eredeti neve Edward Muggeridge volt, de Eadweard Muybridge-re változtatta, lefényképezte a ló mozgásának különböző fázisait, több fényképezőgépet helyezve el drótakadály mellett, amelyen a ló átugrott. Stanford állítólag megnyerte a fogadást. Igaz a történet vagy sem, Muybridge a járásmódok tudományos vizsgálatának úttörőjeként folytatta. Egy zoetrop nevű mechanikus szerkezetet is feltalált, és "mozgóképek" néven mutogatta őket, s ez az út hamarosan Hollywoodba vezetett. Muybridge tehát egyszerre alapított meg egy tudományt és egy művészetet.

      Ennek a fejezetnek a legnagyobb része járáselemzés, a matematikai biológiának egy ága, amely e kérdések nyomán fejlődött ki: "Hogyan mozognak az állatok?" és "Miért úgy mozognak?". A változatosság kedvéért a fejezet folytatása azokról a ritmikus mintákról szól, amelyek teljes állatpopulációknál találhatók, erre egy megdöbbentő példa egyes szentjánosbogárfajták összehangolt fénykibocsátása, ami a Távol-Kelet egyes területein figyelhető meg, többek közt Thaiföldön. Bár a biológiai kölcsönhatások, amelyek az egyes állatok szervezetében mennek végbe, nagyon különböznek attól, amelyek állatpopulációkra jellemzőek, mégis létezik egy háttérben meghúzódó matematikai egység. Ennek a fejezetnek egyik tanulsága, hogy ugyanazok a matematikai fogalmak alkalmazhatók sok különböző szinten és sok különböző dologra. A természet tiszteli az egységet, és ebből nagy haszna származik.

      Sok biológiai ciklus mögött a szervező elv az oszcillátor matematikai fogalma - ez olyan egység, amely természetes dinamikája révén újra és újra elismétli ugyanazt a viselkedési ciklust. A biológia hatalmas "oszcillátorhálózatokat" épít fel, amelyek egymással is együttműködnek, s összetett viselkedési mintákat alkotnak. Az ilyen "összepárosított oszcillátorhálózatok" foglalják egybe ezt a fejezetet.

      Miért oszcillálnak a rendszerek egyáltalán? Azért, mert ez a legegyszerűbb, amit tehetünk, ha nem akarunk, vagy nem engednek minket nyugton maradni. Miért jár föl és alá a ketrecbe zárt tigris? Mozgását két kényszerfeltétel kombinációja határozza meg. Először is nyugtalan, és nem akar nyugodtan ülni. Másrészt mozgása korlátozott a ketrecben, és nem tud egyszerűen eltűnni a legközelebbi domb mögött. A legegyszerűbb dolog, amit tehetünk, ha mozognunk kell, de elmenekülni nem tudunk, hogy oszcillálunk. Persze semmi sem kényszeríti az oszcillációt szabályos ritmus ismétlésére; a tigris szabálytalanul is járkálhatna a ketrecében. Mégis a legegyszerűbb lehetőség - és így a legvalószínűbben alakul ki mind a matematikában, mind a természetben -, hogy találjunk valamilyen elvégezhető mozgássorozatot, és azt ismételjük újra meg újra. Ezt nevezzük periodikus oszcillációnak. Az 5. fejezetben leírtam a hegedűhúr rezgését. Az is periodikus oszcillációval mozog, éspedig ugyanazon okokból, mint a tigris. Nem tud veszteg maradni, mert megpendítették, és nem tud elszabadulni, mert a végeit leszorították, és teljes energiája nem tud növekedni.

      Sok oszcilláció stacionárius állapotból alakul ki. A feltételek változásával a stacionárius állapotban lévő rendszer kikerülhet ebből az állapotból, és periodikus ingadozásba kezdhet. 1942-ben Eberhard Hopf német matematikus általános matematikai feltételt talált, amely ilyen viselkedést garantál: tiszteletére ezt a forgatókönyvet Hopf-bifurkációnak nevezték el. Az ötlet: approximáljuk, vagyis közelítsük az eredeti rendszer dinamikáját egy különösen egyszerű módon, és nézzük meg, vajon a leegyszerűsített rendszerben létrejön-e periodikus ingadozás. Hopf bebizonyította, hogy ha az egyszerű rendszer ingadozik, akkor a bonyolult is. Ennek a módszernek nagy előnye, hogy a matematikai számításokat csak a leegyszerűsített rendszeren kell végezni, s az eredményből megtudható, hogyan viselkedik az eredeti rendszer. Közvetlenül az eredeti rendszerrel nehéz volna megbirkózni, és Hopf megközelítése igen hatékony módon kerüli ki a nehézségeket.

