Ian Stewart: A természet számai

1. FEJEZET

A természet rendje


Minták világában élünk.

A csillagok minden éjjel körök mentén mozognak az égen. Az évszakok ciklikusan váltakoznak, évenkénti szakaszokban. Nincs két pontosan megegyező hópehely, de mindegyik hatszögszimmetriát mutat. A tigrisek és zebrák csíkosak, a leopárdokat és a hiénákat foltok díszítik. Bonyolult hullámsorok haladnak az óceánokon, hozzájuk nagyon hasonló homokdűnesorok vonulnak a sivatagokon át. Színes szivárványok ékesítik az eget, és téli éjszakákon néha fényes udvar övezi a Holdat. A felhőkből majdnem gömb alakú vízcseppek hullanak.

      Az emberi értelem és kultúra egy formális gondolati rendszert dolgozott ki a minták felismerésére, osztályozására és hasznosítására. Ez a matematika. Segítségével szervezve és rendszerezve gondolatainkat, rájöttünk egy nagy titokra: a természet mintái nemcsak arra valók, hogy csodáljuk őket, hanem egyben kulcsot is adnak a természeti folyamatokat megszabó törvények megfejtéséhez. Négyszáz éve Johannes Kepler német csillagász kis könyvet írt "A hatszögletű hópehely" címmel, újévi ajándékul egyik "szponzorának". Ebben azt fejtegette, hogy a hópelyhek bizonyára parányi, azonos egységek egymás mellé kerülésével keletkeznek. Tette ezt jóval azelőtt, hogy az anyag atomos szerkezetének elmélete általánosan elfogadottá vált volna. Kepler nem végzett kísérleteket; egyszerűen csak mélyen belegondolt az addig ismert tények egy-egy morzsájába. Legfőbb érve a hópelyhek hatszögű szimmetriája volt, ami a szabályos elrendeződés természetes következménye. Ha sok egyforma érmét rakunk az asztalra, és olyan szorosan próbáljuk elhelyezni őket, amennyire csak lehet, méhsejt- elrendezést kapunk, amelyben minden sejtet - kivéve a szélsőket - hat másik vesz körül, hatszög alakban.

      A csillagok szabályos éjszakai mozgása is kulcs, ezúttal ahhoz, hogy a Föld forog. A hullámok és a dűnék kulcsot adnak a víz, homok és levegő áramlásának törvényeihez. A tigris csíkjai és a hiéna foltjai a biológiai növekedés és forma matematikai szabályosságáról tanúskodnak. A szivárványok a fény szóródásáról regélnek, s közvetve megerősítik, hogy a vízcseppek gömbök. A holdudvar a jégkristályok alakjának titkához vezet el. Sok szépség van a természet kódjaiban, amelyeket akár matematikai tudás nélkül felismerhetünk. Azokban a matematikai történetekben is van szépség, amelyek a mintákból indulnak ki, és a bennük rejlő törvényekhez, szabályszerűségekhez jutnak el, de ez másfajta szépség, inkább ideák szépsége, mint dolgoké. A matematika úgy viszonyul a természethez, mint Sherlock Holmes a bizonyítékhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy detektív meg tudja állapítani a tulajdonos korát, foglalkozását és anyagi helyzetét. Barátja, Dr. Watson, akinek érzékenysége az efféle dolgok iránt kisebb, csak ámuldozik, míg a Mester előadja kifogástalan logikai levezetését. Ha hatszögű hópelyheket adnak neki, a matematikus le tudja vezetni belőlük a jégkristályok atomjainak geometriai felépítését. Ha ön Watson, ez csak bámulatra méltó trükk, de szeretném önnek megmutatni, milyen érzés Sherlock Holmesnak lenni.

