Ian Stewart: A természet számai

8. FEJEZET

A kockák Istent játszanak?


Isaac Newton intellektuális öröksége látomás volt az óraműszerű univerzumról, amelyet a teremtés pillanatában hoztak mozgásba, de attól fogva az előírt kerékvágásban haladt tovább, mint egy jól olajozott szerkezet. Egy tökéletesen determinisztikus világ képe volt ez, amelyben nincs lehetőség a véletlen számára, s amelynek jövőjét jelene egyértelműen meghatározza. Ahogy a nagy matematikus-csillagász, Pierre-Simon de Laplace ékesszólóan fejezte ki 1812-ben "A valószínűség analitikus elmélete" című műben: "Egy értelmes lény, aki minden adott pillanatban ismerné az összes, a Természetet elevenen tartó erőt és a benne lévő lények köksönös helyzetét, ha elég hatalmas értelemmel bírna, hogy adatait elemzésnek vesse alá, képes lenne egyetlen formulába sűríteni az univerzum legnagyobb testjeitől egészen a legkönnyebb atomokig mindennek a mozgását: egy ilyen értelmes lény számára semmi sem volna bizonytalan, és a jövő éppúgy, mint a múlt, jelen volna szemei előtt."

      Ugyanez a totálisan megjósolható jövőjű világról való látomás húzódik meg az egyik legemlékezetesebb jelenet mögött Douglas Adams 1979-es The Hitchhiker's Guide to the Galaxy (Galaktikus kézikönyv autóstopposoknak) című tudományosfantasztikus regényében, mikor is a két filozófus, Majikthise és Vroomfondel a "Deep Thought" (Mély gondolat) nevű szuperszámítógépnek azt az utasítást adják, számítsa kí a választ az Élet, az Univerzum és a Minden nagy kérdésére. Ötmillió évvel később a számítógép azt felelte: "Negyvenkettő", s ezen a ponton a filozófusok megértették, hogy a válasz ugyan világos és precíz, ám a kérdés nem. Hasonlóan, Laplace látomásának hibája nem a feleletében van - hogy tudniillik a világegyetem elvileg jósolható, ami nem tesz mást, csak pontosan fogalmazza meg Newton mozgástörvényének egy speciális matematikai aspektusát -, ennek a ténynek nála szereplő interpretációja azonban alapvető félreértés, ami abból származik, hogy a kérdést tette fel rosszul. Miután sikerült feltenniük az ideillő kérdést, a matematikusok és fizikusok mára eljutottak odáig, hogy értik: determinizmus és jósolhatóság nem szinonimák.

      Hétköznapi életünkben számtalan esettel találkozunk, amikor Laplace determinizmusa teljesen alkalmatlan modellnek bizonyul. Ezerszer megyünk le biztoságosan a lépcsőn, míg egyik nap kifordul a bokánk, és eltörik. Elmegyünk egy teniszmeccsre, de váratlanul elmossa az eső. A favoritra fogadunk a lóversenyen, és az elesik az utolsó sövénynél, hat hosszal a cél előtt. Ez nem az az univerzum, amelyben - ahogy Albert Einstein emlékezetesen megtagadta, hogy higgyen - Isten kockákkal játszik: inkább hasonlít egy olyan univerzumra, amelyben a kockák Istent játszanak.

      Determinisztikus lenne világunk, ahogy Laplace állította, vagy a véletlen kormányozza, ahogy oly gyakran látni véljük? És ha Laplace-nak tényleg igaza van, miért jelzi annyi tapasztalatunk, hogy nincs igaza? Az új matematikai ágak közül az egyik legizgalmasabb, a nemlineáris dinamika - népszerű nevén a káosz elmélete - állítja magáról, hogy sok efféle kérdésre megvan a válasza. Akár így van, akár nem, mindenképpen forradalmat hozott ez az elmélet gondolkodásmódunkban rendről és rendetlenségről, törvényről és szerencséről, jósolhatóságról és véletlenről.

      A modern fizika szerint a természeten a véletlen uralkodik a tér és idő legapróbb méreteiben is. Például, hogy egy radioaktív atom - mondjuk uránium - elbomlik-e adott időpillanatban, ez tisztán a véletlen műve. Nincs fizikai különbség a végül elbomló és a végül nem elbomló urániumatom közt. Nincs. Egyáltalán nincs.

      Legalább két szövegösszefüggésben tárgyalhatjuk ezeket a kérdéseket: kvantummechanikával és klasszikus mechanikával. Ennek a fejezetnek a legnagyobb része klasszikus mechanikáról szól, de egy pillanatra vegyük szemügyre a kvantummechanikai kontextust is. A kvantum-indeterminizmusnak ez a nézete provokálta ki Einsteinnek fent idézett híres mondatát (egy kollégájának, Max Bornnak írott levelében): "Ön egy olyan Istenben hisz, aki kockázik, én pedig a tökéletes törvényben és rendben hiszek." Azt gondolom, van valami gyanús a kvantum-indeterminizmus ortodox fizikai nézetében, és véleményemmel nem állok egyedül, mert egyre több fizikus kezd eltűnődni, vajon nem volt-e mindvégig igaza Einsteinnek, és nem hiányzik-e valami a hagyományos kvantummechanikából - talán "rejtett változók", amelyek értéke megmondja az atomnak, mikor bomoljon el. (Sietek hozzátenni, hogy ez nem a hagyományos nézet.) Közülük a legismertebb, David Bohm, a University of Princeton fizikusa, felépítette a kvantummechanikának egy olyan módosítását, amelyik teljesen determinisztikus, egyúttal tökéletesen összeegyeztethető minden rejtélyes jelenséggel, melyeket a hagyományos kvantum-indeterminizmus alátámasztására használtak. Bohm rendszerének megvannak a maga belső problémái, például egy bizonyos "távolhatás", ami nem kevésbé zavaró, mint a kvantum-indeterminizmus maga.

