Ian Stewart: A természet számai

6. FEJEZET

A sérült szimmetria


Az ember valami oknál fogva vonzódik a szimmetriához. A szimmetria csábítja vizuális érzékünket is, és így szépérzékünkben is szerepet játszik. Ugyanakkor a tökéletes szimmetria ismétlődő és megjósolható, és tudatunk a meglepetéseket is szereti, ezért aztán gyakran jobban kedveljük a tökéletlen szimmetriát a pontos matematikai szimmetriánál. Úgy látszik, hogy a természet is vonzódik a szimmetriához, mivel a természeti világ legfeltűnőbb mintái szimmetrikusak. S ugyancsak úgy látszik, hogy a természet nem elégedett a túl erős szimmetriával, mert a természetben majdnem minden szimmetrikus minta kevésbé szimmetrikus, mint az őt létrehozó okok.

      Talán furcsán hangzik, amit mondtunk. Emlékezhetünk rá, hogy Pierre Curie, a nagy fizikus, aki feleségével együtt felfedezte a radioaktivitást, vallotta: "az okozatok ugyanolyan szimmetrikusak, mint az okok". Ám a világ tele van olyan okozatokkal, amelyek nem olyan szimmetrikusak, mint okaik, és ennek a magyarázata a "spontán szimmetriasértés" néven ismert jelenség.

      A szimmetria egyszerre matematikai és esztétikai fogalom, amely lehetővé teszi, hogy osztályozzunk és megkülönböztessünk különböző típusú szabályos mintákat. A szimmetria sérülése már dinamikusabb fogalom, egy minta megváltozását írja le. Ahhoz, hogy megértsük, honnan származnak a természet mintái, és hogyan változnak, nyelvet kell találnunk a leírásukra.

      Mi a szimmetria?

      Haladjunk a speciálistól az általános felé! Az egyik legismertebb szimmetrikus forma, amelyben egész életünket töltjük: az emberi test "kétoldali szimmetriát" mutat, azaz a bal fele (majdnem) ugyanolyan, mint a jobb. Az emberi alak kétoldali szimmetriája csak hozzávetőleges: a szív nem középen van, és az arc két fele sem azonos. De ez a forma mégiscsak nagyon közel áll a tökéletes szimmetriához, és a matematikai szimmetria leírása céljából elképzelhetünk egy idealizált emberi alakot, amelynek bal és jobb oldala pontosan megegyezik. Valóban pontosan? Nem egészen. Az ábra két fele különböző területű, és bal oldala a jobb fordítottja - tükörképe.

      Amint olyan szavakat használunk, mint "kép", azonnal arra gondolunk, hogyan felel meg az egyik forma a másiknak hogy tudnánk elmozgatni az egyik formát, hogy fedésbe kerüljön a másikkal. A kétoldali szimmetria azt jelenti, hogy a bal oldalt egy tükörrel tükrözve a jobb oldalt kapjuk. A tükrözés matematikai fogalom, de nem forma vagy szám, nem is képlet. Transzformáció - vagyis szabály arra, hogyan mozgassuk el a dolgokat. (*)

      (*) Vegyük ezt leszűkítő szóhasználatnak, ugyanis sok transzformáció nem helyettesíthető mozgatással. (A szaklektor megj.)
      Sokféle lehetséges transzformáció létezik, de a legtöbb nem szimmetria. Hogy helyesen rendeljük egymáshoz a két felet, a tükröt a szimmetriatengelyre kell helyeznünk, ami az ábrát két félre osztja. Ekkor a tükrözésre az emberi alak invariáns, azaz változatlan marad. Tehát pontos matematikai jellemzést találtunk a kétoldali szimmetriára - egy forma akkor rendelkezik kétoldali szimmetriával, ha tükrözésre invariáns. Általánosabban, egy objektum vagy rendszer szimmetriája olyan transzformáció, amelyre az invariáns. Ez a leírás gyönyörű példa arra, amit korábban "dologiasításnak" hívtam: a "mozgasd így" eljárás dologgá válik - szimmetriává. Ez az egyszerű, de elegáns jellemzés óriási matematikai területre nyit kaput.

      Sok különböző típusú szimmetria van. A legfontosabbak a tükrözések, forgatások és az eltolások. Nézzünk egy síkbeli tárgyat, kapjuk fel, és dobjuk vissza fordítva, ugyanazt a hatást érjük el így, mintha megfelelő tükörrel tükröztük volna. Hogy tudjuk, hova kell tenni a tükröt, figyeljük meg a tárgy egy pontját, és keressük meg, melyik pontba került a visszadobás után. A tükörnek félúton kell lennie a pont és képe közt, a két pontot összekötő szakaszra merőlegesen (lásd 3. ábra). A háromdimenziós térben is végezhetünk tükrözést, ám ekkor a tükör ismerősebb - sík felület.

