A természet nagyon ritmikus, sok és sokféle ritmus található benne. Szívünk
és tüdőnk ritmikus ciklusokat jár be, amelyek időbeosztása alkalmazkodik
testünk szükségleteihez. A természetnek sok ritmusa olyan, mint a szívverés:
fenntartják önmagukat, mintegy "a háttérben" működnek. Mások a lélegzéshez
hasonlóak: az egyszerű "alapértelmezés"-szerű minta, mindaddig működik, amíg
nem történik semmi szokatlan, de van egy bonyolultabb vezérlő mechanizmus
is, amelyik bekapcsol, ha szüleséges, és a ritmust a pillanatnyi
szükséglethez igazítja. Az ilyenfajta vezérelhető ritmusok különösen
elterjedtek - és különösen érdekesek - a helyváltoztatásban. A lábon
helyváltoztató állatok tudatos kontrolltól mentes mozgási alapmintáit
járásmódoknak nevezzük.
A gyors fényképezés kifejlesztése előtt lényegében lehetetlen volt
megállapítani, hogy egy állat lába futás vagy vágta közben hogyan mozog: ez
a mozgás az emberi szemnek túl gyors. A legenda szerint a fotótechnika egy
lóversenyen történő fogadás nyomán fejlődött ki. Az 1870-es években Leland
Stanford vasútmágnás huszonötezer dollárban fogadott, hogy van olyan
pillanat, amikor az ügető lónak mind a négy lába elválik a talajtól. A vitát
eldöntendő egy fényképész, akinek eredeti neve Edward Muggeridge volt, de
Eadweard Muybridge-re változtatta, lefényképezte a ló mozgásának különböző
fázisait, több fényképezőgépet helyezve el drótakadály mellett, amelyen a ló
átugrott. Stanford állítólag megnyerte a fogadást. Igaz a történet vagy sem,
Muybridge a járásmódok tudományos vizsgálatának úttörőjeként folytatta. Egy
zoetrop nevű mechanikus szerkezetet is feltalált, és "mozgóképek" néven
mutogatta őket, s ez az út hamarosan Hollywoodba vezetett. Muybridge tehát
egyszerre alapított meg egy tudományt és egy művészetet.
Ennek a fejezetnek a legnagyobb része járáselemzés, a matematikai
biológiának egy ága, amely e kérdések nyomán fejlődött ki: "Hogyan mozognak
az állatok?" és "Miért úgy mozognak?". A változatosság kedvéért a fejezet
folytatása azokról a ritmikus mintákról szól, amelyek teljes
állatpopulációknál találhatók, erre egy megdöbbentő példa egyes
szentjánosbogárfajták összehangolt fénykibocsátása, ami a Távol-Kelet egyes
területein figyelhető meg, többek közt Thaiföldön. Bár a biológiai
kölcsönhatások, amelyek az egyes állatok szervezetében mennek végbe, nagyon
különböznek attól, amelyek állatpopulációkra jellemzőek, mégis létezik egy
háttérben meghúzódó matematikai egység. Ennek a fejezetnek egyik tanulsága,
hogy ugyanazok a matematikai fogalmak alkalmazhatók sok különböző szinten és
sok különböző dologra. A természet tiszteli az egységet, és ebből nagy
haszna származik.
Sok biológiai ciklus mögött a szervező elv az oszcillátor matematikai
fogalma - ez olyan egység, amely természetes dinamikája révén újra és újra
elismétli ugyanazt a viselkedési ciklust. A biológia hatalmas
"oszcillátorhálózatokat" épít fel, amelyek egymással is együttműködnek, s
összetett viselkedési mintákat alkotnak. Az ilyen "összepárosított
oszcillátorhálózatok" foglalják egybe ezt a fejezetet.