      A "bifurkáció" (kettéválás) szó a folyamatról alkotott képből származik - a periodikus oszcilláció "kinő" a kezdeti stacionárius állapotból, mint a gyűrűződés a középpontjából. Ennek a képnek a fizikai interpretációjában az oszcillációk először elég kicsik, majd egyre nagyobbá válnak. Hogy milyen gyorsan nőnek, az itt most lényegtelen.

      Például a klarinét hangja a Hopf féle bifurkációtól függ. Amint a klarinétos levegőt fúj a hangszerbe, az addig mozdulatlan nád rezegni kezd. Ha a levegő gyengén áramlik, a rezgés kicsi, és halk hangot eredményez. Ha a muzsikus erősebben fújja, a rezgés megnő, és a hang erősebb lesz. Csak az a fontos, hogy a muzsikus ne oszcillálóan fújjon (vagyis ne pöfögjön a hangszerbe gyors egymásutánban), hogy a nádat oszcilláltassa. Ez tipikus a Hopf-bifurkációnál: ha az egyszerű rendszer megfelel a Hopf-féle matematikai teszten, a valóságos rendszer magától oszcillálni kezd. Ebben az esetben az egyszerű rendszer úgy értelmezhető, mint fiktív matematikai klarinét egy nagyon 85 egyszerű náddal, bár a matematikai számítások elvégzéséhez erre az értelmezésre az adott esetben nincs szükség.

      A Hopf-bifurkáció speciális szimmetriasértésként fogható fel. Az előző fejezetben tárgyalt szimmetriasértésekkel ellentétben az itteni szimmetriák nem a térrel, hanem az idővel kapcsolatosak. Az idő egyetlen változó, tehát matematikailag egy egyenesnek felel meg - az időtengelynek. Az egyenesnek csak kétféle szimmetriája van: az eltolások és a tükrözések. Mit jelent, ha egy rendszer időeltolásra szimmetrikus? Ha megfigyeljük a rendszer mozgását, aztán meghatározott ideig várunk, és megint megfigyeljük a rendszert, ugyanazt a viselkedést tapasztaljuk. Ez a periodikus oszcilláció egy leírása: ha periódusnyi ideig várunk, ugyanazt látjuk. A periodikus oszcillációnak tehát időeltolási szimmetriája van.

      Mi a helyzet az idő tükrözési szimmetriáival? Ezek annak a változtatásnak felelnek meg, amikor elérjük, hogy az idő visszafelé teljen, ami ravaszabb és filozófiailag nehezebb fogalom. Az idő megfordítása a fejezet szempontjából mellékes jelentőségű, mégis igen érdekes kérdés, ami megérdemli, hogy valahol tárgyaljuk. Miért ne éppen itt? A mozgástörvény invariáns az idő megfordítására. Ha lefilmezünk akármilyen "megengedett" (a törvényeknek megfelelő) fizikai mozgást, és visszafelé forgatjuk le a filmet, megint egy megengedett mozgást fogunk látni. Ugyanakkor a világunkban a szokásos megengedett mozgások bizarr hatást keltenek, ha visszafelé játsszuk le őket. Az égből zuhogó, tócsákat alkotó esőcseppek mindennapi látványt nyújtanak; tócsák, amint magukból esőcseppeket köpködnek, majd megszűnnek, kevésbé mindennapiak. A különbség a kezdeti feltételekben van. A legtöbb kezdeti feltétel megsérti az időtükrözési szimmetriát. Tegyük fel, hogy lefelé eső esőcseppekkel kezdjük. Ez nem időszimmetrikus állapot: az időben való megfordítottja felfelé eső esőcseppeket jelentene. Bár a törvények időben megfordíthatók, a belőlük következő mozgás nem feltétlenül, mert ha egyszer megsérült az időtükrözési szimmetria a kezdeti feltételek miatt, sérült is marad.

