Az emberi gondolkodás a természetről évszázadok óta két szélsőséges nézet
között ingadozik. Az egyik szerint az univerzum rögzített, változatlan
törvényeknek engedelmeskedik, és minden egy jól definiált, objektív
valóságban létezik. Az ezzel ellentétes vélekedés szerint ilyen objektív
realitás nincs; minden áramlás, minden változás. Ahogy Hérakleitosz, a görög
filozófus kifejezte: "Nem léphetsz kétszer ugyanabba a folyóba". A
természettudományban kialakulásakor nagyrészt az első nézőpont uralkodott.
Egyre több jel utal azonban arra, hogy az élenjáró kulturális irányzatok
a második nézőpont felé fordulnak - egészen különböző áramlatok, amilyen a
posztmodernizmus, a kibernetika vagy a káosz elmélete tették bizonytalanabbá
a hitet a valóság objektivitásában, és indították újra az örök vitát a merev
törvényekről, valamint a rugalmas változásról.
Nem tehetünk mást, mint hogy mindenestől kilépjünk ebből a hiábavaló
játékból. Meg kellene találnunk az utat visszafelé a két ellentétes
világnézetből - nem annyira szintézist keresve, mint inkább úgy látva
mindkét nézetet, mint a valóság valamely magasabb rendjének árnyékát, olyan
árnyékokat, amelyek csak azért különböznek, mert ezt a magasabb rendet két
különböző irányból szemlélik.
De létezik-e ilyen magasabb rend, és ha igen, elérhető-e? Sokak számára
mind a mai napig - többek között természettudósok számána is - Isaac Newton
képviseli a racionalizmus diadalát a miszticizmus felett. Maynard Keynes, a
híres közgazdász
Newton, the Man (Newton, az ember) című esszéjében másként
vélekedik:
"A 18. században és azóta is Newtonról úgy gondolkodnak, mint a modern
kor természettudósai közül az elsőről és a legnagyobbról, a racionalistáról,
aki megtanított minket arra, hogy hideg és rendíthetetlen ésszel
gondolkodjunk. Én nem így látom őt. Nem hiszem, hogy aki figyelmet szentelt
annak a ládának a töredékesen ránk maradt tartalmára, amelybe Newton
becsomagolt, mikor végül 1696-ban elhagyta Cambridgeet, ilyennek láthatná
őt. Newton nem az első embere volt az ész korának. Az utolsó varázsló volt,
az utolsó a babiloniak, a sumérok közül, az utolsó nagy elme, aki ugyanazzal
a szemmel nézett a látható és az intellektuális világra, mint akik nem
egészen 10.000 évvel ezelőtt elkezdték építeni a mi szellemi örökségünket.
Isaac Newton, az 1642 karácsonyán árván született gyermek volt az utolsó
csodagyerek, akit megillethetne a Háromkirályok őszinte és illő alázata."
Keynes itt Newton személyiségére gondolt, valamint érdeklődésére, ami az
alkímia és a vallás iránt éppúgy megmutatkozott, mint a matematika és a
fizika iránt. De mi is megtaláljuk Newton matematikájában az első jelentős
lépést afelé a világnézet felé, amely meghaladja és egyesíti a merev
törvényt és a változékony áramlást. Az univerzum tűnhet a változás vihar
korbácsolta óceánjának, ám Newton, s előtte pedig Galilei és Kepler, az
óriások, akiknek ő a vállára állt, megértették, hogy e változás törvényeknek
engedelmeskedik. Nemcsak együtt léteznek törvény és áramlás, hanem a törvény
hozza létre az áramlást.
A káosz, illetve a komplexitás napjainkban kifejlődő tudománya térképezi
fel a fentiek hiányzó ellentétét: az áramlás törvényt hoz létre. De ez már
egy másik történet, amit az utolsó fejezetre tartogatunk.