      Jóllehet a kvantummechanika érvényes a legkisebb méretekben, a tér és idő makroszkopikus méreteiben a világegyetem determinisztikus törvényeknek engedelmeskedik. Ez egy olyan jelenségből következik, amit inkoherenciának neveznek, és hatására elég nagy kvantumrendszerek elvesztik csaknem teljes indetermináltságukat, és sokkal inkább newtoni rendszerekként működnek. Valójában így újra érvényes lesz a klasszikus mechanika a legtöbb emberi nagyságrendű problémára nézve. A lovak, az időjárás és Einstein híres kockái nem a kvantummechanika miatt jósolhatatlanok. Ellenkezőleg, a newtoni modellen belül is azok! Ez talán nem olyan meglepő, ha lovakról van szó - az élőlényeknek megvannak a maguk rejtett változói, például hogy aznap milyen szénát reggeliztek. Viszont igen nagy meglepetés érte azokat a meteorológusokat, akik komoly számítógépes időjárás-szimulációs programokat fejlesztettek ki, hogy hónapokra előre jelezzék az időt. És bizony riasztó, mikor a kockák felbukkannak, pedig az emberiség makacsul a kockát használja a szerencse legkedveltebb szimbólumaként. A kocka végtére is kocka alakú, és egy feldobott kockának semmivel sem kevésbé volna szabad jósolhatónak lennie, mint egy pályáján keringő bolygónak: hiszen mindkét objektum ugyanazoknak a mechanikai mozgástörvényeknek tesz eleget. Alakjuk különböző, de ugyanolyan szabályos és matematikai jellegű.

      Hogy lássuk, miként békíthető ki jósolhatatlanság és determinizmus, gondoljunk egy, a világegyetemnél sokkal kevésbé ambíciózus rendszerre - nevezetesen a csapból csöpögő vízcseppekre. Ez egy determinisztikus rendszer: elvileg a vízfolyás állandó és egyenletes, s már kialakulása is tökéletesen leírható a folyadékáramlás törvényeivel. Mégis egy egyszerű, de látványos kísérlet megmutatja, ez a végeredményben determinisztikus rendszer rávehető, hogy jósolhatatlanul viselkedjék. Ez matematikai töprengésre késztet minket, amelynek során magyarázatot találunk, vajon miért lehetséges egy ilyen paradoxon.

      Ha egy csapot nagyon finoman megnyitunk, és várunk néhány másodpercet, hogy a vízfolyás nyugodttá váljon, általában vízcseppek szabályos sorozatát kapjuk, amelyek szabályos ritmusban csöpögnek le. Nehéz ennél megjósolhatóbbat találnunk. Ha azonban lassan elforgatjuk a csapot, hogy a vízfolyás erősségét növeljük, be tudjuk úgy állítani, hogy a vízcseppek sorozata valami egészen szabálytalan ritmusban essen le, úgy, hogy már véletlenszerűnek lehessen hallani. Belekerül egy kis kísérletezésbe, hogy ez valóban sikerüljön, és jó, ha a csap simán forog. Ne fordítsuk el annyira, hogy a víz folytonos áramban jöjjön; közepes sebességű csepegésre van szükségünk. Ha jól állítottuk be, percekig hallgathatjuk, anélkül, hogy bármilyen minta kivehető volna.

      1978-ban egy csapat tekintélyromboló fiatal, a kaliforniai egyetemen végzett hallgató Santa Cruzban megalapította a Dínamikus Rendszerek Kollektíváját. Amikor elkezdtek ezen a vízcsepprendszeren gondolkozni, rájöttek, hogy nem is olyan véletlenszerű, mint amilyennek látszik. Mikrofonnal rögzítették a csepegés zajait, és elemezték az egymást követő cseppek közti intervallumok sorozatát. Rövid távú jósolhatóságot tapasztaltak. Ha elmondom az időket négy egymás utáni cseppre, önök is meg tudják mondani, mikor esik le a következő csepp. Például, ha az utolsó három intervallum 0,63, 1,17 és 0,44 másodperc volt, biztosak lehetünk benne, hogy a következő csepp 0,82 másodperccel később esik le. (Ezek a számok csak illusztrációul szolgálnak.) Valójában ha pontosan ismerjük az első négy csepp időadatait, a rendszer egész jövőjét előre jelezni tudjuk.

      Akkor hát miért is nincs igaza Laplace-nak? A lényeg az, hogy egy rendszer kezdeti állapotát sosem tudjuk pontosan megmérni! A legprecízebb mérések, amelyeket bármilyen fizikai rendszerben valaha is végeztek, körülbelül tíz-tizenkét tizedesjegy pontosságot értek el. De Laplace állítása csak úgy korrekt, ha végtelen nagy pontossággal tudunk mérni - és ez persze lehetetlen. Tudtak a mérési hibának erről a problémájáról Laplace korában is, de általában feltételezték, hogy ha a kezdeti mérések mondjuk tíz jegyre pontosak, akkor az ebből levezetett előrejelzések is ugyanilyenek lesznek. Vagyis azt hitték, hogy bár a hiba nem tűnik el, sohasem növekszik.

