1. FEJEZET
A természet rendje
Minták világában élünk.
A csillagok minden éjjel körök mentén mozognak az égen. Az évszakok
ciklikusan váltakoznak, évenkénti szakaszokban. Nincs két pontosan megegyező
hópehely, de mindegyik hatszögszimmetriát mutat. A tigrisek és zebrák
csíkosak, a leopárdokat és a hiénákat foltok díszítik. Bonyolult hullámsorok
haladnak az óceánokon, hozzájuk nagyon hasonló homokdűnesorok vonulnak a
sivatagokon át. Színes szivárványok ékesítik az eget, és téli éjszakákon
néha fényes udvar övezi a Holdat. A felhőkből majdnem gömb alakú vízcseppek
hullanak.
Az emberi értelem és kultúra egy formális gondolati rendszert dolgozott
ki a minták felismerésére, osztályozására és hasznosítására. Ez a
matematika. Segítségével szervezve és rendszerezve gondolatainkat, rájöttünk
egy nagy titokra: a természet mintái nemcsak arra valók, hogy csodáljuk
őket, hanem egyben kulcsot is adnak a természeti folyamatokat megszabó
törvények megfejtéséhez. Négyszáz éve Johannes Kepler német csillagász kis
könyvet írt "A hatszögletű hópehely" címmel, újévi ajándékul egyik
"szponzorának". Ebben azt fejtegette, hogy a hópelyhek bizonyára parányi,
azonos egységek egymás mellé kerülésével keletkeznek. Tette ezt jóval
azelőtt, hogy az anyag atomos szerkezetének elmélete általánosan elfogadottá
vált volna. Kepler nem végzett kísérleteket; egyszerűen csak mélyen
belegondolt az addig ismert tények egy-egy morzsájába. Legfőbb érve a
hópelyhek hatszögű szimmetriája volt, ami a szabályos elrendeződés
természetes következménye. Ha sok egyforma érmét rakunk az asztalra, és
olyan szorosan próbáljuk elhelyezni őket, amennyire csak lehet, méhsejt-
elrendezést kapunk, amelyben minden sejtet - kivéve a szélsőket - hat másik
vesz körül, hatszög alakban.
A csillagok szabályos éjszakai mozgása is kulcs, ezúttal ahhoz, hogy a
Föld forog. A hullámok és a dűnék kulcsot adnak a víz, homok és levegő
áramlásának törvényeihez. A tigris csíkjai és a hiéna foltjai a biológiai
növekedés és forma matematikai szabályosságáról tanúskodnak. A szivárványok
a fény szóródásáról regélnek, s közvetve megerősítik, hogy a vízcseppek
gömbök. A holdudvar a jégkristályok alakjának titkához vezet el. Sok szépség
van a természet kódjaiban, amelyeket akár matematikai tudás nélkül
felismerhetünk. Azokban a matematikai történetekben is van szépség, amelyek
a mintákból indulnak ki, és a bennük rejlő törvényekhez,
szabályszerűségekhez jutnak el, de ez másfajta szépség, inkább ideák
szépsége, mint dolgoké. A matematika úgy viszonyul a természethez, mint
Sherlock Holmes a bizonyítékhoz. Ha egy szivarcsikket adnak neki, a nagy
detektív meg tudja állapítani a tulajdonos korát, foglalkozását és anyagi
helyzetét. Barátja, Dr. Watson, akinek érzékenysége az efféle dolgok iránt
kisebb, csak ámuldozik, míg a Mester előadja kifogástalan logikai
levezetését. Ha hatszögű hópelyheket adnak neki, a matematikus le tudja
vezetni belőlük a jégkristályok atomjainak geometriai felépítését. Ha ön
Watson, ez csak bámulatra méltó trükk, de szeretném önnek megmutatni, milyen
érzés Sherlock Holmesnak lenni.
