Megalapoztuk hát a vitathatatlan tételt: a természet tele van mintákkal. De
mihez kezdünk ezzel a felismeréssel? Megtehetjük, hogy leülünk és csodáljuk
őket. Beszélgetni a természettel, ez mindannyiunknak jót tesz: emlékeztet
arra, miből vagyunk. A festő, a szobrász és a költő a világ és önmagunk
iránti érzéseket fejezik ki. A vállalkozót ösztöne a természet kiaknázására
hajtja. A mérnököt a megváltoztatására. A tudóst a megértésére, működésének
megismerésére. A matematikust a megértés folyamatának átstrukturálására,
olyan általánosítások keresésére, amelyek átszabják a világ kézenfekvő
felosztását. Mindegyik ösztönből van bennünk valami, s mindegyik ösztönnek
van jó és rossz oldala.
Meg szeretném mutatni önöknek, mit használt a matematikus ösztön az
emberi értésnek, de előbb rá szeretnék mutatni az emberi kultúrában játszott
szerepére. Mielőtt megveszünk valamit, általában meglehetősen világos
elképzelésünk van arról, hogy mire használjuk. Ha hűtőgép, akkor persze
élelem tartósítására, de valójában sokkal több dolgot végiggondolunk. Mennyi
élelem tárolható benne? Hova illik a lakásban? Ez nem mindig hasznosság
kérdése: gondolhatunk mondjuk festmény vásárlására is. Megkérdezzük
magunktól, hová fogjuk akasztani, és vajon az esztétikai értéke arányos-e az
árával. Ugyanez a helyzet a matematikával - és minden más intellektuális
világszemlélettel, legyen az természettudományos, politikai vagy vallásos.
Mielőtt megveszünk valamit, bölcs dolog eldönteni, mire akarjuk használni.
Tehát, mire jó a matematika?
A természet minden mintája rejtvény, és majdnem mindig nehéz. A
matematika ragyogóan tud segíteni a rejtvényfejtésben. Többé-kevésbé
szisztematikus módszer ez arra, hogy megtaláljuk a törvényeket és
struktúrákat, amelyek egy megfigyelt minta vagy szabályosság mögött
rejlenek, és ezek segítségével megmagyarázza a történéseket. Valóban, a
matematika és a természet megértése egymás mellett, egymást erősítve
fejlődtek. Említettem Kepler elemzését a hópelyhekről, de az ő leghíresebb
felfedezése a bolygópályák alakja volt. Miután matematikailag elemezte Tycho
Brahe, a kortárs dán csillagász megfigyeléseit, Kepler egyértelműen arra a
következtetésre jutott, hogy a bolygók ellipszispályán mozognak. Az
ellipszis tojás alakú görbe, amelyet az ókori görögök sokat tanulmányoztak,
de a bolygópályák leírásához ők inkább köröket és körrendszereket
használtak, így Kepler modellje a maga korában gyökeresen újnak számított.
Az emberek mindig annak fényében értelmezik az új felfedezéseket, hogy
mit tartanak fontosnak. Amikor Kepler új ideájáról tudomást szereztek, a
csillagászok számára ez azt jelentette: a görög geometria sokáig elhanyagolt
fogalmai segítségükre lehetnek a bolygómozgások előrejelzésében. Nem volt
szükségük nagy fantáziára ahhoz, hogy felmérjék, milyen óriási előrelépés
Kepler felismerése. Mindenfajta csillagászati jelenség, napfogyatkozás,
holdfogyatkozás, meteorhullás, üstökösök, ugyanolyan fajta matematikára
vezetnek. Az üzenet a matematikusok számára ezzel szemben egészen más volt.
Mégpedig: az ellipszisek valóban érdekes görbék. Nekik sem volt nagy
képzelőerőre szükségük, hogy felmérjék: a görbék általános elmélete még
érdekesebb volna. Sikerült módosítaniuk az ellipszishez vezető geometriai
szabályokat, hogy más görbéket is kapjanak.
Hasonlóképpen, mikor Isaac Newton megtette diadalmas felfedezését, amely
szerint valamely tárgy mozgása leírható a testre ható erők és a gyorsulása
közötti matematikai összefüggéssel, a matematikusok és a fizikusok megint
csak más-más tanulságot vontak le. Mielőtt azonban ezekre a tanulságokra
rátérek, el kell magyaráznom, mi a gyorsulás. A gyorsulás ravasz fogalom:
nem alapmennyiség, mint a hossz vagy a tömeg, hanem egy változás mértéke.