3. ábra
Hol a tükör?
Adott egy tátgy és a tükörképe, válasszuk ki a tárgy tetszőleges pontját és a képét. Kössük össze őket egy egyenessel. A tükör merőleges lesz az egyenesre, és átmegy a két pont távolságának felezőpontján.

     Hogy egy síkbeli tárgyat elforgassunk, válasszunk egy pontot, nevezzük középpontnak, és forgassuk el a középpont körül, mint a kereket a kerékagy körül. A forgatás "mértékét" az határozza meg, hogy hány fokkal forgattuk el a tárgyat. Például képzeljünk el egy virágot négy ugyanolyan szirommal. Ha a virágot elforgatjuk 90°-kal, változatlan marad, tehát a "forgasd el derékszöggel" transzformáció a virágnak szimmetriája lesz. A forgatások három dimenzióban is megjelenhetnek, csakhogy ott egy egyenest kell választanunk, a tengelyt, hogy a tárgyakat körülötte forgassuk el, mint a Földet a tengelye körül. Persze elforgathatjuk a tárgyakat leülönböző szöggel is ugyanazon tengely körül.

      Az eltolások olyan transzformációk, amelyek elcsúsztatják a tárgyakat, anélkül, hogy elforgatnák őket. Gondoljunk egy kicsempézett fürdőszobafalra. Ha veszünk egy csempét, és képzeletben vízszintesen elcsúsztatjuk megfelelő távolságra, éppen illeszkedni fog a szomszédos csempére. Ez a távolság egy csempe szélessége lesz. Ha két szélességnyire csúsztatjuk el, vagy háromra, vagy akármilyen egész számúra, mindig bele fog illeni a mintába. Ugyanez a helyzet, ha függőlegesen mozgatjuk el, vagy vízszintes és függőleges elcsúsztatások egy kombinációját alkalmazzuk. Sőt, egyetlen csempe elcsúsztatása helyett az egész mintát is elcsúsztathatjuk. Megint csak a minta csupán akkor illik rá az eredetire, ha a szélességnek egész számú többszöröse volt mind a vízszintes, mind a függőleges elmozdulás.

      A tükrözések azokat a szimmetriákat ragadják meg, ahol a bal oldal ugyanolyan, mint a jobb, akár az emberi testben. A forgatások pedig azokat a szimmetriákat, ahol ugyanazok az egységek ismétlődnek egy kör mentén, mint a virág szirmai. Az eltolások azokkal a szimmetriákkal foglalkoznak, ahol az egységek úgy ismétlődnek, mint egy szabályos csempesor; a méhsejt hatszögletű "csempéivel" egészen kitűnő természeti példa erre.

      Honnan származnak a természet mintáinak szimmetriái? Gondoljunk egy csendes tavacskára, legyen ez olyan sima, hogy akár matematikai síknak is gondolhatjuk, és legyen elég nagy, hogy a szélei se zavarjanak. Dobjunk egy kavicsot a tavacskába! Mintákat látunk, fodrozódást, körkörös hullámokat a körül a pont körül, ahova a kavicsot bedobtuk. Mindenki látott ilyet, senki sincs túlságosan meglepve. Végtére is, láttuk az okot: a kavics volt az. Ha nem dobjuk be a kavicsot, vagy másképp nem zavarjuk meg a víz felszínét, nem keletkeznek hullámok. Csak csendes, sima, síkszerű tó.

      A tavacska fodrai példát szolgáltatnak a megsértett szimmetriára. Egy ideális matematikai síknak hatalmas mennyiségű szimmetriája van: minden része azonos minden részével. Eltolhatjuk akármilyen távolságra, akármilyen irányban, elforgathatjuk akármilyen szöggel akármilyen középpont körül, tükrözhetjük akármilyen tükörtengelyre, ugyanolyan lesz. Ezzel szemben a körkörös hullámok mintája kevesebb szimmetriát mutat. Csak a kavics beesési pontja körüli forgatásokra nézve szimmetrikus, valamint az ezen a ponton átmenő tükörtengelyekre. Semmilyen eltolásra, semmilyen más forgatásra vagy tükrözésre. A kavics megtöri a sík szimmetriáját, abban az értelemben, hogy ha megzavarja a vizet, annak sok szimmetriája elvész. De nem mind, ezért látunk mintát.