      A minták nemcsak szépek, hasznosak is. Mikor megismertünk egy háttérmintát, hirtelen kiütköznek a kivételek. A sivatag csendes, de az oroszlán lopakodik. A körpályán haladó csillagok alkotta háttérhez képest felhívja magára a figyelmet néhány csillag, amely egészen másképp mozog. A görögök planétáknak nevezték őket, ez "vándor"-t jelent, s mi is ezt a szót használjuk. A bolygómozgás sokkal később vált érthetővé, mint a csillagok éjszakai körmozgása. Az egyik nehézség az, hogy a Naprendszeren belül vagyunk, vele együtt mozgunk, és a kívülről egyszerűnek látszó dolgok gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak belülről. A bolygók a tömegvonzás és a mozgás kapcsolatának megfejtését adták.

      Bizonyos újfajta mintákat csak most ismerünk meg. Csak az utóbbi harminc évben vettek tudomást két mintáról, amelyeket ma fraktáloknak, ill. káosznak nevezünk. A fraktálok geometriai alakzatok, jellegzetességük, hogy bármilyen mérettartományban megtaláljuk ismétlődésüket (e fejezet végén még szólok róluk). A káosz látszólagos véletlenszerűség, amelynek eredete tökéletesen meghatározott (ezzel részletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A természet több milliárd évvel ezelőtt is "tudott" ezekről a mintákról, mert például a felhő fraktál és az időjárás kaotikus. Az emberiségnek azonban beletelt egy kis időbe, míg mindezt felfogta.

      A legegyszerűbb matematikai objektumok a számok, és a legegyszerűbb természeti minták számszerűek. A Hold fázisai teljes ciklust alkotnak újholdtól teliholdig és vissza, huszonnyolc naponként. Az év majdnem pontosan háromszázhatvanöt napból áll. Az embernek két lába van, a macskának négy, a rovaroknak hat, és a pókoknak nyolc. A tengeri csillagnak öt karja van (vagy tíz, tizenegy, esetleg tizenhét, fajtától függően). A lóhere általában három levelű: a babona, mely szerint a négylevelű lóhere szerencsét hoz, azt a mély meggyőződést tükrözi, hogy a minta alóli kivételek speciális jelentőséggel bírnak. Valóban különös minta mutatkozik a virágszirmoknál. Majdnem minden virág szirmainak száma megtalálható a következő furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Például, a liliom szirmainak száma 3, a boglárkáé 5, sok szarkalábé 8, a gólyahíré 13, az őszirózsáé 21 és a legtöbb százszorszépé 34, 55 vagy 89. Nem találunk semmilyen más számot ilyen gyakorisággal. Ezekhez a számokhoz meghatározott minta rendelhető, és némi keresgélés után rájövünk: minden szám az előző kettő összege. Például 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a számokat találjuk, ha megszámoljuk a napraforgó spirális minta szerint sorjázó magvait. Ezt a speciális mintát sok évszázaddal ezelőtt észrevették, és azóta alaposan tanulmányozzák, de valóban kielégítő magyarázatot senki sem adott 1993-ig. Erről majd a 9. fejezetben olvashatnak.

      A numerológia a legkönnyebb - és egyben a legveszélyesebb - módszer a minták keresésére. Könnyű, mert bárki megpróbálkozhat vele, és veszélyes, ugyanezért. A nehézség abban rejlik, hogy a jelentős numerikus mintákat megkülönböztessük az esetlegesektől. Íme egy példa. Kepler lelkesedett a természetben fellelhető matematikai mintákért, és életének nagy részét arra áldozta, hogy a bolygók viselleedésében ilyeneket találjon. Egyszerű és takaros kis elméletet dolgozott ki arra, hogy pontosan hat bolygó van (az ő idejében csak a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz volt ismert). Ugyancsak felfedezett egy igen furcsa mintát a bolygók ún. orbitális periódusa - az az időtartam, amíg megkerülik a Napot - és a Naptól való távolságuk közti viszonyra. Itt emlékeztetek arra, hogy egy szám négyzete az a szám, amit úgy kapok, hogy önmagával megszorzom: például, a 4 négyzete: 4x4=16. Hasonlóan, a köb úgy kapható, hogy a számot kétszer is megszorozzuk önmagával: például, 4 köbe: 4x4x4=64. Kepler úgy találta, hogy ha akármelyik bolygó Naptól való távolságának köbét elosztjuk orbitális periódusának négyzetével, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Ez nem volt egy túlságosan "elegáns" szám, de mind a hat bolygóra ugyanaz adódott.