      Térjünk vissza az oszcillátorokhoz! Az imént magyaráztam el, hogy a periodikus oszcillációk időeltolási szimmetriával rendelkeznek, de nem mondtam meg, hogy ezt a mintát milyen szimmetria megsértésével kapjuk. A válasz: "az összes időeltolás". Egy állapot, amelyik az összes ilyen szimmetriára invariáns, minden időpillanatban változatlan legyen - nem csak egy eltolásra nézve. Vagyis stacionárius állapotnak kell lennie. Ha tehát egy rendszer, amelynek állapota stacionárius, periodikusan oszcillálni kezd, időeltolási szimmetriái lecsökkennek az összes eltolásból egyetlen periódussal való eltolásba.

      Mindez nagyon elméletien hangzik. Ugyanakkor a felismerés, miszerint a Hopf-féle bifurkáció valójában az időbeli szimmetria megsértésének egy esete, elvezetett a Hopf-bifurkáció széles körű elméletéhez olyan rendszerekben, amelyekben más szimmetriák is fellépnek - konkrétan térbeliek. A matematikai apparátus nem függ a speciális értelmezésektől, és több különböző fajta szimmetriát is könnyedén tud kezelni egyszerre. Ennek a megközelítésnek egyik sikertörténete az olyan minták általános osztályozása, amelyek tipikusan akkor lépnek fel, ha oszcillátorok egy szimmetrikus hálózatára egy Hopf-bifurkáció hat, és az egyik alkalmazás az állatok mozgása.

      A mozgásban két, biológiai szempontból különböző, de matematikailag hasonló oszcillátortípus játszik szerepet. A legnyilvánvalóbb oszcillátorok az állatok végtagjai, amelyek mechanikai rendszereknek tekinthetők - az ízületek körül forgó, összekapcsolódó csontszerkezetek, amelyeket az összehúzódó izmok mozgatnak. De a fő oszcillátorok, amelyek minket igazán érdekelnek, a lény idegrendszerében találhatók, az ideghálózatban, amely a végtagok aktivitását kiváltó és vezérlő ritmikus elektromos jeleket kibocsátja. A biológusok az ilyen hálózatot CPG-nek nevezik, ami a "central pattern generator" (központi mintageneráló) rövidítése. Ennek megfelelően egyik hallgatóm a végtagra a LEG mozaikszóval kezdett hivatkozni, állítólag "locomotive excitation generator" (mozgásgerjesztő generátor) rövidítéséül. (*)

      (*) Egyben szellemes szójáték, ugyanis leg (angol) = láb. (A szaklektor megj.)
      Az állatoknak kettő, négy, hat, nyolc vagy több LEG-jük van, de az őket vezérlő CPG-kről közvetlenül nagyon keveset tudunk, aminek okait röviden kifejtem. Sok minden, amit tu dunk, annak a gyümölcse, hogy visszafelé - vagy ha akarom, előre - dolgoztunk a matematikai modellekből.

      Bizonyos állatoknak csak egy járásmódjuk van: egyfajta ritmikus alapminta a végtagjaik mozgatására. Az elefánt például csak sétálni tud. Ha gyorsabban akar haladni, baktat - de a baktatás egyszerűen gyors séta, a lábmozgások mintája ugyanaz. Más állatoknak sok járásmódja van; vegyük például a lovat. Kis sebességnél a lovak sétálnak, nagyobb sebességnél ügetnek, és a legnagyobb sebbességnél vágtatnak. Van, aki még további mozgástípust is beiktat, a könnyű vágtát az ügetés és a galopp között. A különbségek alapvetőek: az ügetés nem egyszerűen csak gyorsabb séta, hanem egy egészen másfajta mozgás.