Newton előtt a matematika a természetnek egy lényegében statikus
modelljét fogalmazta meg. Kevés kivétellel a legnyilvánvalóbb Ptolemaiosz
elmélete a bolygók mozgásáról, amely nagyon pontosan rögzítette a megfigyelt
változásokat körök egy rendszerének használatával, ezek a körök középpontok
körül forogtak, s a középpontok maguk is forgó körökhöz tartoztak -
kerékben-kerékben-kerék. Csakhogy akkor a matematika feladata a természet
által használt "ideális formák" katalógusának elkészítése volt. A kört
tartották a lehető legtökéletesebb formának, annak a demokratikus
felismerésnek a nyomán, hogy a kör kerületének minden pontja ugyanolyan
távol van a középponttól. A természet, mely magasabb rendű lények alkotása,
már meghatározása szerint is tökéletes, és az ideális formák matematikai
tökéletességek, a kettő tehát természetszerűleg összeillik. A
tökéletességről pedig úgy gondolták, hogy nem csúfítja el semmilyen
változás.
Kepler szembeszállt ezzel a felfogással, amikor a bonyolult körrendszerek
helyébe ellipsziseket képzelt. Végül Newton teljesen elvetette ezt a
felfogást, és a formákat az őket létrehozó törvényekkel helyettesítette.
Bár következményei beláthatatlanok, a mozgás Newton-féle megközelítése
valójában egyszerű. Szemléltethető egy lövedék, például egy bizonyos szögben
kilőtt ágyúgolyó mozgásával. Galilei kísérletei során felfedezte, hogy egy
ilyen lövedék pályája ún. parabola, az ókori görögök által már ismert görbe,
s kapcsolatos az ellipszissel. Ebben az esetben fordított U betűt formáz.
A parabolapálya úgy érthető meg a legjobban, ha a lövedék mozgását két
független komponensre bontjuk: vízszintes irányú és függőleges irányú
mozgásra. Ha külön-külön foglalkozunk e kétfajta mozgással, és csak akkor
rakjuk össze őket újra, ha külön-külön már megértettük, látni fogjuk, miért
lesz a pálya parabola.
Az ágyúgolyó vízszintes irányú mozgása nagyon egyszerű: állandó
sebességgel történik. Függőleges irányú mozgása az érdekesebb. Egészen
gyorsan kezd felfelé mozogni, aztán lelassul, míg egyszer csak egy
pillanatra mintha megállna a levegőben, aztán elkezd lefelé esni, először
lassan, majd gyorsan növekvő sebességgel.
Newton felismerése az volt, hogy bár az ágyúgolyó helyzete egészen
bonyolult módon változik, sebessége sokkal egyszerűbben, gyorsulása pedig
már egészen egyszerűen alakul. A következő oldalon lévő 2. ábra együtt
mutatja a három függvényt és a köztük fennálló kapcsolatot az alábbi
példában.
2. ábra
A kalkulus dióhéjban.
Három matematikai minta, amelyeket az ágyúgolyó határoz meg:
magasság, sebesség, gyorsulás. A magasság mintája,
amit közvetlenül megfigyelünk, bonyolult. Newton rájött,
hogy a sebesség mintája egyszerűbb, a gyorsulásé pedig még
ennél is egyszerűbb. A kalkulus két fő operációja, a differenciálás
és az integrálás, lehetővé teszi, hogy akármelyik mintáról
akármelyik másikra térjünk át. Tehát dolgozhatunk e legegyszerűbbel,
a gyorsulással, s belőle levezethetjük - amelyikre valóban kiváncsiak
voltunk - a magasságot.
A szemléletesség kedvéért tegyük fel, hogy a kezdeti sebesség felfelé
ötven méter másodpercenként (50 m/sec). Akkor az ágyúgolyó magassága a föld
felett, egymásodperces időközökben:
0, 45, 80, 105, 120, 125, 120, 105, 80, 45, 0.
Láthatjuk ezekből a számokból, hogy a golyó felszáll, a csúcsnál megáll,
majd leszáll. Az adatsor általános mintája azonban nem teljesen nyilvánvaló.
A nehézséget Galilei és még inkább Newton idejében fogalmazták meg,
tudniillik, nehéz volt ezeknek a számoknak a közvetlen mérése. Galilei
golyót görgetett fel egy enyhe lejtőn, hogy az egész folyamatot lelassítsa.
A legnagyobb nehézséget az idő pontos mérése jelentette: Stillmann Drake
történész hipotézise szerint Galilei talán dúdolt magában, és a zenei ütemet
fejben felosztotta, ahogyan a zenészek.