Miért oszcillálnak a rendszerek egyáltalán? Azért, mert ez a
legegyszerűbb, amit tehetünk, ha nem akarunk, vagy nem engednek minket
nyugton maradni. Miért jár föl és alá a ketrecbe zárt tigris? Mozgását két
kényszerfeltétel kombinációja határozza meg. Először is nyugtalan, és nem
akar nyugodtan ülni. Másrészt mozgása korlátozott a ketrecben, és nem tud
egyszerűen eltűnni a legközelebbi domb mögött. A legegyszerűbb dolog, amit
tehetünk, ha mozognunk kell, de elmenekülni nem tudunk, hogy oszcillálunk.
Persze semmi sem kényszeríti az oszcillációt szabályos ritmus ismétlésére; a
tigris szabálytalanul is járkálhatna a ketrecében. Mégis a legegyszerűbb
lehetőség - és így a legvalószínűbben alakul ki mind a matematikában, mind a
természetben -, hogy találjunk valamilyen elvégezhető mozgássorozatot, és
azt ismételjük újra meg újra. Ezt nevezzük periodikus oszcillációnak. Az 5.
fejezetben leírtam a hegedűhúr rezgését. Az is periodikus oszcillációval
mozog, éspedig ugyanazon okokból, mint a tigris. Nem tud veszteg maradni,
mert megpendítették, és nem tud elszabadulni, mert a végeit leszorították,
és teljes energiája nem tud növekedni.
Sok oszcilláció stacionárius állapotból alakul ki. A feltételek
változásával a stacionárius állapotban lévő rendszer kikerülhet ebből az
állapotból, és periodikus ingadozásba kezdhet. 1942-ben Eberhard Hopf német
matematikus általános matematikai feltételt talált, amely ilyen viselkedést
garantál: tiszteletére ezt a forgatókönyvet Hopf-bifurkációnak nevezték el.
Az ötlet: approximáljuk, vagyis közelítsük az eredeti rendszer dinamikáját
egy különösen egyszerű módon, és nézzük meg, vajon a leegyszerűsített
rendszerben létrejön-e periodikus ingadozás. Hopf bebizonyította, hogy ha az
egyszerű rendszer ingadozik, akkor a bonyolult is. Ennek a módszernek nagy
előnye, hogy a matematikai számításokat csak a leegyszerűsített rendszeren
kell végezni, s az eredményből megtudható, hogyan viselkedik az eredeti
rendszer. Közvetlenül az eredeti rendszerrel nehéz volna megbirkózni, és
Hopf megközelítése igen hatékony módon kerüli ki a nehézségeket.
A "bifurkáció" (kettéválás) szó a folyamatról alkotott képből származik -
a periodikus oszcilláció "kinő" a kezdeti stacionárius állapotból, mint a
gyűrűződés a középpontjából. Ennek a képnek a fizikai interpretációjában az
oszcillációk először elég kicsik, majd egyre nagyobbá válnak. Hogy milyen
gyorsan nőnek, az itt most lényegtelen.
Például a klarinét hangja a Hopf féle bifurkációtól függ. Amint a
klarinétos levegőt fúj a hangszerbe, az addig mozdulatlan nád rezegni kezd.
Ha a levegő gyengén áramlik, a rezgés kicsi, és halk hangot eredményez. Ha a
muzsikus erősebben fújja, a rezgés megnő, és a hang erősebb lesz. Csak az a
fontos, hogy a muzsikus ne oszcillálóan fújjon (vagyis ne pöfögjön a
hangszerbe gyors egymásutánban), hogy a nádat oszcilláltassa. Ez tipikus a
Hopf-bifurkációnál: ha az egyszerű rendszer megfelel a Hopf-féle matematikai
teszten, a valóságos rendszer magától oszcillálni kezd. Ebben az esetben az
egyszerű rendszer úgy értelmezhető, mint fiktív matematikai klarinét egy
nagyon 85 egyszerű náddal, bár a matematikai számítások elvégzéséhez erre az
értelmezésre az adott esetben nincs szükség.