      Sajnos növekszik. Ez pedig megakadályoz minket abban, hogy rövid távú előrejelzések egy sorozatát hosszú távú előrejelzéssé fűzzük össze. Tegyük fel például, hogy az első négy vízcsepp időadatait tíz jegy pontossággal ismerem. Ekkor a következő csepp leesésének időpontját kilenc jegy pontossággal tudom meghatározni, a következőét nyolc jegy pontossággal, és így tovább. Minden lépésben a hiba hozzávetőleg egy tizes faktorral nő, a megbízhatóságból tehát egy további tizedeshelyet veszítek. Így aztán tíz lépés után már sejtelmem sincs, mikor érkezik a következő vízcsepp. (Ismét meg kell jegyezzük, hogy a valódi adatok bizonyára mások: lehet, hogy féltucat csepp is kell, hogy egy tizedesnyi pontosságot veszítsünk, de még ekkor is elég hatvan csepp, hogy a fenti probléma előálljon.)

      A hibának ez a felerősödése kelti azt a logikai rést, amin át Laplace tökéletes determinizmusa eltűnik. A mérésnek semmilyen tökéletesítése sem lesz elgendő. Ha az időbeli viszonyokat száz tizedesjegyig tudnánk mérni, már mindössze száz csepp után a jóslatunk hibás lesz (vagy hatszáz csepp után, egy optimistább becslés mellett). Ennek a jelenségnek a neve "érzékenység a kezdeti feltételekre" vagy a "pillangó effektus". (Amikor egy pillangó Tokióban meglebegteti a szárnyát, az eredmény esetleg egy hurrikán Floridában egy hónappal később.) Mindez szorosan összefügg a viselkedés nagyfokú szabálytalanságával. Minden, ami valóban szabályos, definíciója szerint jósolható, míg az érzékenység a kezdeti feltételekre jósolhatatlan viselkedéssel jár - következésképp szabálytalan. Ez az oka, hogy egy rendszert, amelyik érzékeny a kezdeti feltételekre, kaotikusnak hívunk. A kaotikus viselkedés determinisztikus törvényeknek tesz eleget, de annyira szabálytalan, hogy a gyakorlatlan szem egészen véletlenszerűnek látja. A káosz nem egyszerűen komplikált, minta nélküli viselkedés: ravaszabb annál. A káosz látszólag komplikált, látszólag minta nélküli viselkedés, aminek valójában van egy egyszerű, determinisztikus magyarázata.

      A káosz felfedezése túl sok ember nevéhez fűződik, ahhoz, hogy itt felsoroljuk őket. Nagyjából azt mondhatjuk, hogy három külön fejlemény összekapcsolódásának köszönhetjük. Az egyik a tudományos figyelem elfordulása volt az egyszerű mintáktól (amilyenek az ismétlődő ciklusok) az összetettebb viselkedésfajták felé. A második a számítógép, amely lehetővé tette, hogy könnyen és gyorsan közelítő megoldást találjanak dinamikai egyenletekre. A harmadik pedig a dinamika egy matematikai felfogása volt - a numerikus helyett inkább geometriai felfogás. Az első motivációt szolgáltatott, a második technikát, a harmadik a dolgok jobb megértését.

      A dinamika geometrizálása körülbelül egy évszázada kezdődött el, amikor Henri Poincaré francia matematikus - a legkülöncebb különc, de olyan ragyogó elme, hogy nézetei általában majdnem egyik napról a másikra kötelezővé váltak - bevezette a fázistér fogalmát. Ez képzeletbeli matematikai tér, amely reprezentálja egy adott dinamikai rendszer összes lehetséges mozgását. Hogy egy nemmechanikai példát vegyünk, nézzük meg egy ragadozó-zsákmány típusú ökológiai rendszer dinamikáját. A ragadozók vaddisznók, a zsákmány pedig egy bizonyos csípős gombafajta, a szarvasgomba. A számunkra fontos változók a két populáció mérete - a vaddisznók száma (valamilyen referenciaértékhez képest, mondjuk egymillióhoz) és a szarvasgombák száma (ugyanígy). Ez a választás lényegében folytonossá teszi a változókat - azaz felvehetnek valós számértékeket is tizedesjegyekkel, nemcsak egészeket. Például ha a vaddisznók referenciaértéke egymillió, akkor egy 17.439 állatból álló populáció a 0,017439 értéknek fog megfelelni. Mármost, a szarvasgombák számának növekedése attól függ, hány gomba van, és hogy a vaddisznók milyen gyorsan eszik a gombát; a vaddisznó-populáció növekedése attól függ, mennyi vaddisznó van, és hogy mennyi gombát esznek. Eszerint mindegyik változó változásmértéke függ mindkét változótól, s ezt az észrevételt egy differenciálegyenlet-rendszer felírására használhatjuk fel, amely a populáció dinamikáját írja le. Nem fogom itt tárgyalni az egyenleteket, mert a mi szempontunkból nem érdekesek: csak az, hogy mihez kezdünk velük.