A távolságok adatsorának mintája rejtvényszerű, de a sebességeké sokkal
világosabb. A golyó 50 m/sec-os felfelé irányuló sebességgel indul. Egy
másodperccel később a sebesség (nagyjából) 40 m/sec; újabb másodperc
elteltével 30 m/sec; aztán 20 m/sec, 10 m/sec, végül 0 m/sec (a golyó egy
pillanatra mozdulatlanná válik). Újabb másodperc elteltével a sebesség 10
m/sec
lefelé. Negatív számokat használva ezt úgy tekinthetjük, mint egy
felfelé irányuló -10 m/sec-os sebességet. A további másodpercekben a minta
így folytatódik: -20 m/sec, -30 m/sec, -40 m/sec, -50 m/sec. Ezen a ponton
az ágyúgolyó eléri a talajt. A sebességek sorozata tehát, egymásodpercenként
mérve:
50, 40, 30, 20, 10, 0, -10, -20, -30, -40, -50.
Mármost itt a mintát nehéz nem észrevenni, de menjünk egy lépéssel tovább,
és nézzük meg a gyorsulásokat. Az ágyúgolyó gyorsulásának megfelelő sorozat,
ismét negatív számokat használva a lefelé tartó mozgáshoz:
-10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10, -10.
Azt hiszem, egyetértenek abban, hogy ez egy fokozhatatlanul egyszerű
sorozat. A golyó lefelé irányuló
állandó 10 m/s˛ gyorsulással halad. (A
valóságos érték 9,81 m/s˛ körül ingadozik, attól függően, hogy a kísérletet
a Földnek mely pontján hajtjuk végre. De a 10-es számmal könnyebb dolgozni.)
Hogyan tudjuk megmagyarázni ezt az állandót, amely megbúvik a mozgás
változói között? Miért marad állandó a gyorsulás, mikor minden más változik?
Az egyik meggyőző magyarázatnak két eleme van. Az első, hogy a Föld húzza
lefelé a golyót; vagyis a gravitációs erő hat a golyóra. Indokolt
feltételeznünk, hogy ez az erő különböző magasságokban ugyanakkora. Valóban,
azért érezzük, hogy súlyunk van, mert a gravitáció lefelé húzza testünket,
és akkor is ugyanannyit nyomunk, ha egy magas épület tetején állunk. Persze,
ebből a mindennapi megfigyeléshez folyamodó hivatkozásból nem derül ki, mi
történik, ha a távolság meglehetősen nagy - mondjuk a Hold és a Föld
távolsága. Ez megint egy másik történet, amire később röviden visszatérünk.
A magyarázat második eleme az igazi áttörés. Adott egy test, amire
állandó lefelé irányuló erő hat, és azt tapasztaljuk, hogy lefelé irányuló
gyorsulása állandó. Tegyük fel az érvelés kedvéért, hogy a gravitációs erő
sokkal nagyobb: ekkor elvárhatjuk, hogy a lefelé való gyorsulás is sokkal
nagyobb legyen. Anélkül, hogy átmennénk egy nehéz bolygóra, például a
Jupiterre, nem tudjuk kipróbálni ezt az ötletet, mégis indokoltnak látszik;
s ugyanilyen indokolt feltennünk, hogy a Jupiteren a lefelé tartó gyorsulás
ismét állandó lenne - persze az ittenitől különböző állandó. A legegyszerűbb
elmélet, ami a valódi és a gondolatkísérleteknek e vegyülékével összhangban
áll, úgy szól, hogy ha erő hat egy testre, akkor a test gyorsulása egyenesen
arányos az erővel. És ez Newton mozgástörvényének lényege. Most már csupán
az a feltevés hiányzik, hogy ez mindig igaz, minden testre és minden erőre,
függetlenül attól, hogy az erő állandó marad-e vagy sem; valamint az
arányossági tényező azonosítása a test tömegével. Hogy pontosak legyünk,
Newton mozgástörvénye kimondja:
tömeg x gyorsulás = erő.
Hát ez az. Nagy erénye, hogy érvényes minden erő- és tömegrendszerre,
beleértve az időben változókat is. Nem sejthettük ezt az univerzális
alkalmazhatóságot abból az érvelésből, ami a törvényhez vezetett, mégis így
alakult.