      Ám ezek egyike sem meglepő, a kavics miatt. Valóban, a kavics beesésével kijelöl egy pontot, és a keletkező hullámok szimmetriái éppen azok, amiket vártunk. Éppen azok a szimmetriák, amelyek ezt a pontot helyben hagyják. Tehát a tavacska szimmetriája nem spontán módon sérült meg, amikor a kavics belekerült, mivel megtalálhatjuk a követ, ami az eltolási szimmetriákat megszüntette.

      Jobban meglepődnénk - sokkal jobban -, ha a tökéletesen sima tóban hirtelen hullámok jelennének meg koncentrikus körökben, minden ok nélkül. Azt képzelnénk, hogy talán egy hal zavarta meg a vizet, vagy valami beleesett, és azért nem láttuk, mert túl gyorsan mozgott. Annyira erős bennünk a megrögzött feltételezés, miszerint a mintáknak oka kell legyen, hogy amikor B. P. Belouszov orosz kémikus 1958-ban felfedezett egy kémiai reakciót, amely spontán módon hozott létre mintákat, látszólag a semmiből, kollégái nem hittek neki. Feltételezték, hogy valamilyen hibát követett el. Nem is bajlódtak vele, hogy munkáját ellenőrizzék: annyira nyilvánvaló volt, tévedett, hogy az ellenőrzést időpocsékolásnak tartották.

      Kár volt, ugyanis neki volt igaza.

      A Belouszov felfedezte minta nem térbeli volt, hanem időbeli, reakciója kémiai változások periodikus sorozatán oszcillált végig. 1963 körül egy másik orosz vegyész, A. M. Zabotinszkij, úgy módosította Belouszov reakcióját, hogy az térbeli mintákat is mutatott. Tiszteletükre minden hasonló kémiai reakciónak a "Belouszov-Zabotinszkij [vagy B-Z] reakció" fajtanevet adják. Napjainkban az ilyen reakciókhoz használt kemikáliák már mások és egyszerűbbek, néhány finomításnak köszönhetően, amit az angol szaporodásbiológus, Jack Cohen és az amerikai matematikai biológus, Arthur Winfree eszközölt, és a kísérlet annyira egyszerű, hogy elvégezheti bárki, ha hozzájut a szükséges vegyszerekhez. Ezek elég speciálisak, de összesen négyféle kell belőlük. (*)

      (*) A pontos recept megtalálható Jack Cohen - Ian Stewart The Collapse of Chaos című könyvének jegyzetei között.
      Mivel nincsenek kéznél a szükséges kísérleti eszközök, elmesélem, mi történne, ha elvégeznénk a kísérletet. Mindegyik vegyszer folyadék: összekeverjük őket a helyes sorrendben, és egy lapos edénybe öntjük. A keverék kék színű lesz, majd vörös: hagyjuk állni egy ideig. Tíz, vagy néha akár húsz percig nem történik semmi: mintha egy jellegtelen sima tavacskát bámulnánk - leszámítva, hogy még a színe is jellegtelen, egyformán vörös. Ez az egyformaság nem meglepő, hisz végtére is összekevertük a folyadékokat. Ekkor apró kék foltokat vehetünk észre - és ez már meglepetés. Terjednek, kör alakú kék lemezeket alkotva. Minden egyes lemez belsejében megjelenik egy vörös folt, s így a lemezből vörös közepű kék gyűrű lesz. Mindkettő növekszik, és mikor a vörös lemez elég nagy lesz, megjelenik benne egy kék folt. A folyamat folytatódik, "célminták" folyton bővülő sorozata jön létre - koncentrikus vörös és kék gyűrűk. Ezek a cél-minták ugyanazokat a szimmetriákat mutatják, mint a tavacska gyűrűi; de ezúttal nem látjuk a kavicsot. Furcsa és rejtélyes folyamat, amiben a minta - a rend -, úgy tűnik, magától jelenik meg a rendezetlen, véletlen módon összekevert folyadékban. Nem csoda, hogy a vegyészek nem hittek Belouszovnak.

      S ez még nem az utolsó bűvészmutatvány a B-Z-reakciókkal. Ha az edényt enyhén megbillentjük és visszatesszük a helyére, vagy egy forró drótdarabot mártunk bele, meg tudjuk szakítani a gyűrűket és forgó vörös-kék spirálokká alakítani őket. Ha Belouszov ezt mutatta volna be, kollégái haja az égnek mered.

