Ian Stewart: A természet számai

9. FEJEZET

Cseppek, dinamika és százszorszépek


     A káosz megtanít minket arra, hogy egyszerű szabályoknak engedelmeskedő rendszerek is viselkedhetnek meglepően bonyolultan. Van itt megszívlelendő lecke mindenkinek - igazgatóknak, akik úgy képzelik, egy szorosan ellenőrzött társaság magától simán működik, politikusoknak, akik úgy gondolják, hogy ha egy problémáról törvényt hoznak, ezzel meg is szüntették és tudósoknak, akik azt képzelik, ha már modellt adtak egy rendszerre, művük teljes. Azonban a világ tökéletesen kaotikus sem lehet, különben nem tudnánk benne élni. Az egyik oka, hogy a káoszt nem fedezték föl előbb, éppen az, hogy világunk sok szempontból egyszerű. Az egyszerűség általában eltűnik, mikor a felszín mögé pillantunk, de a felszínen még egyszerű. Nyelvhasználatunk világunk leírására az alapvető egyszerűség létén nyugszik. Például, "a rókák nyúlra vadásznak" állításnak csak azért van értelme, mert megragadja az állatok közti interakciók egy általános mintáját. A rókák tényleg vadásznak nyúlra, abban az értelemben, hogy ha egy éhes róka meglát egy nyulat, valószínűleg utánafut.

      Ugyanakkor, ha jobban megnézzük a részleteket, rögtön olyan bonyolultakká válnak, hogy minden egyszerűség elvész. Például, hogy ezt a szimpla cselekedetet végrehajtsa, a rókának fel kell ismernie a nyúlban a nyulat. Aztán lábait mozgásba kell hoznia, hogy utánafusson. Hogy megértsük ezeket az eseményeket, meg kell értenünk magát a látást, a mintafelismerést az agyban és a mozgást. A 7. fejezetben már vizsgáltuk a harmadik tételt, a mozgást, és ott érintettük a fiziológia és neurológia bonyodalmait - a csontokat, az izmokat, az idegeket és az agyat. Az izmok tevékenysége a sejtbiológiától és a kémiától függ; a kémia a kvantummechanikától; a kvantummechanika pedig a sokat keresett "Mindenség Elméleté"-től (Theory of Everything) (*), ahol egyetlen egészben egyesül a fizika öszes törvénye. Ha a mozgás helyett azt az ösvényt követjük, amit a látás vagy a mintafelismerés jelöl ki, megint ugyanazt a mindenfelé szerteágazó komplexitást látjuk.

     (*) A modern természettudomány és a modern ismeretelmélet közös törekvése, hogy megtalálja azt a legátfogóbb elméletet, amely minden létező lényegét meg tudja ragadni. Ez természetesen nem azonos a világmindenség elméletével, márcsak azért sem, mert ez utóbbi a minden létezőnek végső soron otthont nyújtó "valami" absztrakciójának és nem a "lakók" absztrakciójának az elmélete. E törekvések részben a matematika (differenciálgeometria, topológia stb.), részben a kozmológia spekulációiból nőttek ki. Más kérdés, hogy milyen sikerekben reménykedhetünk. (A szaklektor megj.)
      A feladat reménytelennek tűnik - kivéve, ha az egyszerűségek, amelyekből kiindultunk, valóban léteznek, így vagy használja a természet ok és okozat eme gigászian komplex hálózatát, vagy úgy rendezi a dolgokat, hogy a bonyodalmak nagy része nem fontos. A legutóbbi időkig a tudományban a kutatás természetes útja mind mélyebbre és mélyebbre vezetett a komplexitás fájában - amit Jack Cohen és én a "redukcionista rémálmának" neveztünk. Sokat tanultunk a természetről ezen az úton - mindig azt nézve, hogy tudjuk a magunk céljaira fordítani. De szem elől tévesztettük a nagy egyszerűségeket, mert már nem is láttuk őket egyszerűnek. Nemrég egy ettől radikálisan különböző megközelítés kapott hangot, komplexitáselmélet néven. Központi tétele, hogy a nagyfokú egyszerűsítések nagyszámú komponens összetett kölcsönhatásából jönnek létre.