      Melyik a jelentősebb e numerológiai észrevételek közül? Az utókor ítélete szerint a második, a bonyolult és látszólag légből kapott számítás a négyzetekkel és köbökkel. Ez a numerikus minta volt az egyik mérdföldkő Isaac Newton gravitációelmélete felé, amely aztán mindenfajta rejtélyt megoldott a csillagok és bolygók mozgásával kapcsolatban. Ezzel szemben Kepler csinos, takaros elméletét a bolygók számáról nyomtalanul eltemette az idő. Először is, nem állja meg a helyét, ugyanis ma már kilenc planétát ismerünk, nem hatot. Talán több is van, még távolabb a Naptól, elég kicsi és gyenge fényű, hogy ne lehessen felfedezni. Fontosabb azonban, hogy ma már nem is várunk semmilyen csinos, takaros elméletet a bolygókról. Úgy képzeljük, hogy a Naprendszer egy, a Napot körülvevő gázfelhőből sűrűsödött össze, a bolygók számát pedig feltehetően az határozza meg, hogy ebben a gázfelhőben mekkora volt az anyag mennyisége, milyen volt az eloszlása, s hogy milyen sebességgel és mely irányokba mozgott. A lehetséges gázfelhők egyike nyolc, másika tizenegy bolygót adna ki; a szám esetleges, függ a gázfelhő kezdeti feltételeitől, nem pedig univerzális, ami egy általános természeti törvény tükre.

      Az igazi probléma a numerikus mintakereséssel az, hogy minden univerzális szám keresésekor esetleges számok millióit vizsgálja meg. És nem is mindig nyilvánvaló, melyik melyik. Például, van három csillag, körülbelül egyenlő távolságban egy egyenes mentén az Orion csillagkép övében. Kulcs ez valamilyen természeti törvényhez? Vagy vegyünk egy hasonló példát. Io, Európa és Ganümédesz - a Jupiter nagyobb holdjai közül három. A bolygót 1,77, 3,55, ill. 7,16 nap alatt kerülik meg. Mindegyik szám majdnem pontosan kétszerese az előzőnek. Jelentős minta ez? Három csillag egy sorban, a pozíció értelmében; három mellékbolygó "egy sorban", az orbitális periódus értelmében. Melyik minta fontos a kettő közül, ha egyáltalán elmondhatjuk valamelyikről? Most csak gondolkozzanak el ezen, és a következő fejezetben majd visszatérünk rá.

      A numerikus mintákon kívül vannak geometrikus minták is. Ennek a könyvnek valójában A természet számai és formái címet kellet volna adnom. Két mentségem van, hogy mégsem ezt választottam. Először is, a cím jobban hangzik "és formái" nélkül. Másodszor, a matematikai formák mindig redukálhatók számokra - a számítógép is így kezeli a grafikai képet. Minden apró pontját úgy tárolja és kezeli, akár egy számpárt: milyen messze van a pont a képernyő jobb szélétől és milyen messze az aljától. Ez a két szám a pont koordinátái. Egy általános forma: pontok összessége, és így előállítható számpárok listájaként. Ugyanakkor persze gyakran jobb, ha a formákra mint formákra gondolunk, mert így hatékony és intuitív vizuális képességeinket használhatjuk, míg a komplikált számlisták inkább gyengébb és fáradságosabban működtethető szimbolikus képességeinket veszik igénybe.

      A matematikusokat érdeklő főbb formák a legutóbbi időkig nagyon egyszerűek voltak: háromszögek, négyzetek, ötszögek, hatszögek, körök, ellipszisek, spirálok, kockák, gömbök, kúpok, és így tovább. Ezek a formák mind megtalálhatók a természetben, bár nem mind egyformán megszokott vagy kézenfekvő. A szivárvány például körökből áll, minden szín külön kört alkot. Általában nem látjuk az egész kört, csak egy ívét; de nagy magasságból megfigyelt szivárvány teljes körökből is állhat. Körök láthatók a tavacskák fodrozódásakor, az emberi szemben és a pillangók szárnyain.