      Ez a viselkedésfajta nem pusztán bűvésztrükk. Szívünk szabályos dobogása ugyanezeken a mintákon alapul, csak ott az elektromos aktivitás hullámainak mintájáról van szó. Szívünk nem egy halom differenciálatlan izomszövet, és nem automatikusan húzódik össze az egész. Millió parányi izomrostból áll, ezek mindegyike egyetlen sejt. A rostok elektromos és kémiai jelek hatására húzódnak össze, és a jelet továbbítják szomszédjuknak. A probléma: biztosítani, hogy a rostok nagyjából összehangoltan húzódjanak össze, s ezáltal a szív úgy dobogjon, mint valami egész. Az összhang szükséges mértékét biztosítandó, agyunk elektromos jeleket küld a szívnek. Ezek a jelek elektromos változásokra ingerelnek bizonyos izomrostokat, azok pedig a szomszéd rostokra hatnak - így aztán aktivitási hullámok terjednek, éppúgy, ahogy a tavacska hullámai vagy a kék lemezek a B-Z-reakcióban. Amíg a hullámok teljes gyűrűket alkotnak, a szívizomrostok egyszerre húzódnak össze, és a szív normálisan dobog. Ha azonban a hullámokból spirálok lesznek - ahogy ez elő is fordulhat a beteg szívben -, az eredmény sok helyi, koordinálatlan összehúzódás, és a szív rostosodik. Ez a fibrilláció. Ha a rostosodás néhány percen keresztül ellenőrizetlenül folytatódik, beáll a halál. Így aztán mindannyian öröklötten érdekeltek vagyunk a körkörös és a spirális mintákban.

      Ugyanakkor a szívben, csakúgy, mint a tóban, konkrét okot látunk a hullámmintákra: az agyból származó jeleket. A B-Z-reakciónál nem látunk ilyet: a szimmetria spontán módon borul fel; "önszántából", külső hatás nélkül. A "spontán" kifejezés azonban nem jelenti, hogy nincs ok: csak azt, hogy akármilyen csekély lehet. Matematikailag a döntő pont, hogy a vegyszerek egyenletes eloszlása - a jellegtelen vörös folyadék instabil. Ha az alkotórészek eloszlása már nem egyenletes, a kényes egyensúly, amely az oldatot vörösen tartotta, felborul, és a meginduló kémiai változások kiváltják egy kék folt megjelenését. Ettől kezdve az egész folyamat sokkal érthetőbb, mert most már a kék folt úgy hat, mint egy kémiai "kavics", s egymás utáni kémiai gyűrűződéseket okoz. Ám - legalábbis matematikai szempontból - a folyadék szimmetriájának tökéletlensége, ami kiváltja a kék foltot, lehet határtalanul kicsi is, csak ne legyen zérus. Egy folyadékban mindig vannak apró porszemek, buborékok - vagy akár csak molekulák erősebb hőrezgéssel -, s máris megzavarják a tökéletes szimmetriát. Ennyi elég. Egy határtalanul kicsiny ok nagymértékű változást eredményez, és az eredmény egy szimmetrikus minta.

      A természet szimmetriái minden méretben megtalálhatók, az atomnál kisebb részecskéktől az egész univerzumig. Sok molekula szimmetrikus. A metán molekulája tetraéder - olyan piramis, aminek minden oldala háromszög -, a középpontban egy szénatommal és négy hidrogénatommal a csúcsokban. A benzol szimmetriája egy szabályos hatszög hatszoros szimmetriája. A divatos molekula, a buckminsterfullerén csonkított ikozaéder alakú kalitka, hatvan szénatomból. (Az ikozaéder szabályos test, húsz háromszög alakú lappal; azért "csonkított", mert a sarkai le vannak vágva.) Szimmetriája figyelemre méltó stabilitást kölcsönöz neki, amely új lehetőségeket nyitott a szerves kémiában.

      A molekuláris tartománynál valamivel nagyobb méretekben a sejtstruktúra mutat szimmetriát; a sejtszaporodás lelke bizonyos értelemben gépészmérnöki jellegű. Minden élő sejt belsejében van egy meglehetősen alaktalan struktúra, amelyet centroszóma néven ismerünk, s amelyből hosszú csövecskék csíráznak széjjel, mint egy parányi tengeri sünből. Ezek a csövecskék a sejt "csontvázának" legfontosabb komponensei. A centroszómákat először 1887-ben fedezték fel. Fontos szerepet játszanak a sejtosztódás szervezésében. Bizonyos szempontból a centroszóma szerkezete bámulatra méltóan szimmetrikus. Belsejében két, centriólum nevű struktúra van, egymásra merőlegesen. Mindkettő henger alakú, huszonhét csövecskéből áll, ezek hosszában hármasával kapcsolódnak össze, a hármasok pedig tökéletes kilencszög-szimmetriában helyezkednek el. A külső csövecskék maguk is bámulatos szimmetriával rendelkeznek. Homorú csövek, amelyek teljesen szabályos sakktáblamintába rendeződött egységekből állnak, s az egységek két különböző proteint tartalmaznak, alfa- és bétatubulint. Egy nap meg fogjuk érteni, hogy a természet miért választja a szimmetrikus formákat. Mindenesetre elbűvölő látni az élő sejt szimmetrikus struktúráit.