A Hopf-bifurkáció speciális szimmetriasértésként fogható fel. Az előző
fejezetben tárgyalt szimmetriasértésekkel ellentétben az itteni szimmetriák
nem a térrel, hanem az idővel kapcsolatosak. Az idő egyetlen változó, tehát
matematikailag egy egyenesnek felel meg - az időtengelynek. Az egyenesnek
csak kétféle szimmetriája van: az eltolások és a tükrözések. Mit jelent, ha
egy rendszer időeltolásra szimmetrikus? Ha megfigyeljük a rendszer mozgását,
aztán meghatározott ideig várunk, és megint megfigyeljük a rendszert,
ugyanazt a viselkedést tapasztaljuk. Ez a periodikus oszcilláció egy
leírása: ha periódusnyi ideig várunk, ugyanazt látjuk. A periodikus
oszcillációnak tehát időeltolási szimmetriája van.
Mi a helyzet az idő tükrözési szimmetriáival? Ezek annak a változtatásnak
felelnek meg, amikor elérjük, hogy az idő visszafelé teljen, ami ravaszabb
és filozófiailag nehezebb fogalom. Az idő megfordítása a fejezet
szempontjából mellékes jelentőségű, mégis igen érdekes kérdés, ami
megérdemli, hogy valahol tárgyaljuk. Miért ne éppen itt? A
mozgástörvény
invariáns az idő megfordítására. Ha lefilmezünk akármilyen "megengedett" (a
törvényeknek megfelelő) fizikai mozgást, és visszafelé forgatjuk le a
filmet, megint egy megengedett mozgást fogunk látni. Ugyanakkor a
világunkban a szokásos megengedett mozgások bizarr hatást keltenek, ha
visszafelé játsszuk le őket. Az égből zuhogó, tócsákat alkotó esőcseppek
mindennapi látványt nyújtanak; tócsák, amint magukból esőcseppeket
köpködnek, majd megszűnnek, kevésbé mindennapiak. A különbség a kezdeti
feltételekben van. A legtöbb kezdeti feltétel megsérti az időtükrözési
szimmetriát. Tegyük fel, hogy lefelé eső esőcseppekkel kezdjük. Ez nem
időszimmetrikus állapot: az időben való megfordítottja felfelé eső
esőcseppeket jelentene. Bár a törvények időben megfordíthatók, a belőlük
következő mozgás nem feltétlenül, mert ha egyszer megsérült az időtükrözési
szimmetria a kezdeti feltételek miatt, sérült is marad.
Térjünk vissza az oszcillátorokhoz! Az imént magyaráztam el, hogy a
periodikus oszcillációk időeltolási szimmetriával rendelkeznek, de nem
mondtam meg, hogy ezt a mintát milyen szimmetria megsértésével kapjuk. A
válasz: "az összes időeltolás". Egy állapot, amelyik az összes ilyen
szimmetriára invariáns, minden időpillanatban változatlan legyen - nem csak
egy eltolásra nézve. Vagyis stacionárius állapotnak kell lennie. Ha tehát
egy rendszer, amelynek állapota stacionárius, periodikusan oszcillálni kezd,
időeltolási szimmetriái lecsökkennek az összes eltolásból egyetlen
periódussal való eltolásba.
Mindez nagyon elméletien hangzik. Ugyanakkor a felismerés, miszerint a
Hopf-féle bifurkáció valójában az időbeli szimmetria megsértésének egy
esete, elvezetett a Hopf-bifurkáció széles körű elméletéhez olyan
rendszerekben, amelyekben más szimmetriák is fellépnek - konkrétan
térbeliek. A matematikai apparátus nem függ a speciális értelmezésektől, és
több különböző fajta szimmetriát is könnyedén tud kezelni egyszerre. Ennek a
megközelítésnek egyik sikertörténete az olyan minták általános osztályozása,
amelyek tipikusan akkor lépnek fel, ha oszcillátorok egy szimmetrikus
hálózatára egy Hopf-bifurkáció hat, és az egyik alkalmazás az állatok
mozgása.