A minták nemcsak szépek, hasznosak is. Mikor megismertünk egy
háttérmintát, hirtelen kiütköznek a kivételek. A sivatag csendes, de az
oroszlán lopakodik. A körpályán haladó csillagok alkotta háttérhez képest
felhívja magára a figyelmet néhány csillag, amely egészen másképp mozog. A
görögök planétáknak nevezték őket, ez "vándor"-t jelent, s mi is ezt a szót
használjuk. A bolygómozgás sokkal később vált érthetővé, mint a csillagok
éjszakai körmozgása. Az egyik nehézség az, hogy a Naprendszeren belül
vagyunk, vele együtt mozgunk, és a kívülről egyszerűnek látszó dolgok
gyakran sokkal bonyolultabbaknak bizonyulnak belülről. A bolygók a
tömegvonzás és a mozgás kapcsolatának megfejtését adták.
Bizonyos újfajta mintákat csak most ismerünk meg. Csak az utóbbi harminc
évben vettek tudomást két mintáról, amelyeket ma fraktáloknak, ill. káosznak
nevezünk. A fraktálok geometriai alakzatok, jellegzetességük, hogy bármilyen
mérettartományban megtaláljuk ismétlődésüket (e fejezet végén még szólok
róluk). A káosz látszólagos véletlenszerűség, amelynek eredete tökéletesen
meghatározott (ezzel részletesebben foglalkozom a 8. fejezetben). A
természet több milliárd évvel ezelőtt is "tudott" ezekről a mintákról, mert
például a felhő fraktál és az időjárás kaotikus. Az emberiségnek azonban
beletelt egy kis időbe, míg mindezt felfogta.
A legegyszerűbb matematikai objektumok a számok, és a legegyszerűbb
természeti minták számszerűek. A Hold fázisai teljes ciklust alkotnak
újholdtól teliholdig és vissza, huszonnyolc naponként. Az év majdnem
pontosan háromszázhatvanöt napból áll. Az embernek két lába van, a macskának
négy, a rovaroknak hat, és a pókoknak nyolc. A tengeri csillagnak öt karja
van (vagy tíz, tizenegy, esetleg tizenhét, fajtától függően). A lóhere
általában három levelű: a babona, mely szerint a négylevelű lóhere
szerencsét hoz, azt a mély meggyőződést tükrözi, hogy a minta alóli
kivételek speciális jelentőséggel bírnak. Valóban különös minta mutatkozik a
virágszirmoknál. Majdnem minden virág szirmainak száma megtalálható a
következő furcsa sorozatban: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Például, a liliom
szirmainak száma 3, a boglárkáé 5, sok szarkalábé 8, a gólyahíré 13, az
őszirózsáé 21 és a legtöbb százszorszépé 34, 55 vagy 89. Nem találunk
semmilyen más számot ilyen gyakorisággal. Ezekhez a számokhoz meghatározott
minta rendelhető, és némi keresgélés után rájövünk: minden szám az előző
kettő összege. Például 3+5=8, 5+8=13 stb. Ugyanezeket a számokat találjuk,
ha megszámoljuk a napraforgó spirális minta szerint sorjázó magvait. Ezt a
speciális mintát sok évszázaddal ezelőtt észrevették, és azóta alaposan
tanulmányozzák, de valóban kielégítő magyarázatot senki sem adott 1993-ig.
Erről majd a 9. fejezetben olvashatnak.
A numerológia a legkönnyebb - és egyben a legveszélyesebb - módszer a
minták keresésére. Könnyű, mert bárki megpróbálkozhat vele, és veszélyes,
ugyanezért. A nehézség abban rejlik, hogy a jelentős numerikus mintákat
megkülönböztessük az esetlegesektől. Íme egy példa. Kepler lelkesedett a
természetben fellelhető matematikai mintákért, és életének nagy részét arra
áldozta, hogy a bolygók viselleedésében ilyeneket találjon. Egyszerű és
takaros kis elméletet dolgozott ki arra, hogy pontosan hat bolygó van (az ő
idejében csak a Merkúr, a Vénusz, a Föld, a Mars, a Jupiter és a Szaturnusz
volt ismert). Ugyancsak felfedezett egy igen furcsa mintát a bolygók ún.
orbitális periódusa - az az időtartam, amíg megkerülik a Napot - és a Naptól
való távolságuk közti viszonyra. Itt emlékeztetek arra, hogy egy szám
négyzete az a szám, amit úgy kapok, hogy önmagával megszorzom: például, a 4
négyzete: 4x4=16. Hasonlóan, a köb úgy kapható, hogy a számot kétszer is
megszorozzuk önmagával: például, 4 köbe: 4x4x4=64. Kepler úgy találta, hogy
ha akármelyik bolygó Naptól való távolságának köbét elosztjuk orbitális
periódusának négyzetével, mindig ugyanazt a számot kapjuk. Ez nem volt egy
túlságosan "elegáns" szám, de mind a hat bolygóra ugyanaz adódott.