      Ha már fodrokról beszéltünk, a folyadékok áramlása kimeríthetetlen tárháza a természeti mintáknak. Sokfajta hullám van - a part felé párhuzamos sorokban áradó, a mozgó hajó mögött V alakban szétterjedő, a tengermélyi földrengés körül szétsugárzó. A legtöbb hullám társas lény, de egyesek - így például a dagálykor a folyón végigvonuló, mivel a bejövő dagály energiája szűk csatornába szorul - egyedül járnak. Vannak tajtékzó spirális örvények és apró örvényecskék. S létezik a turbulens áramlás látszólag rendezetlen, véletlen kimerevülése, a matematika és fizika egyik nagy rejtélye. A légkörben is akadnak hasonló minták, a legdrámaibb a hurrikán roppant spirálja, ahogy a Föld körül keringő űrhajós látja.

      Előfordulnak hullámminták a szárazföldön is. A Földön a legmeghökkentőbben matematikai jellegű tájak az Arábiai-sivatag és a Szahara legnagyobb ergjeiben, azaz homokóceánjaiban találhatók. Még akkor is alakulnak itt homokdűnék, amikor a szél mindig ugyanabba az irányba fúj. A legegyszerűbb mintát az ún. transzverzális dűnék alkotják, amelyek - akár az óceán hullámai - párhuzamos egyenes sorokba rendeződnek, merőlegesen az uralkodó szélirányra. Néha maguk a sorok is hullámosak, ilyenkor barkánnak nevezzük őket; máskor megszámlálhatatlan pajzs alakú barkán dűnére törnek szét. Ha a homok kissé nedves, és van valami növényzet, ami összetartja, parabola aiakú dűnéket találunk, U alakúakat, kerek végükkel a szél irányában. Ezek olykor nyalábokban jelennek meg, és egy gereblye fogaihoz hasonlítanak. Ha a szélirány változó, más formák is lehetségesek. Például csillag alakú dűnék csoportjai alakulhatnak ki, mindegyik több szabálytalan karral, egy központi csúcsból sugarasan szétágazva. Ezek a csillagok véletlenszerű foltmintákba rendeződnek.

      A természet vonzódása a csíkokhoz és foltokhoz tapasztalható a tigrisek és leopárdok, a zebrák és zsiráfok esetében is. Az állatok és növények formái és mintái a matematikus hajlandóságúak kedvenc vadászterülete. Például miért olyan sok kagyló alakja spirál? Miért szimmetrikus a tengeri csillag karjainak elrendezése? Miért vesz fel sok vírus szabályos geometriai formát, melyek közül a legmeglepőbb az ikozaéder - ami szabályos merev test, húsz egyenlő oldalú háromszöglappal? Miért mutat oly sok állat tükrös szimmetriát? Miért tökéletlen ez a szimmetria oly gyaleran, miért tűnik el, amikor belemegyünk a részletekbe, lásd az emberi szív elhelyezkedését vagy a különbséget az emberi agy két féltekéje között? Miért vagyunk túlnyomórészt jobbkezesek, de nem mindannyian?

      A formai mintákon kívül mozdulatminták is léteznek. Az ember lába járás közben szabályos ritmusban érinti a földet: bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. Egy négylábú lény, például a ló bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus minta szerint halad.

      A helyváltoztatásban uralkodó minta fellelhető a rovarok futásában, a madarak röptében, a medúza lüktetésében és a hal, a féreg, a kígyó hullámzó mozgásában. Az egyik sivatagi csörgőkígyófajta úgy mozog, mint egyetlen tekercs rugó, testét S alakú görbék sorozataként tolja előre, hogy a lehető legkisebb felületen érintkezzék a forró homokkal. És a parányi baktériumok is mikroszkopikus csavarszerű farkuk segítségével haladnak előre, amelyek folyamatosan forognak, mint a propeller.