      Ezek az egyenletek határozzák meg - elvileg -, hogy miképp változik bármilyen kezdeti populáció az időben. Például ha 17.439 vaddisznóval és 788.444 gombával indulunk, akkor a 0,017439 és a 0,788444 értékeket írjuk fel a két változó kezdeti értékeként, és az egyenletek implicit módon megmondják, hogyan változnak ezek a számok. A nehézség abban áll, hogy az implicitet explicitté kell tenni: meg kell oldani az egyenleteket. De milyen értelemben? Egy klasszikus matematikus természetes reflexe az volna, hogy képletet keres, amely pontosan leírja, adott időpillanatban hány disznó és hány gomba van. Sajnos, ilyen "explicit megoldások" annyira ritkán adódnak, hogy alig éri meg a fáradságot keresni őket, hacsak az egyenletek nem nagyon speciális alakúak. Egy másik lehetőség számítógép segítségével közelítő megoldásokat keresni; azonban ebből csak azt tudjuk meg, hogy mi a helyzet a konkrét kezdeti értékekre, mi viszont ezt sok kezdeti értékre szeretnénk tudni.

      Poincaré ötlete a következő: rajzoljunk egy ábrát, amely megmutatja, mi történik bármilyen kezdeti értékek mellett. A rendszer állapota - a két populáció mérete valamilyen időpillanatban - ábrázolható egy síkbeli ponttal, a régi koordinátás trükköt használva. Például a vaddisznópopulációt reprezentálhatjuk a vízszintes, a gombapopulációt függőleges koordinátával. A fent leírt kezdeti állapot a 0,017439 vízszintes koordinátájú és a 0,788444 függőleges koordinátájú pontnak felel meg. Az idő múlásával két koordináta pillanatról pillanatra változik, a differenciálegyenlet által kifejezett szabály szerint, így a megfelelő pont mozog. Egy mozgó pont görbét ír le; és ez görbe az egész rendszer jövőbeli viselkedésének vizuális ábrázolása. Valóban, megnézve a görbét, a dinamika fontos jellemzőit "láthatjuk", anélkül, hogy a koordináták aktuális értékével kellene törődnünk.

      Például ha a görbe hurokká záródik, akkor a két populáció periodikus ciklust ír le, s újra és újra ugyanazokat az értékeket ismétli - ahogy egy kocsi a lóversenypályán minden futamban ugyanazok előtt a nézők előtt megy el. Ha a görbe meglátogat néhány pontot, és aztán megáll, akkor a populációk megállapodnak egy stabil állapotban, amiben semmi sem változik mint az autó, ha kifogyott belőle a benzin. Szerencsés egybeesés miatt a ciklusoknak és a stabil állapotoknak van ökológiai jelentőségük - többek között mindkettő felső és alsó korlátokat állít be a populációk méretére: Így azok a jellegek, amelyeket a szem könnyedén leolvas az ábráról, pontosan megegyeznek a folyamat valóságos jellegével. Továbbá, sok lényegtelen részletet figyelmen kívül hagyhatunk: például, látjuk, hogy zárt hurok alakult ki, anélkül, hogy alakját pontosan kiszámítanánk (ami a két populációs ciklus összekombinált "hullámformája").

      Mi történik, ha kipróbálunk egy másik kezdeti-érték párt? Kapunk egy második görbét. Minden kezdeti-érték pár definiál egy új görbét; és átfoghatjuk a rendszer összes lehetséges viselkedését az összes kezdeti értékre, ha az ilyen görbék teljes halmazát felrajzoljuk. Ez a görbehalmaz hasonlít egy képzeletbeli matematikai folyadék áramvonalaira, amely a síkon örvénylik mindenfele. A síkot a rendszer fázisterének hívjuk, az összes örvénylő görbe halmazát fázisportrénak. Ahelyett, hogy lenne egy szimbólum alapú fogalmunk a differenciálegyenletről különböző kezdeti feltételek mellett, van egy geometriai, vizuális sémánk pontokról, amelyek a vaddisznó/gomba téren végigáramlanak. Az eredeti síktól csak abban különbözik, hogy sok pontja inkább potenciális, mint aktuális: koordinátáik olyan számoknak felelnek meg, amelyek megjelenhetnek, megfelelő kezdeti feltételek mellett, de adott esetben hiányozhatnak is. Tehát, a szimbólumoktól a geometria felé való tudati eltolódáshoz hasonlóan, létezik egy filozófiai eltolódás is, az aktuálistól a potenciális felé.

      Ugyanilyen geometriai ábra képzelhető el bármely dinamikus rendszerre. Van egy fázistér, amelynek koordinátái az összes változók értékei; és van egy fázisportré, örvénylő görbék rendszere, amely az összes lehetséges viselkedést képviseli lehetséges kezdeti feltétel mellett, és amelyet a differenciálegyenletek írnak le. Ez az idea nagy előnnyel jár, mert ahelyett, hogy az egyenletek megoldásainak pontos számszerű részleteivel bajlódnánk, figyelmünket a fázisportré széles spektrumára irányíthatjuk, s így értékesíteni tudjuk az emberiség legnagyobb kincsét, varázslatos képalkotó képességét. A fázistér képe, mint a lehetséges viselkedések teljes skálájának szervezési módja, amely skálából a természet választja ki az aktuálisat, a tudományban igen elterjedtté vált.