Newton három mozgástörvényt mondott ki, de a modern megközelítés
ugyanazon matematikai egyenlet három aspektusának tekinti ezeket. A "Newton
mozgástörvénye" mondattal ezért a továbbiakban az egész hármas csomagra
utalok.
A hegy lábánál álló hegymászót természetes ösztöne arra bírja, hogy
megmássza a hegyet; a matematikust, ki leül egy egyenlethez, természetes
ösztöne arra bírja, hogy megoldja azt. De hogyan? Ha adott egy test tömege
és a rá ható erők, könnyen meg tudjuk oldani az egyenletet, hogy megkapjuk a
gyorsulást. Csakhogy ezt a választ rossz kérdésre adtuk. Ha tudjuk, hogy egy
ágyúgolyó gyorsulása 10 m/s˛, ez még nem ad kézenfekvő információt
pályájának alakjáról. Itt jön be a kalkulusnak (differenciál- és
integrálszámításnak) nevezett matematikai ágazat; Newton (és Leibniz)
voltaképpen ezért találták fel. A kalkulus egy manapság integrálásnak
nevezett technikát szolgáltat, ami lehetővé teszi, hogy a gyorsulást minden
pillanatban ismerve kiszámítsuk a sebességet minden pillanatra. Ha ugyanezt
a trükköt megismételjük, megkapjuk a helyet is minden pillanatban. Ez hát a
válasz a
jó kérdésre.
Ahogy korábban már mondtam, a sebesség a helyváltoztatás mértéke, míg a
gyorsulás a sebességváltozásé. A kalkulus egy abból a célból kifejlesztett
matematikai módszer, hogy a változásmértékekkel kapcsolatos kérdéseket
megoldja. Pontosabban technikát szolgáltat arra is, hogy változásmértékeket
megállapítsunk - ez a differenciálásnak nevezett technika. Az integrálás
"visszacsinálja", amit a differenciálás elvégzett; kétszeri integrálás pedig
visszacsinálja, amit a kétszeri differenciálás elvégzett. Mint Janus, a
római isten ikerarcai, a kalkulusnak ezek az ikertechnikái két ellentétes
irányba mutatnak. Közben megmondják, hogy akármelyik függvényt ismerve - a
hely, a sebesség vagy a gyorsulás közül - minden pillanatban, hogyan
számítsuk ki a másik kettőt.
Newton mozgástörvénye fontos leckére tanít: az út a természet
törvényeitől a természet viselkedéséig nem okvetlenül közvetlen és
nyilvánvaló. A megfigyelt viselkedés és a belőle következő törvény között
szakadék tátong, amit az emberi elme csak matematikai számításokkal tud
áthidalni. Ezzel nem azt sugalljuk, hogy a természet
nem más, mint
matematika - hogy (mint azt Paul Dirac fizikus mondta) "Isten matematikus".
Lehet, hogy a természet mintáinak és szabályosságainak más az eredete; de,
végtére is, a matematika nagyon hatékony módszer az ember számára, hogy
megértse ezeket a mintákat.
A fizikának minden törvénye, amit Newton alapvető felismerése nyomán
fedeztek fel - tudniillik, hogy a változás a természetben leírható
matematikai eljárásokkal, csakúgy, ahogyan a természeti forma is leírható
matematikával -, hasonló jelleget ölt. Ezek a törvények olyan egyenletekkel
fogalmazhatók meg, amelyek nem elsősorban a fizikai mennyiségekhez
kapcsolódnak, hanem azok időbeli változásának mértékéhez. Például a
"hővezetési egyenlet", amely megadja, hogyan terjed a hő egy hővezető
testben, nem másról szól, mint a test hőmérsékletének változásmértékéről; a
"hullámegyenlet" pedig, amely leírja a hullámok mozgását a vízben, levegőben
és más anyagokban, a hullámamplitúdó változásmértékének változásmértékét
követi nyomon. A fény, hang, elektromosság, mágnesesség, anyagok rugalmas
hajlítása, folyadékok áramlása vagy kémiai reakciók lefolyása, mind
különböző változásmértékekre vonatkozó egyenletek.
Mivel a változásmérték egy mennyiség jelenlegi és későbbi értéke közti
különbség, az ilyen egyenleteket
differenciálegyenleteknek hívjuk. A
"differenciálás" kifejezés eredete ugyanez. Newton óta a matematikai fizika
arra törekszik, hogy az univerzumot differenciálegyenletekkel írja le, és
aztán megoldja azokat.