Melyik a jelentősebb e numerológiai észrevételek közül? Az utókor ítélete
szerint a második, a bonyolult és látszólag légből kapott számítás a
négyzetekkel és köbökkel. Ez a numerikus minta volt az egyik mérdföldkő
Isaac Newton gravitációelmélete felé, amely aztán mindenfajta rejtélyt
megoldott a csillagok és bolygók mozgásával kapcsolatban. Ezzel szemben
Kepler csinos, takaros elméletét a bolygók számáról nyomtalanul eltemette az
idő. Először is, nem állja meg a helyét, ugyanis ma már kilenc planétát
ismerünk, nem hatot. Talán több is van, még távolabb a Naptól, elég kicsi és
gyenge fényű, hogy ne lehessen felfedezni. Fontosabb azonban, hogy ma már
nem is várunk semmilyen csinos, takaros elméletet a bolygókról. Úgy
képzeljük, hogy a Naprendszer egy, a Napot körülvevő gázfelhőből sűrűsödött
össze, a bolygók számát pedig feltehetően az határozza meg, hogy ebben a
gázfelhőben mekkora volt az anyag mennyisége, milyen volt az eloszlása, s
hogy milyen sebességgel és mely irányokba mozgott. A lehetséges gázfelhők
egyike nyolc, másika tizenegy bolygót adna ki; a szám esetleges, függ a
gázfelhő kezdeti feltételeitől, nem pedig univerzális, ami egy általános
természeti törvény tükre.
Az igazi probléma a numerikus mintakereséssel az, hogy minden univerzális
szám keresésekor esetleges számok millióit vizsgálja meg. És nem is mindig
nyilvánvaló, melyik melyik. Például, van három csillag, körülbelül egyenlő
távolságban egy egyenes mentén az Orion csillagkép övében. Kulcs ez
valamilyen természeti törvényhez? Vagy vegyünk egy hasonló példát. Io,
Európa és Ganümédesz - a Jupiter nagyobb holdjai közül három. A bolygót
1,77, 3,55, ill. 7,16 nap alatt kerülik meg. Mindegyik szám majdnem pontosan
kétszerese az előzőnek. Jelentős minta ez? Három csillag egy sorban, a
pozíció értelmében; három mellékbolygó "egy sorban", az orbitális periódus
értelmében. Melyik minta fontos a kettő közül, ha egyáltalán elmondhatjuk
valamelyikről? Most csak gondolkozzanak el ezen, és a következő fejezetben
majd visszatérünk rá.
A numerikus mintákon kívül vannak geometrikus minták is. Ennek a könyvnek
valójában A természet számai és formái címet kellet volna adnom. Két
mentségem van, hogy mégsem ezt választottam. Először is, a cím jobban
hangzik "és formái" nélkül. Másodszor, a matematikai formák mindig
redukálhatók számokra - a számítógép is így kezeli a grafikai képet. Minden
apró pontját úgy tárolja és kezeli, akár egy számpárt: milyen messze van a
pont a képernyő jobb szélétől és milyen messze az aljától. Ez a két szám a
pont koordinátái. Egy általános forma: pontok összessége, és így
előállítható számpárok listájaként. Ugyanakkor persze gyakran jobb, ha a
formákra mint formákra gondolunk, mert így hatékony és intuitív vizuális
képességeinket használhatjuk, míg a komplikált számlisták inkább gyengébb és
fáradságosabban működtethető szimbolikus képességeinket veszik igénybe.
A matematikusokat érdeklő főbb formák a legutóbbi időkig nagyon
egyszerűek voltak: háromszögek, négyzetek, ötszögek, hatszögek, körök,
ellipszisek, spirálok, kockák, gömbök, kúpok, és így tovább. Ezek a formák
mind megtalálhatók a természetben, bár nem mind egyformán megszokott vagy
kézenfekvő. A szivárvány például körökből áll, minden szín külön kört alkot.