      Ebben az utolsó fejezetben három példát szeretnék mutatni a bonyolultságból kialakuló egyszerűségre. Nem a komplexitáselmélet teoretikusainak írásaiból vettem őket; ehelyett a modern alkalmazott matematika egyik legfontosabb irányzatából választottam, a dinamikus rendszerek elméletéből. Két okom volt erre. Az egyik: meg szeretném mutatni, hogy a komplexitáselmélet központi filozófiája az egész tudományban mindenütt függetlenül fel-felbukkan, anélkül, hogy bármilyen direkt mozgalom elősegítené. Csendes forradalom indult el, mint egy kis zümmögő forrás, és a buborékok már kezdik áttörni a felszínt. A másik ok, hogy mindegyik példa egy-egy régi-régi rejtvény megoldását mutatja be a matematikai mintákról a természet világában - és ezáltal a természetnek olyan jellegzetességeire nyitja rá a szemünket, amelyeket másképp nem vettünk volna észre. A három téma: a vízcseppek alakja, az állatpopulációk dinamikus viselkedése és végül a különös minták a virágszirom numerológiájában, amelynek megoldását a nyitó fejezetben ígértem.

      Először térjünk vissza a csapból lassan csepegő víz kérdéséhez. Ez egyszerű mindennapi jelenség - mégis a káoszról tanulhattunk a példáján. Most a komplexitásról fogunk tanulni - ugyanezen példa kapcsán.

      Most nem az egymás utáni cseppek közt eltelt időre figyelünk. Ehelyett megnézzük a csaptól elváló csepp alakját.

      Ez aztán igazán egyszerű, nem? Nyilván a klasszikus "könnycsepp" alak, inkább, mint egy ebihal; gömbölyű a fejénél, és bekanyarodik, hogy hegyes farokban végződjön. Végül is ezért hívjuk könnycsepp alaknak.

      Mégsem egyszerű. Sőt, nem is igaz.

      Mikor először hallottam erről a problémáról, főleg az lepett meg, hogy a választ nem találták meg már régóta. Szó szerint könyvtárpolcok kilométereit tölti meg a folyadékok mozgásának tanulmányozása. Valaki csak vette ezek után a fáradságot, hogy megnézze, milyen alakú a vízcsepp?! Mégis, a korai irodalom egyetlen korrekt ábrát tartalmaz, több mint száz éve Lord Rayleigh fizikustól, s az is olyan parányi, hogy alig lehet észrevenni. 1990-ben Howell Peregrine matematikus és munkatársai a bristoli egyetemről lefényképezték a folyamatot, és rájöttek, hogy sokkal bonyolultabb - de sokkal érdekesebb is -, mint akárki hitte volna.

      Az elváló csepp kialakulása egy kiduzzadó csepp-pel kezdődik, amely a csap vége alkotta felületről lóg. Dereka lesz, amely elkeskenyedik, és a cseppecske alsó része, úgy tűnik, a klasszikus könnycsepp alakot veszi fel. Ám ahelyett, hogy lecsípődne és rövid, hegyes farkot alkotna, a derék hosszú, vékony, hengerszerű fonállá nyúlik, aminek végéről egy majdnem gömb alahú csepp lóg. Ekkor a fonál elkezd vékonyodni, éppen ott, ahol a gömbbel találkozik, míg egyetlen pontot alakít ki. Ebben a fázisban egy kötőtűt látunk, ami egy narancsot éppen hogy érint. Majd a narancs leesik a tűről, s enyhén pulzál esés közben. De ez csak a sztori első fele. Ekkor a tű hegyes vége gömbölyödni kezd, és enyhe hullámok haladnak benne fölfelé, a gyökeréhez, s így olyan lesz, mint egy gyöngyfüzér, a gyöngyök pedig egyre kisebbek és kisebbek. Végül, a függő vízfonál a felső végénél egyetlen ponttá keskenyedik, és ez is leválik. Ahogy esik, felső vége kigömbölyödik, és hullámok bonyolult sorozata halad a hossza mentén.