      1965-ben Milton Hildebrand amerikai zoológus észrevette, hogy a legtöbb járásmódban van bizonyos fokú szimmetria. Más szóval, amikor egy állat ugrik, a két mellső lába egyszerre mozog, és a két hátsó is; az ugró járásmód megőrzi az állat kétoldali szimmetriáját. Más szimmetriák ravaszabbak: például a teve bal fele követi ugyan a jobb által leírt mozgássorozatot, de fél periódusnyi késéssel. Tehát ennek a járásformának sajátos szimmetriája van: "tükrözd a balt és a jobbat, majd told el a fázist fél periódussal". Mi is ezt a fajta szimmetriasértést használjuk, amikor előrehaladunk: kétoldali szimmetriánk ellenére nem mozgatjuk egyszerre a lábunkat! Ennek vannak előnyei a kétlábúak számára: ha lassan mindkét lábunkat ugyanabba az irányba mozgatnánk, elesnénk.

      A négylábúak hét legelterjedtebb járásmódja az ügetés, a poroszkálás, az ugrás, a séta, a forgóvágta, a keresztvágta és a könnyű vágta. Az ügetésnél a lábak valójában átlósan vannak párban. Először a bal első és a jobb hátsó láb éri a talajt egyszerre, majd a jobb első és a bal hátsó. Az ugrásnál a mellső lábak egyszerre érik a talajt, aztán a hátsók. A poroszkálás az azonos oldali lábakat kapcsolja össze: a két balláb éri a talajt, majd a két jobb. A séta bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus mintát jelent: bal első, jobb hátsó, jobb első, bal hátsó, majd kezdődik az egész elölről. A forgóvágtában a mellső lábak érik a talajt majdnem egyszerre, de (mondjuk) a jobb egész kicsit később; aztán a hátsó lábak majdnem egyszerre, de ezúttal a bal egész kicsit később. A keresztvágta hasonló, de a hátsó lábak sorrendje fordított. A könnyű vágta még különösebb: először a bal első, aztán a jobb hátsó, végül a másik két láb lép egyszerre. Van még egy ritkább járásmód, a pronk, ahol mind a négy láb egyszerre mozog.

      A pronk nem túl elterjedt, karikatúráktól eltekintve, de néha látható a fiatal szarvasnál. A poroszkálás a tevékre, az ugrás a kutyákra jellemző; a vadászleopárdok a forgóvágtát veszik igénybe a legnagyobb sebességű haladáshoz. A lovak a sokoldalúbb négylábúak közé tartoznak, használják a sétát, az ügetést, a keresztvágtát és a könnyű vágtát, a körülményektől függően.

      A képesség a járásmódváltásra a CPG-k dinamikájából származik. A CPG- modellek mögött meghúzódó fő idea az, hogy az állatok járásmódjainak ritmusát és fázisviszonyait viszonylag egyszerű ideghálózatok természetes oszcillációs mintái határozzák meg. Vajon milyen lehet egy ilyen hálózat? Az ideghálózat egy konkrét darabját lokalizálni egy állat testében annyi, mint egy bizonyos porszemet keresni a sivatagban: a legegyszerűbb állatok idegrendszerének a feltérképezése is messze meghaladja a mai tudomány lehetőségeit. Így hát kevésbé direkt módszerrel kell körülszimatolnunk a CPG szerkezetének problémáját.

      Az egyik megközelítés, hogy kidolgozzuk a legegyszerűbb olyan hálózatot, amely a járásmódok összes szóba jövő szimmetriamintáit szolgáltatja. Első ránézésre ez nagy feladatnak tűnik, és megbocsátható volna részünkről, ha megpróbálnánk kiagyalni valamilyen komplikált struktúrát kapcsolókkal, amelyek lehetővé teszik az átkapcsolást egyik járásmódról a másikra, mint amilyen az autó sebességváltója. De a Hopf-bifurkáció elmélete azt sugallja, hogy van egyszerűbb és természetesebb út is. Kiderül, hogy a járásmódoknál megfigyelt szimmetriaminták erősen emlékeztetnek azokra, amelyeket oszcillátorok szimmetrikus hálózataiban találunk. Az ilyen hálózatok természetes módon egész repertoárt tartalmaznak szimmetriasértő oszcillációkból, és természetes módon képesek átkapcsolni köztük. Nincs szükség komplikált sebességváltóra.