A mozgásban két, biológiai szempontból különböző, de matematikailag
hasonló oszcillátortípus játszik szerepet. A legnyilvánvalóbb oszcillátorok
az állatok végtagjai, amelyek mechanikai rendszereknek tekinthetők - az
ízületek körül forgó, összekapcsolódó csontszerkezetek, amelyeket az
összehúzódó izmok mozgatnak. De a fő oszcillátorok, amelyek minket igazán
érdekelnek, a lény idegrendszerében találhatók, az ideghálózatban, amely a
végtagok aktivitását kiváltó és vezérlő ritmikus elektromos jeleket
kibocsátja. A biológusok az ilyen hálózatot CPG-nek nevezik, ami a "central
pattern generator" (központi mintageneráló) rövidítése. Ennek megfelelően
egyik hallgatóm a végtagra a LEG mozaikszóval kezdett hivatkozni, állítólag
"locomotive excitation generator" (mozgásgerjesztő generátor)
rövidítéséül. (*)
(*) Egyben szellemes szójáték, ugyanis leg (angol) = láb. (A szaklektor
megj.)
Az állatoknak kettő, négy, hat, nyolc vagy több LEG-jük van, de az őket
vezérlő CPG-kről közvetlenül nagyon keveset tudunk, aminek okait röviden
kifejtem. Sok minden, amit tu dunk, annak a gyümölcse, hogy visszafelé -
vagy ha akarom, előre - dolgoztunk a matematikai modellekből.
Bizonyos állatoknak csak egy járásmódjuk van: egyfajta ritmikus alapminta
a végtagjaik mozgatására. Az elefánt például csak sétálni tud. Ha gyorsabban
akar haladni, baktat - de a baktatás egyszerűen gyors séta, a lábmozgások
mintája ugyanaz. Más állatoknak sok járásmódja van; vegyük például a lovat.
Kis sebességnél a lovak sétálnak, nagyobb sebességnél ügetnek, és a
legnagyobb sebbességnél vágtatnak. Van, aki még további mozgástípust is
beiktat, a könnyű vágtát az ügetés és a galopp között. A különbségek
alapvetőek: az ügetés nem egyszerűen csak gyorsabb séta, hanem egy egészen
másfajta mozgás.
1965-ben Milton Hildebrand amerikai zoológus észrevette, hogy a legtöbb
járásmódban van bizonyos fokú szimmetria. Más szóval, amikor egy állat
ugrik, a két mellső lába egyszerre mozog, és a két hátsó is; az ugró
járásmód megőrzi az állat kétoldali szimmetriáját. Más szimmetriák
ravaszabbak: például a teve bal fele követi ugyan a jobb által leírt
mozgássorozatot, de fél periódusnyi késéssel. Tehát ennek a járásformának
sajátos szimmetriája van: "tükrözd a balt és a jobbat, majd told el a fázist
fél periódussal". Mi is ezt a fajta szimmetriasértést használjuk, amikor
előrehaladunk: kétoldali szimmetriánk ellenére nem mozgatjuk egyszerre a
lábunkat! Ennek vannak előnyei a kétlábúak számára: ha lassan mindkét
lábunkat ugyanabba az irányba mozgatnánk, elesnénk.