4. ábra
A leeső vízcsepp alakjai, miközben leválik.

Remélem, az olvasó is olyan csodálatosnak tartja ezt, mint én. Sose hittem volna, hogy a hulló vízcseppek ilyen serények.

      Ezek a megfigyelések megmagyarázzák, miért nem vizsgálta senki korábban a problémát matematikai részletességgel. Túl nehéz. Amikor a csepp leválik, van egy szingularitás a problémában - ezen a helyen a matematika nagyon csúnya szokott lenni. A szingularitás a "tű" hegye. De miért van ott szingularitás egyáltalán? 1994-ben J. Eggers és T. F. Dupont megmutatta, hogy a forgatókönyv a folyadékmozgás egyenleteinek következménye. Számítógépen szimulálták az egyenleteket, és megkapták ugyanazt a forgatókönyvet, mint Peregrine.

      Brilliáns munka volt. Valamilyen szempontból mégsem adja meg a teljes választ a kérdésemre. Megnyugtató, hogy a folyadékáramlás egyenletei előre jelezték az egész forgatókönyvet, de ez önmagában nem segít, hogy megértsem: miért ez a forgatókönyv, és nem más. Nagy különbség, ha csak kiszámítjuk a természet számait, vagy hogy törjük rajta a fejünket - ahogy Majikthise és Vroomfondel, mikor kijött: "negyvenkettő".

      A további bepillantás a leváló csepp mechanizmusába X. D. Shi, Michael Brenner és Sidney Nagel (University of Chicago) munkája révén vált lehetővé. A megközelítés jellege már Peregririe munkájában is hasonló volt: speciális fajta, "hasonlósági megoldás" nevű megoldás a folyadékáramlási egyenletekre. Az ilyen megoldásnak van egy bizonyos szimmetriája, amely matematikailag kezelhetővé teszi: struktúráját rövid idő elteltével megismétli kisebb méretekben. Shi csoportja továbbment, s megvizsgálta, hogyan függ a leváló csepp alakja a folyadék viszkozitásától. Víz és glicerin keverékeivel kísérleteztek, hogy különböző viszkozitásokat kapjanak. Számítógépes szimulációt is végeztek, és továbbfejlesztették az elméleti megközelítést is a hasonlósági megoldásokkal. Azt kapták, hogy viszkózabb folyadékokra a fonál második szakasza előbb megjelenik, mint ahogy a szingularitás kialakul, és a csepp leválik. Ekkor inkább valami olyat kapunk, mint egy narancs, felfüggesztve egy húrral egy kötőtű hegyére. Még nagyobb viszkozitásokra van egy harmadik szakasz - egy narancs, felfüggesztve egy gyapjúszállal egy húrra, az pedig egy kötőtű hegyére. S ahogy a viszkozitás nő, az elvékonyodások száma határtalanul növekszik - legalábbis ha eltekintünk az anyag atomi struktúrájából következő korlátoktól.

      Csodálatos!

      A második példa a populációk dinamikájáról szól. Ennek a kifejezésnek a használata a matematikai modellezésnek egy régi hagyományát tükrözi, ahol az egymással kölcsönhatásban levő lények populációjának változását differenciálegyenletekkel reprezentálják. Példa volt erre az én vaddisznó/szarvasgomba rendszerem. Ugyanakkor nem teljes az ilyen modell biológiai realitása - és nem is a szereplő élőlények megválasztása miatt. A valóságban a populációk méretét megszabó mechanizmus nem egy Newton mozgástörvényével rokon "populációs törvény". Nagyon sok más hatás is érvényesül, például véletlenszerűek (ki tudja ásni a vaddisznó a gombát, vagy egy szikla útját állja?) vagy az egyenletekbe be nem vett változások (egyes nőstény vaddisznók több malacot ellenek, mint a többi).