Általában nem látjuk az egész kört, csak egy ívét; de nagy magasságból
megfigyelt szivárvány teljes körökből is állhat. Körök láthatók a tavacskák
fodrozódásakor, az emberi szemben és a pillangók szárnyain.
Ha már fodrokról beszéltünk, a folyadékok áramlása kimeríthetetlen
tárháza a természeti mintáknak. Sokfajta hullám van - a part felé párhuzamos
sorokban áradó, a mozgó hajó mögött V alakban szétterjedő, a tengermélyi
földrengés körül szétsugárzó. A legtöbb hullám társas lény, de egyesek - így
például a dagálykor a folyón végigvonuló, mivel a bejövő dagály energiája
szűk csatornába szorul - egyedül járnak. Vannak tajtékzó spirális örvények
és apró örvényecskék. S létezik a turbulens áramlás látszólag rendezetlen,
véletlen kimerevülése, a matematika és fizika egyik nagy rejtélye. A
légkörben is akadnak hasonló minták, a legdrámaibb a hurrikán roppant
spirálja, ahogy a Föld körül keringő űrhajós látja.
Előfordulnak hullámminták a szárazföldön is. A Földön a
legmeghökkentőbben matematikai jellegű tájak az Arábiai-sivatag és a Szahara
legnagyobb ergjeiben, azaz homokóceánjaiban találhatók. Még akkor is
alakulnak itt homokdűnék, amikor a szél mindig ugyanabba az irányba fúj. A
legegyszerűbb mintát az ún. transzverzális dűnék alkotják, amelyek - akár az
óceán hullámai - párhuzamos egyenes sorokba rendeződnek, merőlegesen az
uralkodó szélirányra. Néha maguk a sorok is hullámosak, ilyenkor barkánnak
nevezzük őket; máskor megszámlálhatatlan pajzs alakú barkán dűnére törnek
szét. Ha a homok kissé nedves, és van valami növényzet, ami összetartja,
parabola aiakú dűnéket találunk, U alakúakat, kerek végükkel a szél
irányában. Ezek olykor nyalábokban jelennek meg, és egy gereblye fogaihoz
hasonlítanak. Ha a szélirány változó, más formák is lehetségesek. Például
csillag alakú dűnék csoportjai alakulhatnak ki, mindegyik több szabálytalan
karral, egy központi csúcsból sugarasan szétágazva. Ezek a csillagok
véletlenszerű foltmintákba rendeződnek.
A természet vonzódása a csíkokhoz és foltokhoz tapasztalható a tigrisek
és leopárdok, a zebrák és zsiráfok esetében is. Az állatok és növények
formái és mintái a matematikus hajlandóságúak kedvenc vadászterülete.
Például miért olyan sok kagyló alakja spirál? Miért szimmetrikus a tengeri
csillag karjainak elrendezése? Miért vesz fel sok vírus szabályos geometriai
formát, melyek közül a legmeglepőbb az ikozaéder - ami szabályos merev test,
húsz egyenlő oldalú háromszöglappal? Miért mutat oly sok állat tükrös
szimmetriát? Miért tökéletlen ez a szimmetria oly gyaleran, miért tűnik el,
amikor belemegyünk a részletekbe, lásd az emberi szív elhelyezkedését vagy a
különbséget az emberi agy két féltekéje között? Miért vagyunk túlnyomórészt
jobbkezesek, de nem mindannyian?
A formai mintákon kívül mozdulatminták is léteznek. Az ember lába járás
közben szabályos ritmusban érinti a földet: bal-jobb-bal-jobb-bal-jobb. Egy
négylábú lény, például a ló bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus minta
szerint halad.
A helyváltoztatásban uralkodó minta fellelhető a rovarok futásában, a
madarak röptében, a medúza lüktetésében és a hal, a féreg, a kígyó hullámzó
mozgásában. Az egyik sivatagi csörgőkígyófajta úgy mozog, mint egyetlen
tekercs rugó, testét S alakú görbék sorozataként tolja előre, hogy a lehető
legkisebb felületen érintkezzék a forró homokkal. És a parányi baktériumok
is mikroszkopikus csavarszerű farkuk segítségével haladnak előre, amelyek
folyamatosan forognak, mint a propeller.