      Poincaré nagy újításának eredménye, hogy a dinamika láthatóvá tehető az attraktoroknak nevezett geometriai alakzatok segítségével. Ha elindítunk egy dinamikus rendszert valamilyen kezdőpontból, és megfigyeljük, mi történik vele hosszú távon, gyakran tapasztaljuk: végül valamilyen jól meghatározott alakzat mentén vándorol körbe a fázistérben. Például a görbe egyszer csak rákerülhet egy zárt hurokra, és attól kezdve e hurok mentén megy körbe- körbe. Továbbá, különböző kezdeti feltételek vezethetnek ugyanahhoz a végső alakzathoz. Ebben az esetben az alakzatot attraktornak hívjuk. Egy rendszer hosszú távú dinamikáját az attraktorai irányítják, és az attraktor alakja határozza meg, milyen fajta dinamika érvényesül.

      Például, ha egy rendszer végül megmarad stacionárius (állandósult) állapotban, attraktora egy pont. Ha a rendszer végül periodikusan ugyanazt a viselkedést ismétli, attraktora valamilyen zárt hurok. Vagyis a zárt hurok alakú attraktorok az oszcillátoroknak felelnek meg. Emlékezzünk a rezgő hegedűhúr leírására az 5. fejezetből; a húr mozgások egy olyan sorozatán megy keresztül, ami végül visszaviszi oda, ahonnét elindult, s innen kezdve akárhányszor kész megismételni a sorozatot. Nem azt állítottam, hogy a hegedűhúr fizikailag hurok mentén mozog. Hanem a róla szóló leírásom olyan, mint egy zárt hurok képletes értelemben: a mozgás körutazást tesz egy fázistér dinamikai tájképén.

      A káosznak megvan a maga meglehetősen különös geometriája: különös attraktorok nevű furcsa fraktál-alakzatokhoz kapcsolódik. A pillangó- effektusból következik, hogy egy furcsa attraktoron a mozgást részletesen nem tudjuk előre meghatározni. Ez azonban nem változtat a tényen, hogy ez egy attraktor. Képzeljük el, hogy beleengedünk egy pingponglabdát a viharos tengerbe. Akár a levegőből dobjuk be, akár a víz alól engedjük fel, a labda a felszín irányába mozog. Ha már elérte a felszínt, nagyon bonyolult utat jár be a dagadó hullámokon, de bármilyen bonyolult is ez az út, a labda ott marad a felszínen - vagy legalábbis nagyon közel hozzá. Ebben a képben a tenger felszíne az attraktor. Így aztán, a káosz ellenére, a kezdőponttól függetlenül, a rendszer az attraktorához igen közel végzi majd.

      A káosz, mint matematikai fogalom, jól megalapozott, de hogy vegyük észre a valóságos világban? Kísérleteket kell végeznünk - van azonban itt egy probléma. A kísérletek hagyományos szerepe a természettudományban az elméleti előrejelzések tesztelése, de ha éppen működik a pillangó-effektus - ahogy működik minden kaotikus rendszerben -, hogyan remélhetjük, hogy teszteljünk egy előrejelzést? Nem eredendően tesztelhetetlen a káosz, s így tudománytalan?

      A válasz határozott nem, mivel az előrejelzés szónak két jelentése van.

      Az egyik "előre megmondani a jövőt", és a pillangó-effektus ezt megakadályozza, ha káoszról van szó. De a másik jelentés "előre leírni, mi lesz egy kísérlet kimenetele". Gondoljunk arra, amikor százszor dobunk fel egy érmét. Hogy előre jelezzük - az első értelemben -, mi történik, előre fel kéne sorolnunk minden dobás eredményét. De olyan tudományos előrejelzéseket is tehetünk, mint "a dobásoknak kb. a fele fej lesz", anélkül, hogy előre részletesen megmondanánk a jövőt - még akkor is, ha, mint itt, a rendszer véletlenszerű. Senki sem állítja, hogy a statisztika tudománytalan, csak mert részletesen előre meg nem mondható eseményekkel foglalkozik, tehát a káoszt is ugyanígy kell kezelnünk. Mindenféle előrejelzést adhatunk egy kaotikus rendszerről: valójában annyit is, hogy így megkülönböztessük a determinisztikus káoszt a valódi véletlentől. Az egyik dolog, amit gyakran előre jelezhetünk, az attraktor alakja, amin a pillangó-effektus nem változtat. A pillangó-effektus mindössze azt befolyásolja, hogy a rendszer az attraktoron belül hogyan mozogjon. Emiatt az attraktor általános alakja gyakran kikövetkeztethető kísérleti megfigyelésekből.

      A káosz felfedezése rávilágított egy alapvető félreértésünkre arról az összefüggésről, ami fennáll a szabályok és az általuk kiváltott viselkedés - ok és okozat - között. Addig úgy hittük, hogy determinisztikus okok mindig szabályos okozatokat hoznak létre, most azonban azt látjuk, hogy létrehozhatnak egészen szabálytalan okozatokat is, amelyek könnyen összetéveszthetők a véletlennel. Úgy hittük, hogy egyszerű okok egyszerű okozatokat vonnak maguk után (ami azt is jelenti, hogy összetett okozatoknak komplex oka van), most azonban már tudjuk, hogy az egyszerű okok maguk után vonhatnak összetett okozatokat is. Most értjük meg, hogy a szabályok ismerete még nem elegendő az eljövendő viselkedés megjóslásához.