Ugyanakkor, ahogy nyomon követtük ezt a törekvést bonyolultabb régiókban,
a "megoldani" szó jelentése sok változáson ment keresztül. Először azt
jelentette: pontos matematikai képletet találni, ami minden időpillanatban
leírja, mi történik egy adott rendszerben. Newton felfedezése egy másik
természeti mintáról, a gravitációs törvény, ilyenfajta megoldás volt. Kepler
felfedezéséből indult ki, amely szerint a bolygók ellipszispályán mozognak,
valamint Keplernek két másik észrevételéből. Newton azt kérdezte, milyen, a
bolygóra ható erő szükséges ahhoz, hogy megkapjuk a Kepler által
feltételezett ellipszismintát. Valójában Newton megpróbált fordított
irányban dolgozni, indukcióval dedukció helyett. És nagyon szép eredményre
jutott. A szükséges erő mindig a Nap irányába mutat; ezenkívül csökken, ha a
Naptól mért távolság nő. Továbbá, e csökkenés egyszerű matematikai
törvénynek tesz eleget, a
távolság négyzetével fordított arányosság
törvényének. Ez azt jelenti, hogy egy kétszer akkora távolságban
elhelyezkedő bolygóra negyedakkora erő hat, egy háromszor akkora távolságban
levőre kilencedakkora, és így tovább. Ezt a felfedezést, ami olyan szép
volt, hogy tudni lehetett: mély igazságot rejt a világról - már csak egy
lépés választotta el annak megértéséig, hogy a fenti erő okozója elsősorban
a Nap. A Nap vonzza a bolygót, de a vonzás gyengébb, ha a bolygó távolabb
helyezkedik el. Csábító volt az ötlet, és Newton óriási szellemi ugrásra
vállalkozott: feltételezte, hogy ugyanez a vonzóerő lép fel bármely két test
között, bárhol a világegyetemben.
Most, hogy "indukálta" az erőtörvényt, Newtonnak sikerült körbeérnie
érvelésével,
dedukálva a bolygómozgás geometriáját.
Megoldotta a mozgás- és
gravitációs törvényekből nyert egyenleteket két egymást kölcsönösen vonzó
testre, amelyek eleget tesznek a
távolság négyzetével fordított arányosság
törvényének. Akkoriban a "megoldotta" annyit jelentett: talált egy
matematikai képletet a mozgásuk leírására. A képlet kiadta, hogy
ellipszispályákon kell mozogniuk közös tömegközéppontjuk körül. Ahogy a Mars
a Nap körül óriási ellipszispályán kering, a Nap annyira kicsiny
ellipszispályán mozog, hogy mozgása érzékelhetetlen. Valóban, a Nap tömege a
Marshoz képest oly nagy, hogy a közös tömegközéppont mélyen a Nap felszíne
alatt helyezkedik el, ami megmagyarázza, miért hitte Kepler, hogy a Mars a
mozdulatlan Nap körüli ellipszispályán halad.
Ám amikor Newton és követői megpróbáltak erre az eredményre támaszkodni
három vagy még több test - például a Hold/Föld/Nap vagy akár az egész
Naprendszer - által alkotott rendszer egyenleteinek megoldásakor, komoly
technikai nehézségekbe ütköztek, és csak úgy tudták ezeket kikerülni, hogy
megváltoztatták a "megoldani" szó jelentését. Nem találtak semmilyen
képletet, amely az egyenleteket megoldaná, így feladták az ez irányú
próbálkozásokat. Ehelyett megpróbáltak módszereket találni közelítő értékek
kiszámítására. Például 1860 körül Charles-Eugčne Delaunay francia csillagász
egy teljes könyvet töltött meg egyetlen közelítő számítással, amely a Föld
és Nap gravitációs vonzása által befolyásolt Hold mozgását írja le. Igen
pontos számítások voltak ezek - ezért is töltöttek meg egy könyvet -, és
húszévi munkájába kerültek. Amikor 1970-ben végigellenőrizték egy
szimbolikus algebrai számítógépes programmal, a számítás csupán húsz órát
igényelt: mindössze három hibát találtak Delaunay művében, és azok sem
voltak komolyak.