A négylábúak hét legelterjedtebb járásmódja az ügetés, a poroszkálás, az
ugrás, a séta, a forgóvágta, a keresztvágta és a könnyű vágta. Az ügetésnél
a lábak valójában átlósan vannak párban. Először a bal első és a jobb hátsó
láb éri a talajt egyszerre, majd a jobb első és a bal hátsó. Az ugrásnál a
mellső lábak egyszerre érik a talajt, aztán a hátsók. A poroszkálás az
azonos oldali lábakat kapcsolja össze: a két balláb éri a talajt, majd a két
jobb. A séta bonyolultabb, de ugyancsak ritmikus mintát jelent: bal első,
jobb hátsó, jobb első, bal hátsó, majd kezdődik az egész elölről. A
forgóvágtában a mellső lábak érik a talajt majdnem egyszerre, de (mondjuk) a
jobb egész kicsit később; aztán a hátsó lábak majdnem egyszerre, de ezúttal
a bal egész kicsit később. A keresztvágta hasonló, de a hátsó lábak
sorrendje fordított. A könnyű vágta még különösebb: először a bal első,
aztán a jobb hátsó, végül a másik két láb lép egyszerre. Van még egy ritkább
járásmód, a pronk, ahol mind a négy láb egyszerre mozog.
A pronk nem túl elterjedt, karikatúráktól eltekintve, de néha látható a
fiatal szarvasnál. A poroszkálás a tevékre, az ugrás a kutyákra jellemző; a
vadászleopárdok a forgóvágtát veszik igénybe a legnagyobb sebességű
haladáshoz. A lovak a sokoldalúbb négylábúak közé tartoznak, használják a
sétát, az ügetést, a keresztvágtát és a könnyű vágtát, a körülményektől
függően.
A képesség a járásmódváltásra a CPG-k dinamikájából származik. A CPG-
modellek mögött meghúzódó fő idea az, hogy az állatok járásmódjainak
ritmusát és fázisviszonyait viszonylag egyszerű ideghálózatok természetes
oszcillációs mintái határozzák meg. Vajon milyen lehet egy ilyen hálózat? Az
ideghálózat egy konkrét darabját lokalizálni egy állat testében annyi, mint
egy bizonyos porszemet keresni a sivatagban: a legegyszerűbb állatok
idegrendszerének a feltérképezése is messze meghaladja a mai tudomány
lehetőségeit. Így hát kevésbé direkt módszerrel kell körülszimatolnunk a CPG
szerkezetének problémáját.
Az egyik megközelítés, hogy kidolgozzuk a legegyszerűbb olyan hálózatot,
amely a járásmódok összes szóba jövő szimmetriamintáit szolgáltatja. Első
ránézésre ez nagy feladatnak tűnik, és megbocsátható volna részünkről, ha
megpróbálnánk kiagyalni valamilyen komplikált struktúrát kapcsolókkal,
amelyek lehetővé teszik az átkapcsolást egyik járásmódról a másikra, mint
amilyen az autó sebességváltója. De a Hopf-bifurkáció elmélete azt sugallja,
hogy van egyszerűbb és természetesebb út is. Kiderül, hogy a járásmódoknál
megfigyelt szimmetriaminták erősen emlékeztetnek azokra, amelyeket
oszcillátorok szimmetrikus hálózataiban találunk. Az ilyen hálózatok
természetes módon egész repertoárt tartalmaznak szimmetriasértő
oszcillációkból, és természetes módon képesek átkapcsolni köztük. Nincs
szükség komplikált sebességváltóra.
Például egy kétlábú CPG-jét reprezentáló hálózat összesen két
oszcillátort igényel, egyet-egyet a két lábhoz. A matematika szerint ha két
azonos oszcillátort párosítunk össze - vagyis kötünk össze úgy, hogy az
egyik állapota hat a másikra -, akkor két tipikus oszcillációs mintát
kapunk. Az egyik a
fázisban minta, ahol a két oszcillátor azonos módon
viselkedik. A másik a
nem-fázisban minta, ahol a két oszcillátor majdnem
azonosan viselkedik, eltekintve attól, hogy félperiódusnyi fáziskülönbség
van köztük. Tegyük fel, hogy ez a CPG-ből érkező jel vezérli egy kétlábú
lábizmait, amennyiben mindkét oszcillátorhoz egy-egy lábat rendelünk. A
kapott járásmódok öröklik ugyanazt a két mintát. A hálózat fázisban való
oszcillációja esetén a két láb együtt mozog: az állat két lábon szökdécsel,
mint a kenguru. Ezzel ellentétben a CPG nem-fázisban történő mozgása az
ember járásához hasonló járásmódot eredményez. Ez a két járásmód figyelhető
meg leggyakrabban a kétlábúaknál. (A kétlábú persze mást is tehet; például
szökdécselhet egy lábon - ebben az esetben azonban valójában egylábú
állatnak tekinthető.)