      Hogyan áll elő ez a meg nem egyezés ok és okozat között? Miért hoznak létre ugyanazok az okok néha kézenfekvő mintákat, néha pedig káoszt? A felelet megtalálható minden konyhában, egy egyszerű mechanikus eszköz, a habverő használatában. A két verőrész mozgása egyszerű és előrejelezhető, épp ahogy Laplace elvárta: mindkét verőrész folyamatosan forog. Viszont a cukor és a tojásfehérje mozgása a tálban jóval bonyolultabb.

      A két anyag összekeveredik - ezért van a habverő. De a két verőrész nem keveredik össze - nem kell őket szétválasztani, mikor végeztünk. Miért olyan különböző a hab mozgása a habverőkétől? A keverés sokkal bonyolultabb, dinamikusabb folyamat, mint hinnénk. Képzeljük el, hogy megpróbálnánk egy adott cukorszemecskéről előre megmondani, hol lesz a keverés végén! Ahogy a keverék a két verőrész között elmegy, széthúzódik, balra és jobbra, és két cukorszemecske, amelyek egymáshoz nagyon közel indultak el, hamarosan távol kerülnek egymástól, és független utakat járnak be. Valójában ezt is a pillangó-effektus működése okozza - apró változások a kezdeti feltételekben nagy hatásokkal járnak. A keverés tehát kaotikus folyamat.

      Megfordítva, minden kaotikus folyamat együtt jár egyfajta matematikai keveréssel Poincaré képzeletbeli fázisterében. Emiatt van, hogy az ár előrejelezhető, míg az időjárás nem. Ugyanolyan fajta matematika kell hozzájuk, de az ár dinamikája nem keveri össze a fázisteret, az időjárásé igen.

      Nem az a fontos, mit csinálunk, hanem hogy hogyan csináljuk.

      A káosz felborítja kényelmes feltevéseinket arról, hogyan működik a világ. Arról tudósít, hogy az univerzum sokkal különösebb, mint hisszük. Kételyeket ébreszt sok hagyományos tudományos módszer iránt: nem elég többé pusztán ismerni a természet törvényeit. Másrészt arról is tudósít, hogy bizonyos véletlenszerűnek hitt dolgok esetleg egyszerű törvényeknek engedelmeskednek. A természet káoszát törvények szabják meg. A múltban a tudomány hajlott arra, hogy ne vegyen tudomást a véletlenszerűnek tűnő eseményekről vagy jelenségekről, olyan kiindulásból, hogy nincs kézenfekvő minta, s így bizonyára nem egyszerű törvények irányítják őket. Ez nem így van. Akadnak egyszerű törvények, épp az orrunk előtt - azok a törvények, amelyek befolyásolják a járványos betegségeket vagy a szívrohamot, esetleg a sáskajárást. Ha megismerjük e törvényeket, talán meg tudjuk akadályozni az őket követő katasztrófákat.

      Már maga a káosz is megmutatott nekünk új törvényeket, egész új törvénytípusokat. A káosz új univerzális minták egy sajátos fajtáját tartalmazza. Az első ilyen mindjárt a csepegő csappal kapcsolatos. Emlékezzünk rá, hogy a csap csöpöghet ritmikusan és kaotikusan, a folyás sebességétől függően. Valójában a szabályos csöpögés és a "véletlen" ugyanazon matematikai előírás két csekély mértékben különböző variánsa. De ahogy a folyás sebessége nő, a dinamika típusa megváltozik. Az attraktor a dinamikát képviselő fázistérben folyamatosan változik - mégpedig előrejelezhető, de nagyon bonyolult módon.

      Kezdjük egy szabályosan csepegő csappal: ismétlődő csöpp-csöpp-csöpp- csöpp ritmus, minden csepp szakasztott, mint az előző. Nyissuk ezek után kicsit erősebbre a csapot, hogy a cseppek valamivel gyorsabban jöjjenek. Most a ritmus csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP, és minden második cseppnél megismétlődik. Nemcsak a cseppméret változik, ami a csepp hangját befolyásolja, hanem valamennyire a két csepp között eltelt idő is.

      Ha még egy kicsit gyorsabb vízfolyást engedünk meg, négycseppes ritmust kapunk: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Legyen kicsit még gyorsabb, és nyolc cseppes ritmus alakul ki: csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP-csöpp-CSÖPP. Az ismétlődő cseppsorozatok hossza továbbra is megkettőződik. Matematikailag ez a folyamat a végtelenségig folytatódik, 16, 32, 64 cseppből álló csoportok, és így tovább. Viszont a folyási sebességnek egyre parányibb változtatása fogja eredényezni ezt a kettőződést, míg végül olyan folyási sebességhez jutunk, aminél a csoport mérete végtelenszer duplázódott. Ekkor nincs cseppsorozat, ami ugyanazt a mintát ismételné. Ez a káosz.

      A történteket ki tudjuk fejezni Poincaré geometriai nyelvén. A csap attraktora zárt hurokkal kezdődik, ami egy periodikus ciklust képvisel. Képzeljük a hurkot ujjunk köré tekert rugalmas szalagnak. Ahogy a folyási sebesség megnő, ez a hurok két szomszédos hurokká osztódik, mintha rugalmas szalagot tekertünk volna az ujjunk köré. A szalag kétszer olyan hosszú, mint az eredeti, ezért lesz a periódus kétszer olyan hosszú. Ekkor, pontosan úgy, mint az előbb, ez a már megkettőződött hurok újra megkettőződik, végig a hossza mentén, hogy négyperiódusú kört alkosson, és így tovább. Végtelen sok kettőződés után ujjunk ki van dekorálva rugalmas spagettivel, egy kaotikus attraktorral.