A Hold/Föld/Nap mozgásának problémáját három-testproblémának hívjuk.
Annyira más, mint a takaros két-testprobléma, amit Newton megoldott, mintha
valami más bolygón egy másik galaxisban találták volna ki, vagy egy másik
univerzumban. A három-test-probléma megoldást keres három tömeg mozgását
leíró egyenletekre, ha ezek eleget tesznek a
távolság négyzetével fordított
arányosság törvényének. A matematikusok évszázadok óta próbáltak erre
megoldást találni, de megdöbbentően kevés sikerrel, ha eltekintünk az olyan
közelítésektől, mint Delaunay munkája, ami ráadásul csak a Hold/Föld/Nap
speciális esetével foglalkozott. Kezelhetetlennek bizonyult továbbá az ún.
leszűkített három-test-probléma is, ahol az egyik test tömege annyira kicsi,
hogy úgy tekinthetjük, mintha nem gyakorolna erőt a másik kettőre. Ez volt
az első intő jel arra nézve, hogy a törvények ismerete nem mindig elegendő
egy rendszer viselkedésének megértéséhez; hogy a szakadék törvények és
viselkedés között nem mindig hidalható át.
A komoly erőfeszítések ellenére több mint háromszáz évvel Newton után
máig sem ismerjük a teljes megoldást a három-test-problémára. Tudjuk
viszont, hogy miért olyan nehéz ez a kérdés. A két-test-probléma
"integrálható" - az energia és az impulzus megmaradásának törvénye annyira
leszűkíti a lehetséges megoldások halmazát, hogy ez egyszerű matematikai
formát kényszerít ki. 1994-ben Zhiong Xia, a Georgia Institute of Technology
(USA) munkatársa bebizonyította, amit a matematikusok hosszú ideje
gyanítottak: hogy egy három testből álló rendszer nem integrálható. Sőt,
sokkal többet bizonyított be; kimutatta, hogy egy ilyen rendszer produkálni
tudja az Arnold-diffúziónak nevezett különös jelenséget. Ezt először
1964-ben fedezte fel a Moszkvai Állami Egyetemen dolgozó Vlagyimir Arnold.
Az Arnold-diffúzió a testek egymáshoz viszonyított helyzetének igen lassú,
"véletlen" ingadozása. Az ingadozás valójában nem véletlenszerű: ez is egy
példa a manapság káoszként ismert viselkedésre - amely látszólag véletlen,
de valójában tökéletesen meghatározott folyamat.
Vegyük észre, hogy ez a megközelítés megint csak megváltoztatja az "oldd
meg" jelentését. Először ez azt jelentette: "találj képletet". Később pedig
azt: "találj közelítő megoldást". Végül nem várt mást, mint: "mondd meg,
milyen a megoldás". Mennyiségi válaszok helyett minőségi válaszokat
keresünk. Bizonyos értelemben ez visszavonulásnak látszik: ha túl nehéz
képletet találni, keress közelítést; ha még ezt se lehet, kísérelj meg
minőségi leírást. Azonban tévedés ezt a fejleményt visszavonulásnak
tekintenünk, mert a fenti jelentésváltozás arra tanított meg minket, hogy a
három-test-problémához hasonló kérdések esetében
egyáltalán nincs képlet. Be
tudjuk bizonyítani, hogy vannak olyan minőségi szempontok, amelyeket egy
képlet nem tudna figyelembe venni. Az ilyen kérdésekben képlet keresése
légvárépítés volt.
Miért akartak a tudósok elsősorban képletet találni? Azért, mert a
dinamika korai szakaszában ez volt az egyetlen módja annak, hogy
kiszámítsák, milyenfajta mozgás léphet fel. Később ugyanez az információ
közelítő számításokból is megkapható volt. Napjainkban olyan elméletekből
jutunk hozzá, amelyek közvetlenül és pontosan kezelik a mozgás minőségi
aspektusait. Ahogy a következő néhány fejezetben látni fogjuk, ez a lépés a
kimondottan kvalitatív elmélet felé nem visszalépés, hanem komoly fejlődés.
Először azzal kezdjük, hogy a természet mintáit a saját formájukban
próbáljuk megérteni.