Valójában egy változásmérték változásának mértéke. Valamely test sebessége -
a gyorsaság, amivel adott irányban halad - változásmérték: annak mértéke,
ahogyan a test adott ponttól vett távolsága változik. Ha egy autó óránként
90 km-es állandó sebességgel halad, akkor a kiindulópontjától mért távolsága
minden órában 90 km-rel változik. A gyorsulás a sebesség változásának
mértéke. Ha a kocsi sebessége óránként 90 km-ről óránként 100 km-re nő, a
kocsi meghatározott mértékben gyorsul. Ez a mérték nemcsak a kezdeti és
végsebességtől függ, hanem attól is, milyen gyorsan következett be a
változás. Ha a kocsinak egy órára volt szüksége, hogy sebességét óránként 10
km-rel növelje, a gyorsulás nagyon kicsi; ha ugyanez csak tíz másodpercet
igényel, a gyorsulás sokkal nagyobb.
Nem kívánom taglalni a gyorsulás mérését. Amit én itt meg szeretnék
értetni, az általánosabb: a gyorsulás egy változásmérték változásának
mértéke. Távolságokat akár zsinórmértékkel is kiszámíthatunk, de sokkal
nehezebb kiszámítani valamely távolság változási mértékének változási
mértékét. Ezért volt szüksége az emberiségnek oly hosszú időre, no meg
Newton zsenialitására, hogy a mozgás alaptörvényét felfedezze. Ha a minta a
távolságok egyszerű jellemzője lett volna, történelmünkben a mozgást sokkal
korábban leírták volna.
Hogy a változás mértékével kapcsolatos kérdéseket megoldják, Newton és
tőle függetlenül Gottfried Leibniz német matematikus felfedezték a
matematika új ágát, a kalkulust (vagyis a differenciálszámítást). Ez
megváltoztatta a Föld arculatát - szó szerint és átvitt értelemben egyaránt.
De az ötletek, amiket ez a felfedezés csiholt, megint csak nagyon eltérőek
voltak a különböző foglalkozásúak esetében. A fizikusok új természeti
törvények keresésére indultak, amelyek a természeti jelenségeket a változás
mértékének nyelvén magyarázzák meg. Találtak is jócskán - a hő, hang, fény,
folyadékdinamika, rugalmasság, elektromosság, mágnesesség területén. Még az
elemi részecskék legmisztikusabb modern elméletei is a matematikának ezt a
fajtáját aknázzák ki, habár az értelmezés - és bizonyos értelemben a
mögöttes világszemlélet - más. Akárhogy is, a matematikusok tökéletesen más
kérdéskomplexummal foglalkoztak. Mindenekelőtt hosszasan viaskodtak azzal,
mit is jelent valójában a "változás mértéke". Hogy egy mozgó tárgy
sebességét kiszámítsuk, meg kell mérnünk, hol van, meg kell állapítanunk,
hogy nagyon rövid idő elteltével hova kerül, és el kell osztanunk a
távolságot az eltelt idővel. Ha viszont a test gyorsul, az eredmény függ a
választott időintervallumtól. A matematikusoknak és a fizikusoknak ugyanaz a
sejtésük volt arról, hogyan kell megoldani ezt a problémát: a választott
intervallumnak a lehető legkisebbnek kell lennie. Minden tökéletesen rendben
volna, ha használhatnánk zérus hosszúságú intervallumot, de sajnos ez nem
megy, mivel mind a befutott távolság, mind az eltelt idő zérus, és a
változás mértékét megadó hányados 0/0, ami értelmetlen. A nem zéró
intervallumokkal az a baj, hogy bármelyiket választjuk, mindig
választhatnánk nála kisebbet, hogy pontosabb eredményt kapjunk.
Amire valójában kíváncsiak vagyunk, az a legkisebb nemzéró időintervallum
- de ilyen nincs, mert bármely nemzéró számra a fele is nemzéró. Minden
könnyen kiszámítható volna, ha létezne végtelenül kicsiny intervallum -
"infinitezimális". Sajnos nehéz logikai paradoxonok következnének az
infinitezimális fogalmából; speciálisan, a szó szokásos értelmében vett
számok körében pedig ilyen nincs is. Így idestova két évszázada az emberiség
különös helyzetben van a kalkulus tekintetében. A fizikusok nagy sikerrel
használták, hogy megértsék a természetet és megjósolják, hogyan fog
viselkedni; a matematikusok még azt sem tisztázták, mit jelent ez a
kalkulus, és hogyan építsék fel helyes matematikai elméletként; a
filozófusok pedig kifejtették, hogy az egész zagyvaság. Gyakorlatilag minden
megoldódott, ha a hozzáállásban erős különbségek is érezhetők.
A kalkulus története két dolgot mindjárt megmutat, amire a matematika
használható: eszközöket nyújt, amelyekkel a természettudósok kiszámítják, mi
történik a természetben, és új kérdéseket szolgáltat a matematikusoknak,
hogy kedvükre válogassanak belőle. Az imént vázoltak a matematika külső és
belső szempontjai; gyakran úgy hivatkoznak rájuk, mint alkalmazott és
elméleti matematikára (nem szeretem ezeket a jelzőket, a belőlük következő
szétválasztást még kevésbé). Ebben az esetben megtörténhet, hogy a fizikusok
kimondják: ha a kalkulus módszerei beválnak, kit érdekel, hogy
miért?