      A vírusok gyakran szimmetrikusak, a legáltalánosabb két forma a csigavonal és az ikozaéder. A csigavonal például az influenzavírus alakja. A természet az ikozaédert kedveli a legjobban: példa rá a herpesz, a bárányhimlő, a szemölcs, a mandulagyulladás vírusa, és sok más. A mandulagyulladás vírusa újabb megdöbbentő példa a molekuláris mérnöki munka művészi voltára. 252 darab látszólag egyforma részegységből áll, ebből 21 darab van az ikozaéder minden háromszöglapján, amelyek úgy illeszkednek egymáshoz, mint a biliárdgolyók a játék kezdetén. (Az élek mentén elhelyezkedő részegységek két laphoz is tartoznak, a csúcsnál levők pedig háromhoz is. Ezért nem kell a 20x21 részegység, csak 252.)

      A természet nagyobb léptékben is mutat szimmetriát. Egy fejlődő békaembrió gömb alakú sejtként kezdi életét, ekkor szimmetriáját lépésenként veszti el, míg hólyagcsíra lesz belőle, amely apró sejtek ezreiből áll, de az egész alakzat formája megint csak gömb. Ekkor a hólyagcsíra bekebelezi önmagának egy részét a bélcsíraképződés folyamatában. Az összecsuklás korai fázisában az embriónak forgási szimmetriája van egy olyan tengely körül, arnelynek az elhelyezkedését gyakran a pete kezdeti helyzete határozza meg, néha meg a sperma behatolási pontja. Később ez a szimmetria megtörik, és csak egy tükörszimmetria marad, ami a kifejlett állat kétoldali szimmetriájához vezet.

      A vulkánok kúp-, a csillagok gömb-, a galaxisok spirális vagy ellipszis alakúak. Egyes kozmológusok szerint az univerzum maga gigantikus táguló gömbhöz hasonlít. Ha a természetet meg akarjuk érteni, meg kell értenünk ezeket az uralkodó mintákat is. Meg kellene magyarázni, miért olyan általánosak ezek, és miért mutatja a természetnek annyi különböző aspektusa ugyanazt a mintát. Az esőcseppek és a csillagok gömb alakúak, az örvények és a galaxisok spirálisak, a méhsejtek és az ördögszekér hatszögsorok. Kell lennie valamilyen általános elvnek ezek mögött a minták mögött; nem elég minden egyes példát csak önmagában tanulmányozni és saját belső mechanizmusa segítségével magyarázni.

      A szimmetriasértés épp egy ilyen elv.

      Ám ahhoz, hogy a szimmetria megtörjön, először jelen kell lennie. Első látásra úgy tűnik, hogy az egyik mintaproblémát másikkal helyettesítettük: mielőtt meg tudnánk magyarázni a körkörös gyűrűket a tavon, meg kellene magyaráznunk a tavat. Döntő különbség van azonban a gyűrűk és a tó között. A tó szimmetriája az egész felszínre kiterjed - ugyanis a felszínén minden pont egyenértékű minden ponttal -, így aztán nem ismerjük fel, hogy mintáról van szó. Ehelyett úgy tekintünk rá, mint valami szelíd egyformaságra. Nagyon könnyű megmagyarázni a szelíd egyformaságot: egy rendszerben akkor áll elő, mikor nincs ok rá, hogy komponensei különbözzenek egymástól. Ez, hogy úgy mondjuk, a természetben az alapértelmezés. (*)

      (*) A számítástechnikában használt fogalom. Addig van érvényben, amíg további utasítás nem érkezik. (A szaklektor megj.)
      Ha valami szimmetrikus, komponensei pótolhatók egymással, vagyis kicserélhetők. A négyzet egyik csúcsa megszólalásig ugyanúgy fest, mint a másik, tehát a csúcsokat felcserélhetjük anélkül, hogy a négyzet külalakja megváltozna. A metán egyik hidrogénatomja megszólalásig hasonlít a másikhoz, ezeket az atomokat tehát felcserélhetjük. Egy galaxisban az egyik csillagtartomány tökéletesen ugyanolyan, mint a másik, a két különböző spiráliskar részeit tehát jelentős változás nélkül felcserélhetjük.