      1994-ben Jackie McGlade, David Rand és Howard Wilson (University of Warvick) élvezetes tanulmányt írtak, amely foglalkozik a biológiai szempontból reálisabb modellek és a hagyományos egyenletek viszonyával. Egy, a komplexitás-elméletben szokásos stratégiát követ: olyan számítógépes szimulációt folytat, ahol "ágensek" nagy tömege lép egymással kölcsönhatásba biológiai szempontból kézenfekvő (bár erősen leegyszerűsített) szabályok szerint, és valamilyen nagyvonalú mintára próbál következtetni a szimulációból. Ebben az esetben a szimulációt a "sejtautomata" módszerével hajtották végre, amit úgy képzelhetünk, mint valamilyen számítógépes játékot. McGlade, Rand és Wilson, mivel hiányzott belőlük az én nagy szimpátiám a disznók iránt, a hagyományosabb róka-nyúl esetet vizsgálták. A számítógép képernyője négyzetekre oszlik, és minden négyzetnek van színe - mondjuk, a vörös a rókát, a szürke a nyulat, a zöld a füvet, a fekete a csupasz sziklát jelenti. Felállítanak egy szabályrendszert is, hogy a főbb működő biológiai hatásokat modellezzék. Példák ilyen szabályokra:

      * Ha egy nyúl egy fű mellett van, rálép és megeszi.

      * Ha egy róka egy nyúl mellett van, a pozíciójára lép, és megeszi.

      * A játék minden fázisában egy nyúl új nyulakat szül valamilyen valószínűséggel.

      * Ha egy róka bizonyos számú lépés eltelte után még nem evett, elpusztul.

      McGlade csoportja persze ennél bonyolultabb játékot játszott, de ebből a példából talán képet lehet alkotni róla. A játék minden lépésében a gép veszi az aktuális konfigurációt (nyulak, rókák, fű, szikla), és a szabályokat alkalmazva generálja az új konfigurációt - feldobja a számítógép "kockáját", ha véletlen választásokra van szükség. A folyamat több ezer lépésig folytatódik, egy "mesterséges ökológia" ez, amely az életjátékot játssza egy képernyőn. Ez a mesterséges ökológia hasonlít egy dinamikus rendszerhez, amennyiben ismételten ugyanazt a szabályegyüttest alkalmazza, de véletlen effektusokat is tartalmaz, ezért a modell egészen más matematikai kategóriába kerül: sztochasztikus sejtautomaták - véletlen számítógépes játékok.

      Éppen mert az ökológia mesterséges, előfordulhat, hogy olyan kísérleteket végzünk, amelyek lehetetlenek vagy túl költségesek az ökológiai megvalósításhoz. Vizsgálhatjuk, hogyan változik az időben a nyúlpopuláció egy adott területen, hogy megkapjuk a pontos számokat. Ez az, amiben McGlade csoportja drámai és meglepő felfedezést tett. Azt vették észre, hogy ha egy területet túlságosan kicsinek választunk, véletlenszerű képet kapunk. Például, mi történik egyetlen négyzeten? Ez túlságosan bonyolult. Másrészt, ha túl nagy területet nézünk, csak egy kiátlagolt populációstatisztikát látunk, semmi mást. A kettő között valami kevésbé unalmasat kapunk. Kifejlesztettek hát egy technikát, hogy megtalálják azt a területméretet, ami a legtöbb érdekes információt szolgáltatja. Aztán egy ilyen méretű területet megfigyeltek, és feljegyezték a változó nyúlpopulációt. A káoszelméletben kidolgozott módszerekkel azt nézték meg, vajon az adott sorozat determinisztikus vagy véletlenszerű, és ha determinisztikusnak találták, megvizsgálták az attraktorát. Ez elég furcsa ötletnek látszik, hiszen, amennyire tudjuk, a szimuláció szabályaiba nagyfokú véletlenszerűség épül, mindenesetre ők ezt csinálták.