      A forgatókönyvet a káosz előállítására periódus-kettőző kaszkádnak hívják. 1975-ben Mitchell Feigenbaum fizikus fedezte fel, hogy van egy speciális, kísérletileg megmérhető szám, amely kapcsolatos e kaszkádokkal. Ez a szám körülbelül 4,669, és egy sorba helyezhető a (Pi)-vel, mint azok a különös számok, amelyek rendkívüli jelentőségűnek látszanak mind a matematikában, mind a természeti világhoz való viszonyukban. A Feigenbaum- féle számra egy szimbólumot is használ nak: a görög (delta) betűt. A (Pi) azt mondja meg, hogyan aránylik a kör kerülete az átmérőjéhez. Analóg módon, Feigenbaum (delta) száma azt mondja meg, hogyan aránylik a cseppek periódusa a vízfolyás sebességéhez. Hogy pontosak legyünk, a tényező, ami azt mutatja meg, hogy hányszor kell gyorsabbra állítanunk a vízfolyást, minden perióduskettőzéskor egy 4,669 faktorral csökken.

      A (Pi) szám mennyiségi jellemzője mindennek, ami körökkel kapcsolatos. Ugyanígy, a Feigenbaum féle (delta) szám mennyiségi jellemzője minden periódus-kettőző kaszkádnak, függetlenül attól, hogy miképp állítható elő, vagy kísérletileg hogyan realizálható. Ugyanez a szám mutatkozik meg azokban a kísérletekben is, amelyeket cseppfolyós héliummal, vízzel, elektromos áramkörökkel, ingákkal, mágnesekkel és rezgő vonatkerekekkel végeztek.

      Ez egy új univerzális minta a természetben, amelyet csak a káosz szemüvegén keresztül vehetünk észre, mennyiségi jellemző, egy szám, amely egy minőségi jellegű folyamatból származik. Valóban a természet számainak egyike. A Feigenbaum-féle szám új matematikai világra nyitott kaput, amit csak most kezdtünk el kutatni.

      A Feigenbaum által megtalált pontos minta és más hasonló minták a finom részleteken múlnak. A lényeg, hogy még ha a természeti törvények következményei minta nélkülinek látszanak is, ezek a törvények léteznek, és a minták is. A káosz nem véletlenszerű: látszólag véletlen viselkedésforma, ami pontos szabályok eredménye. A káosz a rend egy rejtélyes formája.

      A tudomány mindig is értékelte a rendet, de kezdjük észrevenni, hogy a káosz a tudománynak más előnyöket képes kölcsönözni. A káosz könnyebbé teszi a gyors választ a külső ingerekre. Gondoljunk csak a teniszjátékosra, aki épp egy szervára vár. Nyugodtan áll? Szabályosan egyik oldalról a másikra mozog? Természetesen nem. Hanem szabálytalanul táncol egyik lábáról a másikra. Részben megpróbálja megzavarni ellenfelét, de egyben arra is fel van készülve, hogy akármilyen neki küldött szervát visszaadjon. Hogy bármilyen irányba gyorsan el tudjon mozdulni, gyors mozdulatokat tesz sok különböző irányba. Egy kaotikus rendszer sokkal gyorsabban és kevesebb erőfeszítéssel tud válaszolni a külső eseményekre, mint egy nemkaotikus. Ez fontos a műszaki vezérlés problémáinál. Például ma már tudjuk, hogy bizonyos fajta turbulenciák a káoszból származnak - emiatt látszik a turbulencia véletlenszerűnek. Lehetségesnek mutatkozik, hogy a repülőgép felületét elhagyó légáramot sokkal kevésbé turbulenssé, s így a mozgást kevésbé akadályozóvá tegyük, ha olyan vezérlő mechanizmusokat szerelünk föl, amelyek igen gyorsan válaszolnak bármilyen kezdődő kicsi turbulenciára, kiiktatva azt. Az élőlényeknek is kaotikusan kell viselkedniük ahhoz, hogy gyorsan válaszoljanak egy változó környezet ingereire.

      Ezt a gondolatot nagyon hasznos gyakorlati technikára váltotta be mateinatikusok és fizikusok egy csoportja, többek közt William Ditto, Alan Garfinkel és Jim Yorke. A módszert kaotikus vezérlésnek nevezték el. Az ötlet lényegében az, hogy a pillangó-effektust a magunk hasznára fordítjuk. A tény, miszerint kicsi változások a kezdeti feltételekben nagy változásokat eredményeznek a további viselkedésben, előny lehet; csak annyit kell tennünk, hogy biztosítjuk: elérjük azt a nagy változást, amit akartunk. A kaotikus dinamika működésének megértése lehetővé teszi, hogy vezérlési stratégiákat dolgozzunk ki, amelyek épp ezt teszik. A módszer sok sikert ért el. Az űrjárművek egy hidrazin nevű üzemanyagot használnak a pályakorrekcióhoz. A kaotikus vezérlés egyik legkorábbi sikere volt, hogy egy lerobbant mesterséges holdat pályájáról letérítettek, és elérték, hogy találkozzék egy kisbolygóval, s mindezt annak a csekély mennyiségű hidrazinnak a segítségével, ami a fedélzeten megmaradt. A NASA ötször "lengette meg" a Hold körül, úgy, hogy mindig egy egész kicsi hidrazinadagot használt, s finoman odébblökte. Több ilyen találkozást valósítottak meg, egy olyan művelet révén, amely ügyesen aknázta ki a káosz fellépését a három- test problémában (itt Föld/Hold/mesterséges hold), valamint az ezzel kapcsolatos pillangó-effektust.