      Röviden, a természet azért szimmetrikus, mert egy tömeggyártásra berendezett univerzumban élünk - ami bizonyos szemszögből nézve hasonlít egy tó felületéhez. Minden elektron pontosan ugyanolyan, mint bármelyik másik elektron, minden proton mása minden protonnak, az üres térnek minden tartománya egyenértékű minden egyéb tartománnyal, minden időpillanat pontosan ugyanolyan, mint bármely más időpillanat. És nemcsak a tér, az idő és az anyag szerkezete ugyanolyan mindenütt: az őket vezérlő törvények is. Albert Einstein ezeket az "invarianciaelveket" fizikájának sarokkövévé tette; arra alapozta érveléseit, hogy a téridőben nincs kitüntetett pont. Többek között ez vezette őt a relativitás elvéhez, az egyik legnagyobb fizikai felfedezéshez, amit valaha is tettek.

      Ez mind nagyon szép, ám egy mély paradoxonhoz vezet. Ha a fizika törvényei ugyanazok mindenütt és mindenhol, miért van egyáltalán az univerzumban "érdekes" struktúra? Nem homogénnek és változatlannak kellene lennie? Ha az univerzumban minden pont felcserélhető minden más ponttal, akkor ezek a pontok nem különböztethetők meg egymástól; és ugyanez állna minden időpontra is. De nem így van. S a problémát csak növeli a kozmológiai elmélet, miszerint az univerzum kezdetben egyetlen pont volt, amely milliárd évekkel ezelőtt kirobbant a semmiségből (ez volt a Big Bang, az ősrobbanás vagy Nagy Bumm). Az univerzum alakulásának pillanatában a térbeli pontok és az időpontok nemcsak hogy nem voltak megkülönböztethetőek, hanem azonosak is voltak. Akkor most miért különbözőek?

      A felelet az, hogy Curie-nek a fejezet elején említett elve hibás. Bár ez az elv körülbástyázza magát óvatos fenntartásokkal a tetszőlegesen csekély okokról, félrevezető abban a tekintetben, hogyan kellene viselkednie egy szimmetrikus rendszernek. Jóslata arról, hogy a kifejlett békák szükségszerűen kétoldalian szimmetrikusak (mert a békaembriók azok, és a Curie-elv szerint a szimmetria nem változhat), első ránézésre beválik; ám ugyanez az érvelés a hólyagcsíra-állapotra alkalmazva arra a következtetésre sarkallna, hogy a kifejlett békának gömb alakúnak kell lennie.

      Sokkal jobb elv az előbbi egyenes ellentéte, a spontán szimmetriasértés. Szimmetrikus okok gyakran keltenek kevésbé szimmetrikus hatást. A fejlődő univerzum megtörheti az ősrobbanás kezdeti szimmetriáit. A gömb alakú hólyagcsírából kifejlődhet egy kétoldalian szimmetrikus béka. A mandulagyulladás-vírus 252 darab egymással felcserélhető egysége ikozaéderbe rendeződhet - ahol bizonyos egységek speciális pontokat foglalhatnak el, például a csúcsokat; huszonhét közönséges csövecske összerendeződhet úgy, hogy egy centriólát alkosson.

      Szép, de miért éppen mintákat? Miért nem egy struktúrálatlan masszát, amiben minden szimmetria felborult? Az egyik vezérfonal, ami végighúzódik a szimmetriasértésről szóló minden tanulmányon: a matematika nem így dolgozik. A szimmetriák kelltlenül sérülnek meg. Tömeggyártásra berendezett univerzumunkban oly sok szimmetria hever szerteszét, hogy ritkán sérülhet meg mind. Egész sok tovább él. Még az éppen sérült szimmetriák is jelen vannak valamilyen értelemben, most azonban inkább potenciális, mint aktuális formában. Például amikor a mandulagyulladás-vírus elkezdett összekapcsolódni, akármelyikük kerülhetett volna egy csúcsba. Ebben az értelemben felcserélhetők egymással. Ám közülük valóban csak egy kerül oda, és ebben az értelemben a szimmetria megsérült: már nem teljesen felcserélhetők. De a szimmetria egy része megmarad, és egy ikozaédert látunk.

      Ebben a felfogásban a természetben megfigyelhető szimmetriák csak tömegtermeléses világegyetemünk nagy, univerzális szimmeriáinak letört darabjai. Potenciálisan az univerzum létezhetne a lehetséges állapotok gigászi szimmetrikus rendszerének bármelyikében, de aktuálisan egyet ki kell választania. Ekkor valamelyik meglévő szimmetriáját megfigyelhetetlen, potenciális szimmetriává kell tennie. De a meglévő szimmetriák némelyike megmaradhat, s ha megmarad, észlelünk is egy mintát. A természet szimmetrikus mintáinak legtöbbje ezen általános mechanizmus révén áll elő.