      Amit találtak, igen meglepő volt. A nyúlpopuláció dinamikájának 94%-a ebben a köztes nagyságrendben úgy tekinthető, mint determinisztikus mozgás egy kaotikus attraktoron a négydimenziós térben. Röviden, egy differenciálegyenlet mindössze négy változóban már megragadja a nyúlpopuláció dinamikájának legfontosabb jellemzőit, összesen 6%-os hibával - a számítógépes játékmodell jóval nagyobb bonyolultsága ellenére. Ez a felfedezés azt mutatja, hogy bizonyos kevésváltozós modellek reálisabbak lehetnek, mint ahogy azt eddig sok biológus feltételezte. Ennél mélyebb következmény, hogy a komplex ökológiai játékok finom struktúrájából adódhatnak egyszerű jellemzések nagyméretű rendszerekre.

      Harmadik és egyben utolsó példám a természet matematikai szabályosságára, amely inkább komplexitásból, mint "a beépített szabályokból" következik, a virágok szirmainak száma. Az első fejezetben említettem, hogy a virágok többségénél a szirmok száma a 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 sorozat egy tagja. A konzervatív biológusok úgy vélik, hogy a virágok génjei tartalmaznak minden ilyen információt, és másról nincs is szó. Azonban, éppen mivel az élő szervezetekben bonyolult a DNS-láncnak az a része, amely meghatározza, hogy mely proteinekből épüljenek fel, és így tovább, a gének mégsem határoznak meg mindent. S még ha meghatároznak is, nem közvetlenül. Például a gének megmondják a növényeknek, hogyan készítsenek klorofillt, de nem mondják meg, milyen színűt. Ha klorofill, akkor zöld - nincs választás. Így az élőlények néhány morfológiai jellemzője genetikai eredetű, mások a fizika, kémia és a növekedésdinamika következményei. A megkülönböztetésre az egyik fogódzó, hogy a genetikai hatások rugalmassága óriási, míg a fizika, kémia és növekedésdinamika matematikai szabályosságokat produkál.

      A növényeknél előforduló számok - nemcsak szirmok számai, hanem mindenféle más jellemzőké is - matematikai szabályosságot mutatnak. Az ún. Fibonacci-sorozat elejét alkotják, ebben a sorozatban minden szám az előző kettőnek az összege. De nem csak a szirmok esetében találunk Fibonacci- számokat. Ha megnézünk egy óriási napraforgót, virágocskák egy figyelemre méltó mintáját látjuk rajta - apró virágok, ezek amelyekből a végén mag lesz - a fejben. A virágocskák két, egymást átmetsző spirálcsaládba rendeződnek, az egyik az óramutató járásával egyező, a másik ellenkező irányba. Egyes fajtáknál az első fajta spirálok száma 34, a másik fajtáé 55. Ez két egymás utáni Fibonacci-szám. A pontos számok a napraforgó fajtájától függnek, de gyakran találunk 34-et és 55-öt vagy 55-öt és 89-et, akár 89-et és 144-et, a következő Fibonacci-számot. Az ananásznak 8 sor pikkelye - gyémánt alakú dísze van -, ezek a sorok bal fele lejtenek, 13 pedig jobb fele.

      Leonardo Fibonacci 1200 körül fedezte fel sorozatát egy nyúlpopuláció növekedésével kapcsolatos probléma vizsgálatakor. Nem annyira realisztikus modell volt ez, mint az "életjáték"-modell, amit fent tárgyaltam, de nagyon érdekes részeit jelentette a matematikának, mert ez volt az első ilyenfajta modell és mert a matematikusok a Fibonacci-számokat elragadónak és önmagukért szépnek találják. Az erre a fejezetre szánt fő kérdés: ha a genetika akármilyen számú szirommal is elláthatja a virágokat, vagy az ananászt akármilyen számú pikkellyel, akkor miért tapasztaljuk a Fibonacci- számoknak ezt a túlsúlyát?