Végül van a természeti mintáknak egy csoportja, amelyet csak nemrég
ismert fel az ember, ugyancsak megdöbbenve. Ezek a minták ott találhatók,
ahol mindent véletlenszerűnek és alaktalannak hittünk. Nézzük például egy
felhő alakját. Igaz, a meteorológusok a felhőket morfológiai csoportokba
osztják - cirrusz, sztrátusz, kumulusz stb. -, de ezek nagyon általános
alaktípusok, nem felismerhető geometriai formák a hagyományos matematikai
értelemben. Nem látunk gömb alalcú felhőket, sem kocka vagy ikozaéder
alakúakat. A felhők gomolygó, formátlan, zavaros halmok. Mégis van egy
megkülönböztető minta a felhők számára, amely szorosan összefügg a
felhőképződés fizikájával. Ez pedig lényegében a következő: ha megnézel egy
felhőt, még nem tudhatod, mekkora. Ha megnézel egy elefántot, meg tudod
mondani, körülbelül mekkora: egy ház nagyságú elefánt összerogyna a saját
súlya alatt, egy egér nagyságúnak pedig használhatatlanul vastag lenne a
lába. A felhők egyáltalán nem ilyenek. Egy nagy felhőt távolról nézve és egy
kis felhőt közelről akár össze is cserélhetnénk. Persze különböző alakúak,
de alakjuk nem függ szisztematikusan a nagyságtól.
Ezt a "skálafüggetlenséget" kísérletileg igazolták olyan
felhőalakzatokra, amelyeknek a mérete egy ezres faktoron belül tetszőlegesen
variálódott. Az egy kilométer hosszú felhők éppen úgy festenek, mint az ezer
kilométer hosszúságban elnyúlók. Ez a minta megint kulcs! A felhők akkor
keletkeznek, amikor a víz "halmazállapot-változáson" megy át párából
folyadékba. A fizikusok felfedezték, hogy ugyanaz a skálainvariancia jár
minden halmazállapot-változással. Valóban, ez a statisztikus önhasonlóság,
ahogyan nevezik, sok más természeti formára érvényes. Egy svéd kollégám, aki
az olajmezők geológiájával foglalkozik, előszeretettel mutogat egy vetített
képet, amin egyik barátja áll egy hajón, hanyagul egy sziklapárkányra
támaszkodva, amely körülbelül a hónaljáig ér. A fotó teljesen meggyőző, a
hajó nyilván egy kb. két méter mély sziklás vízmosás szélén horgonyzott le.
Valójában a sziklapárkány egy távoli fjord oldala, néhány ezer méter
magasan. A fotós számára a fő gond az volt, hogy mind az előtérbeli figurát,
mind a távoli tájat meggyőző képpé komponálja.
Senki sem próbálta volna meg eljátszani ezt a trükköt egy elefánttal.
Ugyanakkor játszhatjuk ezt a természet sok formájával, hegyekkel,
folyamrendszerekkel, fákkal és valószínűleg az egész univerzumban is, mivel
az anyag úgy oszlik el, hogy erre a játékra alkalmas struktúrát alkot. A
matematikus Benoit Mandelbrot által híressé tett kifejezéssel, ezek mind
fraktálok. A szabálytalanság új tudománya - a fraktálgeometria - az utóbbi
tizenöt évben alakult ki. A fraktálokat létrehozó dinamikus folyamatot,
amely káosz néven ismert, részletesen tárgyalom majd.
Az új matematikai elméletek kifejlődésének köszönhetően a természet eddig
megfoghatatlan mintái is kezdik elárulni titkukat. Látszik már mind a
gyakorlati, mind az intellektuális hatás. Friss értésünket a természet
rejtett szabályosságairól fel tudjuk használni arra, hogy mesterséges
bolygókat indítsunk új célok felé korábban elképzelhetetlenül kevés
üzemanyaggal, csökkentsük a mozdonykerék vagy más forgó alkatrészek kopását,
javítsuk a pacemakerek hatékonyságát, jobban működtessünk egy erdő- vagy
halgazdaságot, sőt jobb mosogatógépeket gyártsunk. De a legfontosabb, hogy
alaposabban ismerjük meg a világot, amelyben élünk, és többet tudjunk a
benne elfoglalt helyünkről.