      Negatív módon ez rehabilitálja a Curie-elvet: ha megengedünk parányi aszimmetrikus zavarokat, amik instabilitást válthatnak ki egy teljesen szimmetrikus állapotban, akkor matematikai rendszerünk már nem tökéletesen szimmetrikus. A legfontosabb viszont az, hogy a legparányibb eltérés az okban teljes szimmetriavesztéshez vezethet az eredő hatásban - és mindig vannak parányi eltérések. Emiatt Curie elve használhatatlan a szimmmetriák előrejelzésére. Sokkal informatívabb egy valódi rendszert egy tökéletes szimmetriájú rendszerrel modellezni és emlékezetben tartani, hogy az ilyen rendszernek sok lehetséges állapota van, csak éppen közülük egyetlenegy valósul meg a gyakorlatban. Apró zavarok hatására a valódi rendszer az állapotoknak arról a skálájáról választ, amiről az idealizált tökéletes rendszer. Ma a szimmetrikus rendszerek viselkedésének megközelítései közül ez segít hozzá legjobban a mintaképződés általános elveinek megértéséhez.

      Speciálisan, a szimmetriasértés matematikája magában foglal első látásra ettől egészen független jelenségeket is. Például, gondoljunk az első fejezetben említett, homokdűnékben előforduló mintákra. A sivatag modellezhető, mint homokrészecskékből álló lapos síkfelület, a szél pedig, mint a síkon keresztülfolyó folyadék. Vizsgálva az ilyen rendszer szimmetriáit és azt, hogyan sérülhetnek meg ezek a szimmetriák, a megfigyelt dűneminták közül sok levezethető. Például, tegyük fel, hogy a szél stabilan ugyanabba az irányba fúj, tehát az egész rendszer invariáns a széllel párhuzamos eltolásokra. Az egyik módja ezen eltolási szimmetriák megsértésének a szélirányra merőleges párhuzamos csíkok periodikus mintájának a létrehozása. E mintát a geológusok transzverzális dűnéknek hívják. Ha a minta a csíkok irányában is periodikussá válik, még több szimmetria sérül, és a hullárnos barkán tűnik fel. És így tovább.

      De a szimmetriasértés matematikai elvei nemcsak a homokdűnékre alkalmazhatók. Működnek minden ilyen szimmetriájú rendszerben - ahol folyadék folyik egy sík felületen, mintákat alkotva. Alkalmazhatjuk ugyanazt az alapmodellt lejtős síkságon áthaladó iszapos folyóra, amely üledéket rak le, vagy egy sekély tengernek az árapállyal a tengerfenéken keresztül folyó vizére - ezek a geológiában fontos jelenségek, mert millió évekkel később a kialakuló minták a sziklába vésődtek, ami a tengerfenék homokjából, és az iszapos deltából lett. A lehetséges minták ugyanazok, mint a dűnék esetében.

      Vagy a folyadék lehet akár folyadékkristály is, ami a digitális órák kijelzőjén található, sok hosszú vékony molekulából áll, amelyek mágneses vagy elektromos mező hatására rendeződnek mintákba. Megint csak ugyanazokat a mintákat találjuk itt is. De az sem szükséges, hogy folyadékról legyen szó: lehet a mozgó közeg az állati szöveten áthatoló vegyület, amely genetikai utasításokat rak le a fejlődő állat bőrének mintáiról. Mármost a transzverzális dűnék analógiája a tigris vagy a zebra csíkozata, a barkánoké pedig a leopárd vagy a hiéna foltjai.

      Ugyanaz az absztrakt matematika; különböző fizikai és biológiai realizációk. A technológiaátvitelben a matematika az alapvető, de szellemi technológia, vagyis gondolkodásmód segítségével, nem pedig gépekkel. A szimmetriasértésnek ez az univerzális volta magyarázza, hogy élő és élettelen rendszerekben sok a közös minta. Maga az élet is szimmetriateremtő folyamat - az ismétlődés miatt; a biológiai univerzum éppúgy tömegtermelésre van berendezve, mint a fizikai, és a szerves világ sok olyan mintát mutat, amely a szervetlen világban is megtalálható. Az élő szervezetek legnyilvánvalóbb mintái a formaiak - ikozaéder alakú vírusok, a Nautilus spirális kagylója, a gazellák csigavonalú szarvai, a tengeri csillag, a medúza és a virágok figyelemre méltó forgási szimmetriái. De az élővilágban a szimmetria nemcsak a formákban, hanem a viselkedésben is megnyilvánul, a helyváltoztatás szimmetrikus ritmusain túl is, amiket korábban említettem. A Huron-tó halainak saját territóriumai ugyanolyan elrendezésűek, mint a lép sejtjei - és ugyanazon okból. A területek, akár a méhsejtek, nem lehetnek egy helyen - amit a tökéletes szimmetria eredményezne. Ehelyett olyan szorosan helyezkednek el egymás mellett, ahogy csak tudnak, egyik sem különbözik a másiktól, és a viselkedési feltételek már önmagukban megszabják a hatszögű szimmetriát. Ez hasonlít a matematikai technológiaátvitel egy másik megdöbbentő példájára, tudniillik a szimmetriasértési mechanizmus egy kristály atomjait szabályos rácsba rendezi - ez a fizikai folyamat végső soron alátámasztja Kepler elméletét a hópelyhekről.