Mi a helyzet a négylábúakkal? Itt a modell négy összekapcsolt oszcillátor
- mind a négy lábhoz egy. A matematika ez esetben a minták nagyobb
választékát jósolja, és majdnem mindegyikhez tartozik valamilyen megfigyelt
járásmód. A legszimmetrikusabb járásmód, a pronk, négy teljesen
szinkronizált oszcillátor mintájához tartozik - vagyis a sértetlen
szimmetriához. A következő legszimmetrikusabb járásmódok - az ugrálás, a
poroszkálás és az ügetés - azt jelentik, hogy két nem-fázisban levő párt
kapcsoltunk össze: mellsőt/hátsót, balt/jobbat vagy átlósan. A séta
cirkuláló nyolcfigurás minta, a matematikában természetes módon jelenik meg.
A kétféle vágta ravaszabb. A forgóvágta a poroszkálásnak és az ugrálásnak a
keveréke, a keresztvágta az ugrálásé és az ügetésé. A könnyű vágta még ennél
is ravaszabb, és még nem is értjük elég jól.
Az elmélet könnyen kiterjeszthető a hatlábú teremtményekre is, mint a
rovarok. Például a svábbogár tipikus járásmódja tripod, ahol az egyik
oldalon levő középső láb egy fázisban van a másik oldalon levő elülső és
hátsó lábbal, és a másik három láb is együtt mozog, félperiódusnyi
fáziseltéréssel az előző hármashoz képest. Ez az egyik természetes minta
hat, egy gyűrűbe összekapcsolt oszcillátorra. A szimmetriasértési elmélet
megmagyarázza azt is, hogyan tudnak az állatok járásmódot váltani
sebességváltó nélkül: egyetlen oszcillátorhálózat más körülmények között más
mintát tud felvenni. A járásmódok közti átmenetet ugyancsak a szimmetria
szervezi. Minél gyorsabban mozog az állat, annál kevesebb a szimmetria a
járásmódjában: több sebesség több szimmetriát sért meg. Ám annak
magyarázata, hogy
miért váltanak járásmódot, részletesebb információt,
fiziológiai ismereteket igényel. 1981-ben D. F. Hoyt és R. C. Taylor
felfedezte, hogy amikor a lovak maguk választhatják meg sebességüket a
talajtól függően, mindig azt a járásmódot választják, amelyik a lehető
legkisebb oxigénfogyasztással jár.
Azért tárgyaltam ennyire részletesen a járásmódok matematikáját, mert ez
a modern matematikai technikáknak egy szokatlan alkalmazása olyan területen,
amelynek első látásra semmi köze sincs hozzájuk. A fejezet befejezéseképp
ugyanezeknek az általános fogalmaknak egy további alkalmazását szeretném
bemutatni, itt azonban biológiai szempontból éppen az lesz a fontos, hogy a
szimmetria
ne sérüljön meg.