      A válasz feltehetően az, hogy a számokat egy olyan mechanizmus hozza létre, amely inkább matematikai, mint tetszőleges genetikai utasítás. A legesélyesebb egyfajta dinamikus feltétel a növényfejlődésre, ami természetes módon vezet a Fibonacci-számokhoz. Persze a jelenségek félrevezetőek is lehetnek, lehet az egész is gének által vezérelt folyamat. Ha így van, szeretném tudni, hogyan kerültek a Fibonacci-számok a DNS-kódba, és miért éppen ezek. Lehetséges, hogy az evolúció eleve a természetes módon előadódó matematikai mintákkal kezdte, és a természetes kiválasztódás segítségével hangolta be őket. Úgy sejtem, sok ilyen történt - a tigris csíkjai, a lepke szárnyai. Ez megmagyarázná, miért vannak a genetikusok meggyőződve arról, hogy a minták genetikai eredetűek, míg a matematikusok az ellenkezőjéről.

      A levelek, szirmok és a növények hasonló részeinek elrendeződéséről hatalmas irodalommal rendelkezünk. Azonban a korai megközelítések pusztán leíróak - nem magyarázzák meg, hogyan függnek össze a számok a növény fejlődésével, csak osztályozzák az elrendeződések geometriáját. A legdrámaibb betekintést egy meglehetősen friss munka adja, Stéphane Douady és Yves Couder francia matematikai fizikusoktól. Felállítottak egy elméletet a növényfejlődés dinamikájáról, és számítógépes modelleket, valamint laboratóriumi kísérleteket használtak, hogy megmutassák: az elmélet megmagyarázza a Fibonacci-mintát.

5. ábra
Pontok sorakoznak egymás után, 137,5°-os szögben egymáshoz képest egy szorosan megcsavart spirál mentén (amelyet nem ábrázoltunk), és természetes módon lazán megcsavart spirálok két családjára oszlanak szét, amelyek szabad szemmel jól láthatók. Itt 8 spirál látszik az egyik, 13 a másik irányban - ezek egymást követő Pibonacci-számok.

     Az alapgondolat régi. Ha megnézzük egy fejlődő növény friss hajtásának a csúcsát, már láthatjuk azokat az apró darabkákat, amelyekből a növény összes fő tartozéka - levelek, szirmok, csészelevelek, virágocskák és minden más - kifejlődik majd. A csúcs közepén van egy kör alakú szövetterület, minden különösebb jelleg nélkül, neve csúcs (apex). A csúcs körül egyenként apró kidudorodások alakulnak ki, nevük primordium. Minden primordium elvándorol a csúcstól - pontosabban a csúcs növekedés közben eltávolodik a kidudorodástól és végül a kidudorodás levéllé, szirommá vagy hasonlóvá fejlődik. Továbbá, ezeknek a tartozékoknak az elrendeződése eldől már a kezdetben, amikor a primordium kialakul. Nincs más hátra tehát, mint megmagyarázni, hogy magukban a primordiumokban miért látunk spirálokat és Fibonacci-számokat.

      Az első, amit meg kell értenünk, hogy a legszembeszökőbb spirálok nem alapvetőek. A legfontosabb spirál úgy keletkezik, hogy vesszük a primordiumokat megjelenési sorrendjükben. Az előbb megjelent primordiumok távolabbra vándorolnak, így megjelenési sorrendjüket megállapíthatjuk a csúcstól való távolságuk alapján. Azt találjuk, hogy az egymás utáni primordiumok elég ritkásan helyezkednek el egy szorosra tekert spirál mentén, aminek neve generatív spirál. Az emberi szem azért szúrja ki a Fibonacci-spirálokat, mert olyan primordiumokból alakultak ki, amelyek egymás mellett jelennek meg a térben. De csak az időbeli sorozat érdekes.