      A természet rejtélyesebb szimmetriafajtáinak egyike a tükörszimmetria. A háromdimenziós tárgyak tükrözése nem valósítható meg térbeli átforgatással - nem tudjuk a ballábas cipőt átforgatni a jobblábasba. Ugyanakkor a fizikai törvények túlnyomórészt tükörszimmetrikusak, a kivételek bizonyos kölcsönhatások az atomnál kisebb részecskék közt. Így aztán, minden olyan molekula, amelyik nem tükörszimmetrikus, potenciálisan két különböző formában létezik - balkezes és jobbkezes formában, hogy szemléletesen fogalmazzunk. A Földön az élet a molekulák kétféle körüljárása közül ("balkezes" és "jobbkezes") mindig kiválasztott egy speciálisat: például az aminosavaknál. Honnan származik a földi életnek ez a speciális körüljárási rendszere? Akár véletlen is lehetne - valamilyen ősi véletlen alakulat, amit aztán a tömegtermelés felszaporított. Ha így van, elképzelhető, hogy egy távoli bolygón olyan lények élnek, akiknek a molekulái tükörképei a miénknek. Másfelől, lehet valamely mély oka az életnek arra, hogy mindig ugyanazt a körüljárást válassza. Jelenleg a fizikusok négy alapvető erőt különböztetnek meg a természetben: a gravitációt, az elektromágnesességet és az erős, valamint a gyenge nukleáris köllcsönhatásokat. Ismeretes, hogy az utóbbi gyenge erő megsérti a tükörszimmetriát - azaz másképp viselkedik egy fizikai probléma balkezes és jobbkezes változatában. Ahogy Wolfgang Pauli, az osztrák születésű fizikus kifejezte: "Az Isten enyhén balkezes." A tükörszimmetria eme sérülésének egyik figyelemre méltó következménye, hogy a molekuláknak és tükörképüknek az energiaszintjei nem azonosak. Igen kicsiny a különbség: egy bizonyos aminosav és tükörképe között kb. az egyik energiájának 1017-ed része. Ez csak látszólag kevés, de láttuk, hogy a szimmetriafelboruláshoz elég egy egészen csekély eltérés. Általában a molekulák alacsonyabb energiaszintjét kedveli jobban a természet. Erre az aminosavra nézve kiszámítható, hogy százezeréves periódus alatt 98% valószínűséggel az alacsonyabb energiájú forma válik dominánssá. És valóban, az élő szervezetekben ez az aminosav található.

      Az 5. fejezetben említettem a Maxwell-egyenletek különös szimmetriáját az elektromosságra és a mágnesességre nézve. Durván szólva, ha felcseréljük az elektromos mezőre vonatkozó szimbólumokat és a mágneses mező szimbólumait, újra ugyanazt a két egyenletet kapjuk. Ez a szimmetria indokolja, hogy Maxwell közös néven, elektromágneses erőtér elnevezéssel egyesítette az elektromos és a mágneses erőteret. Hasonló szimmetria van - bár nem tökéletes - a négy alapvető kölcsönhatásra vonatkozó egyenletekben, egy grandiózusabb egyesítést sugallva. Tudniillik, hogy mind a négy erő ugyanannak a dolognak más-más vonatkozása. A fizikusoknak már sikerült egyesíteniük a gyenge és az elektromágneses kölcsönhatást. A jelenleg uralkodó elméletek szerint mind a négy kölcsönhatás egyesíthető - vagyis szimmetrikus viszonyban áll - a korai univerzum igen nagy energiáin. A mi univerzumunkban ez a szimmetria megsérült. Röviden van egy matematikai univerzum, amelyben mind a négy alapvető kölcsönhatás tökéletesen szimmetrikus viszonyban áll - de mi nem abban az univerzumban lakunk.

      Ez azt jelenti, hogy Világegyetemünk más is lehetett volna; bármelyik másik világegyetem is lehetett volna, ami potenciálisan más szimmetriasérülés által jött volna létre. Ez csak egy feltevés. De ennél ármányosabb feltevés is létezik: ugyanaz a mintaalkotó alapstílus és ugyanaz a szimmetriatörési mechanizmus vezérli a kozmoszt, az atomot és minket.