      Például egy kétlábú CPG-jét reprezentáló hálózat összesen két oszcillátort igényel, egyet-egyet a két lábhoz. A matematika szerint ha két azonos oszcillátort párosítunk össze - vagyis kötünk össze úgy, hogy az egyik állapota hat a másikra -, akkor két tipikus oszcillációs mintát kapunk. Az egyik a fázisban minta, ahol a két oszcillátor azonos módon viselkedik. A másik a nem-fázisban minta, ahol a két oszcillátor majdnem azonosan viselkedik, eltekintve attól, hogy félperiódusnyi fáziskülönbség van köztük. Tegyük fel, hogy ez a CPG-ből érkező jel vezérli egy kétlábú lábizmait, amennyiben mindkét oszcillátorhoz egy-egy lábat rendelünk. A kapott járásmódok öröklik ugyanazt a két mintát. A hálózat fázisban való oszcillációja esetén a két láb együtt mozog: az állat két lábon szökdécsel, mint a kenguru. Ezzel ellentétben a CPG nem-fázisban történő mozgása az ember járásához hasonló járásmódot eredményez. Ez a két járásmód figyelhető meg leggyakrabban a kétlábúaknál. (A kétlábú persze mást is tehet; például szökdécselhet egy lábon - ebben az esetben azonban valójában egylábú állatnak tekinthető.)

      Mi a helyzet a négylábúakkal? Itt a modell négy összekapcsolt oszcillátor - mind a négy lábhoz egy. A matematika ez esetben a minták nagyobb választékát jósolja, és majdnem mindegyikhez tartozik valamilyen megfigyelt járásmód. A legszimmetrikusabb járásmód, a pronk, négy teljesen szinkronizált oszcillátor mintájához tartozik - vagyis a sértetlen szimmetriához. A következő legszimmetrikusabb járásmódok - az ugrálás, a poroszkálás és az ügetés - azt jelentik, hogy két nem-fázisban levő párt kapcsoltunk össze: mellsőt/hátsót, balt/jobbat vagy átlósan. A séta cirkuláló nyolcfigurás minta, a matematikában természetes módon jelenik meg. A kétféle vágta ravaszabb. A forgóvágta a poroszkálásnak és az ugrálásnak a keveréke, a keresztvágta az ugrálásé és az ügetésé. A könnyű vágta még ennél is ravaszabb, és még nem is értjük elég jól.

      Az elmélet könnyen kiterjeszthető a hatlábú teremtményekre is, mint a rovarok. Például a svábbogár tipikus járásmódja tripod, ahol az egyik oldalon levő középső láb egy fázisban van a másik oldalon levő elülső és hátsó lábbal, és a másik három láb is együtt mozog, félperiódusnyi fáziseltéréssel az előző hármashoz képest. Ez az egyik természetes minta hat, egy gyűrűbe összekapcsolt oszcillátorra. A szimmetriasértési elmélet megmagyarázza azt is, hogyan tudnak az állatok járásmódot váltani sebességváltó nélkül: egyetlen oszcillátorhálózat más körülmények között más mintát tud felvenni. A járásmódok közti átmenetet ugyancsak a szimmetria szervezi. Minél gyorsabban mozog az állat, annál kevesebb a szimmetria a járásmódjában: több sebesség több szimmetriát sért meg. Ám annak magyarázata, hogy miért váltanak járásmódot, részletesebb információt, fiziológiai ismereteket igényel. 1981-ben D. F. Hoyt és R. C. Taylor felfedezte, hogy amikor a lovak maguk választhatják meg sebességüket a talajtól függően, mindig azt a járásmódot választják, amelyik a lehető legkisebb oxigénfogyasztással jár.

      Azért tárgyaltam ennyire részletesen a járásmódok matematikáját, mert ez a modern matematikai technikáknak egy szokatlan alkalmazása olyan területen, amelynek első látásra semmi köze sincs hozzájuk. A fejezet befejezéseképp ugyanezeknek az általános fogalmaknak egy további alkalmazását szeretném bemutatni, itt azonban biológiai szempontból éppen az lesz a fontos, hogy a szimmetria ne sérüljön meg.