Az egész természetben a leglátványosabb bemutató Délkelet-Ázsiában
látható, ahol szentjánosbogarak hatalmas rajai szinkronban villognak. A
Science folyóiratban 1935-ben publikált, a
Synchronous Flashing of Fireflies
(Szentjánosbogarak szinkronvillogása) című cikkében Hugh Smith amerikai
biológus lebilincselően írja le a jelenséget: "Képzeljünk el egy 10-12 méter
magas fát, minden levelén egy-egy szentjánosbogárral, ahogy az összes bogár
tökéletesen egyszerre villog, körülbelül háromszor kétmásodpercenként, s a
villogások közti szünetekben a fa teljes sötétségbe borul. Képzeljük el a
folyópart 160 méternyi szakaszát, végig mangrove- fákkal, minden levelükön
egy szentjánosbogárral, amint szinkronban villognak, a két szélen és köztük
tökéletes összhangban. Akinek elég élénk a fantáziája, fogalmat alkothat
erről az elbűvölő látványosságról."
Miért villognak szinkronban a szentjánosbogarak? 1990-ben Renato Mirollo
és Steven Strogatz rámutatott arra, hogy a szinkronizmus a szabály azokban a
matematikai modellekben, amelyekben minden szentjánosbogár minden másikkal
kölcsönhatásban áll. Az ötlet: a rovarokat modellezzük ezúttal vizuális
jelek segítségével csatolt oszcillátorok egy populációjával. A kémiai
ciklust, amely végbemegy a szentjánosbogárban, amikor lead egy fényjelet,
oszcillátorként képzeljük el. A bogarak populációját ilyen oszcillátorok
hálózatának tekintjük, teljesen szimmetrikus kapcsolatban, azaz minden
oszcillátor az összes többire ugyanúgy hat. A legszokatlanabb jellemzője
ennek a Charles Peskin amerikai biológus által 1975-ben bevezetett
modellnek, hogy az oszcillátorokat maga a lüktetés kapcsolja össze. Ezt úgy
kell értenünk, hogy egy oszcillátor csak abban a pillanatban hat a
szomszédaira, amikor leadja a fényjelet.
A matematikai nehézség az, hogy mindezeket a kölcsönhatásokat
szétválasszuk, úgy, hogy aztán együttes hatásuk világosan kirajzolódjék.
Mirollo és Strogatz bebizonyította, hogy, a kezdeti feltételektől
függetlenül, végül az összes oszcillátor szinkronba kerül. A bizonyítás az
abszorpció fogalmán alapul, ami annyit jelent, hogy két különböző fázisban
levő oszcillátor "felzárkózik egymáshoz", és ettől kezdve azonos fázisban
lesznek. Mivel az összekapcsolódás teljesen szimmetrikus, ha egy csoport
oszcillátor felzárkózott egymáshoz, ezek már nem válnak szét újra.
Geometriai és analitikus bizonyítás tanúsítja, hogy ezeknek az
abszorpcióknak szükségszerűen kialakul a sorozata, ami végül az
összes
oszcillátor felzárkózásával jár.
Mind a mozgás, mind a szinkronizáció esetében az a nagy tanulság, hogy a
természet ritmusai gyakran függnek össze a szimmetriával, és hogy a fellépő
minták osztályozhatók a szimmetriasértés általános elvei segítségével. Ezek
az elvek nem válaszolnak meg minden kérdést a természet világából, de
egységes keretet nyújtanak, és gyakran sugallnak érdekes új kérdéseket.
Például mindkét esetben felvetődött és választ kapott a kérdés: miért ezek a
minták, és nem mások? A másik tanulság az, hogy a matematika néha képes
megvilágítani a természetnek olyan aspektusait is, amelyeket általában nem
tekintünk matematikainak. Ezt a tanulságot először D'Arcy Thompson skót
zoológus vonta le, akinek klasszikus, de külön utakon járó, 1917-ben
megjelent könyve, az
On Growth and Form (Növekedésről és formákról), többé-
kevésbé kézenfekvő bizonyítékok óriási választéka arról, milyen szerepet
játszik a matematika a biológiai forma és viselkedés alakulásában. Egy olyan
korban, mikor a legtöbb biológus szerint egy állatban az egyetlen érdekes a
DNS lánca, ezt a tanulságot gyakran és hangosan kell ismételnünk.