      Ugyanezt a matematikai ötletet használták, hogy mágnesszalagot vezéreljenek egy turbulens folyadékban - ami mintául szolgált tengeralattjárót és repülőgépet elhagyó turbulens folyadék vezérléséhez. Kaotikus vezérlést használtak, hogy egy szabálytalanul verő szívet visszatérítsenek a szabályos ritmusra, előrevetítve az intelligens pacemaker felfedezését. Nemrég arra alkalmazták, hogy az elektromos aktivitás ritmikus hullámait fölkeltse, illetve megakadályozza az agyszövetben, s ezzel lehetőség nyílt az epileptikus rohamok megelőzésére.

      A káosz fejlődő ipar. Ma már minden héten adódnak új felfedezések a káosz matematikai alapjairól vagy a káosz új hozzájárulásai a természeti világ jobb megértéséhez, avagy a káosz új technológiai alkalmazásai, beleértve a kaotikus edénymosogatót is, egy japán találmányt, amelynek két forgó karja van, ezek pörögnek is, méghozzá kaotikusan, hogy az edényt tisztábbra mossák, kevesebb energiával; és egy angol gép, amely káosz-elméleti alapú adatelemzést végez, hogy egy rugógyárban jobbá tegye a minőség-ellenőrzést.

      De még sok a teendő. A káosznak talán a legutolsó megoldatlan problémája a kvantumok furcsa világa, ahol Szerencse Asszony uralkodik. A radioaktív atomok "véletlenszerűen" bomlanak el; minden szabályosságuk csak statisztikai jellegű. Nagy mennyiségű radioaktív atom egy jól meghatározott felezési idővel jellemezhető - ez egy olyan időperiódus, ami alatt az atomok fele el fog bomlani. Csakhogy nem tudjuk előre megmondani, melyik fele. Albert Einstein fent említett tiltakozása éppen erre a kérdésre vonatkozott. Tényleg egyáltalán nem lenne különbség a végül el nem bomló és a végül elbomló radioaktív atom között? Akkor honnan tudja az atom, hogy mit tegyen?

      Lehet a kvantummechanika látszólagos véletlenszerűsége csalóka? Tényleg nem más, mint determinisztikus káosz? Képzeljük el az atomot kozmikus folyadék egy rezgő cseppjének. A radioaktív atomok nagyon erősen rezegnek, és könnyen leválhat egy kisebb csepp - elbomolhat. Az atomok olyan gyorsan rezegnek, hogy nem tudjuk külön-külön megmérni a sebességüket: csak kiátlagolt mennyiségeket tudunk mérni, például energiaszinteket. Mármost, a klasszikus mechanika arra tanít, hogy valódi folyadék egy cseppje rezeghet kaotikusan. Ilyenkor mozgása determinisztikus, de nem előre jelezhető. Alkalmanként, "véletlenül", a rezgések összefognak és leválasztanak egy apró cseppecskét. A pillangó-effektus lehetetlenné teszi, hogy előre megmondjuk, mikor válik le a csepp; de ennek az eseménynek pontos statisztikai jellemzői vannak, beleértve egy jól meghatározott felezési időt is.

      Lehetne a radioaktív atomok látszólag véletlenszerű elbomlása valami hasonló, csak mikrokozmikus méretekben? És különben is, miért vannak statisztikai szabálytalanságok egyáltalán? Talán nyomai egy mélyenfekvő determinizmusnak? Milyen egyéb helyről származhatnának a statisztikai szabályosságok? Sajnos ezt a csábító ötletet még senki sem próbálta kidolgozni - pedig szellemében rokon a "szuperhúrok" divatos elméletével, amelyben az atomnál kisebb részecske egyfajta felhangolt rezgő sokdimenziós húr. Itt a legfőbb közös jellemvonás, hogy mind a rezgő húr, mind a rezgő csepp behoz egy új "belső változót" a fizikai modellbe. A jelentős különbség a két megközelítés közt abban áll, ahogy a kvantumindeterminációt kezelik. A szuperhúr-elmélet, mint a hagyományos kvantummechanika is, az indeterminációt eredendően a véletlenből származónak tekinti. Ugyanakkor egy olyan rendszerben, mint a csepp, a látszólagos indetermináció valójában egy determinisztikus, bár kaotikus dinamika eredménye. A trükk - ha sejtenénk, hogyan kellene nyélbe ütni - az lenne, hogy keresnénk egy struktúrát, amely a szuperhúr-elmélet kedvező tulajdonságait megőrzi, míg egyes belső változók viselkedését kaotikussá teszi. Csábító módja lenne ez annak, hogy az Istenség kockáját determinisztikussá varázsoljuk és Einstein szellemét boldoggá tegyük.