      Az egész természetben a leglátványosabb bemutató Délkelet-Ázsiában látható, ahol szentjánosbogarak hatalmas rajai szinkronban villognak. A Science folyóiratban 1935-ben publikált, a Synchronous Flashing of Fireflies (Szentjánosbogarak szinkronvillogása) című cikkében Hugh Smith amerikai biológus lebilincselően írja le a jelenséget: "Képzeljünk el egy 10-12 méter magas fát, minden levelén egy-egy szentjánosbogárral, ahogy az összes bogár tökéletesen egyszerre villog, körülbelül háromszor kétmásodpercenként, s a villogások közti szünetekben a fa teljes sötétségbe borul. Képzeljük el a folyópart 160 méternyi szakaszát, végig mangrove- fákkal, minden levelükön egy szentjánosbogárral, amint szinkronban villognak, a két szélen és köztük tökéletes összhangban. Akinek elég élénk a fantáziája, fogalmat alkothat erről az elbűvölő látványosságról."

      Miért villognak szinkronban a szentjánosbogarak? 1990-ben Renato Mirollo és Steven Strogatz rámutatott arra, hogy a szinkronizmus a szabály azokban a matematikai modellekben, amelyekben minden szentjánosbogár minden másikkal kölcsönhatásban áll. Az ötlet: a rovarokat modellezzük ezúttal vizuális jelek segítségével csatolt oszcillátorok egy populációjával. A kémiai ciklust, amely végbemegy a szentjánosbogárban, amikor lead egy fényjelet, oszcillátorként képzeljük el. A bogarak populációját ilyen oszcillátorok hálózatának tekintjük, teljesen szimmetrikus kapcsolatban, azaz minden oszcillátor az összes többire ugyanúgy hat. A legszokatlanabb jellemzője ennek a Charles Peskin amerikai biológus által 1975-ben bevezetett modellnek, hogy az oszcillátorokat maga a lüktetés kapcsolja össze. Ezt úgy kell értenünk, hogy egy oszcillátor csak abban a pillanatban hat a szomszédaira, amikor leadja a fényjelet.

      A matematikai nehézség az, hogy mindezeket a kölcsönhatásokat szétválasszuk, úgy, hogy aztán együttes hatásuk világosan kirajzolódjék. Mirollo és Strogatz bebizonyította, hogy, a kezdeti feltételektől függetlenül, végül az összes oszcillátor szinkronba kerül. A bizonyítás az abszorpció fogalmán alapul, ami annyit jelent, hogy két különböző fázisban levő oszcillátor "felzárkózik egymáshoz", és ettől kezdve azonos fázisban lesznek. Mivel az összekapcsolódás teljesen szimmetrikus, ha egy csoport oszcillátor felzárkózott egymáshoz, ezek már nem válnak szét újra. Geometriai és analitikus bizonyítás tanúsítja, hogy ezeknek az abszorpcióknak szükségszerűen kialakul a sorozata, ami végül az összes oszcillátor felzárkózásával jár.

      Mind a mozgás, mind a szinkronizáció esetében az a nagy tanulság, hogy a természet ritmusai gyakran függnek össze a szimmetriával, és hogy a fellépő minták osztályozhatók a szimmetriasértés általános elvei segítségével. Ezek az elvek nem válaszolnak meg minden kérdést a természet világából, de egységes keretet nyújtanak, és gyakran sugallnak érdekes új kérdéseket. Például mindkét esetben felvetődött és választ kapott a kérdés: miért ezek a minták, és nem mások? A másik tanulság az, hogy a matematika néha képes megvilágítani a természetnek olyan aspektusait is, amelyeket általában nem tekintünk matematikainak. Ezt a tanulságot először D'Arcy Thompson skót zoológus vonta le, akinek klasszikus, de külön utakon járó, 1917-ben megjelent könyve, az On Growth and Form (Növekedésről és formákról), többé- kevésbé kézenfekvő bizonyítékok óriási választéka arról, milyen szerepet játszik a matematika a biológiai forma és viselkedés alakulásában. Egy olyan korban, mikor a legtöbb biológus szerint egy állatban az egyetlen érdekes a DNS lánca, ezt a tanulságot gyakran és hangosan kell ismételnünk.