      A lényeges mennyiségi jellemző a szög az egymás utáni primordiumok közt. Képzeljük el, hogy felrajzoljuk a vonalakat az egymás utáni primordiumok középpontjaiból az apex középpontjához. Az egymás utáni szögek majdnem egyenlőek; közös értéküket divergenciaszögnek nevezzük. Más szóval a primordiumok egyenletesen helyezkednek el - ha a szögeket tekintjük - a generatív spirál mentén. Továbbá a szögek divergenciája általában nagyon közel van a 137,5°-hoz, amit először Auguste Bravais kristallográfus és testvére, Louis hangsúlyoztak. Hogy lássuk, miért jelentős ez a szám, vegyünk két egymás utáni számot a Fibonacci-sorozatban: például a 34-et és az 55-öt. Mármost vegyük a megfelelő törtet, 34/55. Szorozzuk meg 360°-kal, és 222,5-öt kapunk. Mivel ez több 180°-nál, ellenkező irányban kell felmérnünk, vagy ki kell vonnunk 360-ból. Az eredmény 137,5°, a Bravais- testvérek által megfigyelt érték.

      Az egymás utáni Fibonacci-számok aránya egyre közelebb kerül 0,618034-hez. Például 34/55=0,6182, ami már igen közeli. A határérték (négyzetgyök alatt 5-1)/2, az ún. aranymetszési szám, gyakran jelölik a görög (fi) betűvel. A természet hagyott egy rejtvényt a matematikus detektíveknek: a szög az egymás utáni primordiumok között az aranyszög 360(1-fi)°=137,5°. 1907-ben G. Van Iterson felkapta ezt a rejtvényt, és kiszámította, mi történik, ha egy szorosan összecsavart spirálra rátervezünk egymás utáni pontokat, 137,5°-os szögben. Ahogy a szomszédos pontok egymás után sorakoznak, az emberi szem kiválasztja egymáson áthatoló spirálok két családját - az egyiket az óramutató járása szerint, a másikat fordítva. A Fibonacci-számok és az aranymetszési szám közti összefüggés miatt a spirálok száma két családban két egymás utáni Fibonacci-szám. Hogy melyik, azt a spirál szorossága dönti el. Hogy magyarázza ez a szirmok számát? Alapjában, vegyünk ugyanis egy szirmot a spirál széléről, éppen az egyik családból.

      Mindenesetre, csak azt kell megmagyaráznunk, miért zárnak be az egymás utáni primordiumok aranyszöget, ebből minden más következik.

      Douady és Couder dinamikus magyarázatot talált az aranyszögre. Ötleteiket H. Vogel 1979-es fontos meglátására építették. Az ő elmélete is leíró - inkább az elrendezés geometriájára koncentrál, mint a dinamikára, ami azt okozta. Számszerű kísérleteket végzett, amelyek erősen azt sugallták, hogy akkor rendezzük el a primordiumokat a leghatékonyabban, ha az egymás utáni primordiumok a generatív spirál mentén helyezkednek el aranyszögben. Például tegyük fel, hogy aranyszög helyett 90°-os szöggel próbálkozunk, ami osztója 360°-nak. Akkor az egymás utáni primordiumok négy sugár irányában helyezkednek el, amelyek keresztet alkotnak. Valójában, ha a divergenciaszög egész számú többszöröse a 360°-nak, akkor mindig sugár irányú vonalakat kapunk. Tehát nagy szakadások vannak a vonalak között, és nem rendeztünk elég hatékonyan. A konklúzió: hogy hatékonyan töltsük be a teret, olyan divergenciaszögre van szükség, ami 360°-nak irracionális többszöröse - hányadosuk nem két egész szám hányadosa. De melyik irracionális szám? A számok vagy racionálisak, vagy nem - amilyen az egyenlőség George Orwell Állatfarmjában -, egyes számok irracionálisabbak, mint a többi. A számelmélet mesterei hoszú ideje tudják, hogy a legirracionálisabb szám az aranymetszési szám. "Rosszul approximálható" racionális számokkal, és ha mérjük, mennyire rosszul, hát ez a legrosszabbul. Ebből, ha az okoskodást a feje tetejére állítjuk, következik, hogy az aranyszögben való elrendezés a leghatékonyabb. Vogel számítógépes kísérletei ezt erősítik meg, de nem bizonyítják.