      Végül van a természeti mintáknak egy csoportja, amelyet csak nemrég ismert fel az ember, ugyancsak megdöbbenve. Ezek a minták ott találhatók, ahol mindent véletlenszerűnek és alaktalannak hittünk. Nézzük például egy felhő alakját. Igaz, a meteorológusok a felhőket morfológiai csoportokba osztják - cirrusz, sztrátusz, kumulusz stb. -, de ezek nagyon általános alaktípusok, nem felismerhető geometriai formák a hagyományos matematikai értelemben. Nem látunk gömb alalcú felhőket, sem kocka vagy ikozaéder alakúakat. A felhők gomolygó, formátlan, zavaros halmok. Mégis van egy megkülönböztető minta a felhők számára, amely szorosan összefügg a felhőképződés fizikájával. Ez pedig lényegében a következő: ha megnézel egy felhőt, még nem tudhatod, mekkora. Ha megnézel egy elefántot, meg tudod mondani, körülbelül mekkora: egy ház nagyságú elefánt összerogyna a saját súlya alatt, egy egér nagyságúnak pedig használhatatlanul vastag lenne a lába. A felhők egyáltalán nem ilyenek. Egy nagy felhőt távolról nézve és egy kis felhőt közelről akár össze is cserélhetnénk. Persze különböző alakúak, de alakjuk nem függ szisztematikusan a nagyságtól.

      Ezt a "skálafüggetlenséget" kísérletileg igazolták olyan felhőalakzatokra, amelyeknek a mérete egy ezres faktoron belül tetszőlegesen variálódott. Az egy kilométer hosszú felhők éppen úgy festenek, mint az ezer kilométer hosszúságban elnyúlók. Ez a minta megint kulcs! A felhők akkor keletkeznek, amikor a víz "halmazállapot-változáson" megy át párából folyadékba. A fizikusok felfedezték, hogy ugyanaz a skálainvariancia jár minden halmazállapot-változással. Valóban, ez a statisztikus önhasonlóság, ahogyan nevezik, sok más természeti formára érvényes. Egy svéd kollégám, aki az olajmezők geológiájával foglalkozik, előszeretettel mutogat egy vetített képet, amin egyik barátja áll egy hajón, hanyagul egy sziklapárkányra támaszkodva, amely körülbelül a hónaljáig ér. A fotó teljesen meggyőző, a hajó nyilván egy kb. két méter mély sziklás vízmosás szélén horgonyzott le. Valójában a sziklapárkány egy távoli fjord oldala, néhány ezer méter magasan. A fotós számára a fő gond az volt, hogy mind az előtérbeli figurát, mind a távoli tájat meggyőző képpé komponálja.

      Senki sem próbálta volna meg eljátszani ezt a trükköt egy elefánttal. Ugyanakkor játszhatjuk ezt a természet sok formájával, hegyekkel, folyamrendszerekkel, fákkal és valószínűleg az egész univerzumban is, mivel az anyag úgy oszlik el, hogy erre a játékra alkalmas struktúrát alkot. A matematikus Benoit Mandelbrot által híressé tett kifejezéssel, ezek mind fraktálok. A szabálytalanság új tudománya - a fraktálgeometria - az utóbbi tizenöt évben alakult ki. A fraktálokat létrehozó dinamikus folyamatot, amely káosz néven ismert, részletesen tárgyalom majd.

      Az új matematikai elméletek kifejlődésének köszönhetően a természet eddig megfoghatatlan mintái is kezdik elárulni titkukat. Látszik már mind a gyakorlati, mind az intellektuális hatás. Friss értésünket a természet rejtett szabályosságairól fel tudjuk használni arra, hogy mesterséges bolygókat indítsunk új célok felé korábban elképzelhetetlenül kevés üzemanyaggal, csökkentsük a mozdonykerék vagy más forgó alkatrészek kopását, javítsuk a pacemakerek hatékonyságát, jobban működtessünk egy erdő- vagy halgazdaságot, sőt jobb mosogatógépeket gyártsunk. De a legfontosabb, hogy alaposabban ismerjük meg a világot, amelyben élünk, és többet tudjunk a benne elfoglalt helyünkről.