      A legfigyelemreméltóbb, amit Douady és Couder tett, hogy az aranyszöget az egyszerű dinamika következményeként kapták meg, nem pedig közvetlenül a hatékony elrendezésből. Feltételezték, hogy bizonyos egymás utáni elemek - amelyek a primordiumokat képviselik - egyenlő időintervallumokban keletkéznek valahol egy kis kör peremén, ami a csúcsot képviseli, és hogy ezek az elemek aztán elvándorolnak sugár irányban egy bizonyos kezdősebességgel. Ráadásul taszítják egymást - mint elektromos töltések vagy azonos polaritású mágnesek. Ez biztosítja, hogy a sugár irányú mozgás fennmarad, és hogy minden új elem olyan távol jelenik meg a közvetlen követőjétől, amennyire csak lehet. Fogadhatnánk, hogy egy ilyen rendszer teljesíteni fogja Vogel kritériumát a hatékony elrendezésről, és azt várhatjuk, hogy az aranyszög magától előbukkan. És valóban előbukkan.

      Douady és Couder egy kísérletet végzett el - nem növényekkel, hanem egy kör alakú edény segítségével, ami tele volt szilikonolajjal, s ezt függőleges mágneses mezőbe helyezték. Kicsi csöppeket csöpögtettek mágneses folyadékból szabályos időintervallumokban az edény közepére. A cseppek polarizálódtak a mágneses mezőtől és taszították egymást. Erősítést kaptak sugárirányból úgy, hogy erősebbé tették a mágneses mezőt az edény szélén, mint a közepén. A megjelenő minták attól függtek, hogy a cseppek közti intervallumok milyenek voltak. De az igazán kiugró mintában az egymás utáni cseppek spirál alakban helyezkednek el, olyan divergenciaszögben, ami az aranyszöghöz van közel, s összefűzött spirálok napraforgómagszerű mintáját adják. Douady és Couder ugyancsak végzett komputeres számításokat, hasonló eredménnyel. Mind a két módszerrel azt találták, hogy a divergenciaszög a cseppek közti intervallumoktól valamilyen tekergőző görbék komplikált elágazási mintája szerint függ. A görbe minden két tekergőzés közti szakasza megfelel spirálszámok egy speciális párjának. A főág nagyon közel van a 137,5°-os divergenciaszöghöz, és a mentén minden lehetséges párt megtalálunk, ami egymás utáni Fibonacci-számokból képezhető az eredeti sorrendben. Az ágak közti szakadások "bifurkációkat" képviselnek, ahol a dinamika jelentős változásokon megy át.

      Persze, senki sem állítja, hogy a botanika annyira matematikai jellegű, mint ez a modell. Speciálisan, sok növényben a primordiumok előfordulásának aránya meg tud nőni vagy le tud csökkenni. Valójában a változások a morfológiában - például, hogy egy adott primordiumból levél lesz vagy szirom - gyakran járnak együtt az ilyen variációkkal. Így, amit a gének csinálnak, hat arra, hogy milyen lesz a primordiumok megjelenésének időbelisége. De a növényeknek nincs szükségük arra, hogy a génjeik megmondják nekik, hogyan helyezzék el a primordiumaikat: ezt megteszi a dinamika. Partnerkapcsolat ez a fizika és a genetika között, és nekünk mindkettőre szükségünk van ahhoz, hogy megértsük, miről van szó.

      Három példa, a tudománynak igen különböző területeiről. Mindhárom, a maga módján, csak felnyitja a szemet. Mindegyik egy-egy esettanulmány a természet számainak eredete körül - mély matematikai szabályosságok ezek, amelyeket a természet formáiban megtalálhatunk. És van egy közös fonál, egy mélyebb tanulság bennük. Nem az, hogy a természet bonyolult. Nem, a természet, a maga ravasz módján, egyszerű. Csakhogy éppen ezek az egyszerűségek nem mutatkoznak meg nekünk közvetlenül. Ehelyett a természet rejtvényeket hagy a matematikus-detektíveknek, hogy megfejtsék azokat. Élvezetes játék ez, a nézőnek is. És teljesen ellenállhatatlan egy matematikus Sherlock Holmes számára.