Hasonló felfogást vallanak, akik ma büszkén pragmatistának mondják magukat.
Elismerem, sok tekintetben igazuk van. A hídtervező mérnökök joggal
alkalmaznak bizonyos szabványos matematikai módszereket, ha nem is ismerik
ezeknek a módszereknek a részletes és sokszor misztikusan hangzó igazolását.
A magam részéről mégis kényelmetlenül érezném magam, ha végig kellene
hajtanom egy ilyen hídon, amennyiben tudomásomra jutna, hogy
senki nem
tudja, mi igazolja a fenti módszereket. Tehát egy bizonyos kulturális szint
fölött megéri, hogy tartsanak néhány embert, aki tépelődik a gyakorlati
módszerek fölött és megpróbál rájönni, mitől válnak be. És ez többek között
a matematikusok dolga. Élvezik, az emberiség többi része pedig élvezi
munkájuk sokféle gyümölcsét, amint azt látni fogjuk.
Röviden, nem sok múlik azon, vajon a matematikusok elégedettek-e a
kalkulus logikai helyességével vagy sem. Hosszú távon azonban azok az új
ötletek, amelyekhez a matematikusok jutottak, miközben ezeken a belső
nehézségeken törték a fejüket, a külvilág számára roppant hasznosnak
bizonyultak. Newton idejében lehetetlen volt megjósolni, miben áll majd ez a
haszon, de úgy gondolom, azt már akkor tudni lehetett, hogy lesz ilyen. A
matematika és a "való világ" közti kapcsolatban a legfurcsább, de egyben a
legszilárdabb tény: a jó matematika,
bármi legyen is a forrása, végül
hasznosnak is bizonyul. Sokfajta elmélet született, hogy ezt megmagyarázza,
az emberi elme felépítésének boncolgatásától ama feltevésig, miszerint az
univerzum kis matematikai morzsákból épül fel. Nekem az az érzésem, hogy a
válasz valószínűleg egészen egyszerű: a matematika a minták (*) tudománya, a
természet pedig kihasználja minden egyes mintájának létezését. Bevallom,
sokkal nehezebben tudom megokolni miért viselkedik így a természet. Talán
ezt a kérdést meg kellene fordítanunk: az ilyen kérdéseket feltevő lények
csak ilyen univerzumban tudnak élni. (**)
(*) Az alakulóban lévő magyar terminológia miatt a "minta" és "mintázat"
egyaránt használható. (A szaklektor megj.)
(**) Ezt a magyarázatot és egyebeket a Jack Cohennel közösen írt, The
Collapse of Chaos (A káosz összeomlása) című könyvben tárgyaljuk
(Viking, New York, 1994).
Bármi legyen is az oka, a matematika feltétlenül hasznos módszer a
természetről való gondolkodásra. Mit várunk tőle: mit mondjon el nekünk a
megfigyelt mintákról? Sokféle felelet van. Meg akarjuk érteni
mikéntjüket és
miértjüket, ami nem ugyanaz; a legkielégítőbb módon rendszerbe foglalni az
alapvető mintákat és szabályosságokat; megjósolni a természet viselkedését;
saját céljainknak megfelelően irányítani a természetet; valamint gyakorlati
hasznot húzni abból, amit világunkról megtudtunk. A matematika mindehhez
hozzásegít, sőt gyakran nélkülözhetetlen is ebben.
Vegyük példának okáért a csigaház spirális alakját. Hogy a csiga
hogyan
készíti a házát, kémiai és genetikai kérdés. Anélkül, hogy a finom
részletekbe belemennénk, a csiga génjei tartalmazzák a recepteket speciális
vegyszerek előállítására, továbbá utasításokat, hogy azok hova kerüljenek.
Itt a matematika molekuláris könyvelést készít, amely megadja a végbemenő
kémiai reakciók értelmét; leírja a csigaház anyagának szilárdságát, illetve
merevségét a csiga testének puhaságához, illetve hajlékonyságához
viszonyítva, és így tovább. Valójában, matematika nélkül soha nem győződtünk
volna meg arról, hogy az anyag atomokból áll, és nem számíthattuk volna ki
az atomok elrendeződését. A gének és később a DNS, az örökítőanyag
molekuláris szerkezetének felfedezése nagymértékben matematikai kulcsok
felismerésén múlott. Gregor Mendel szerzetes csinos számszerű
összefüggéseket vett észre abban, ahogyan a különböző jellemzőkkel, így
például a más színű maggal bíró növények aránya változik keresztezéskor. Ez
vezetett a genetika alapeszméjéhez - hogy minden organizmusban tényezők
rejtélyes kombinációja fejti ki hatását, amely meghatározza fizikai
felépítésének számos jellemzőjét, és hogy ezek a tényezők valahogyan
öszekeverednek és kicserélődnek, amikor a szülőkből az utódba jutnak. A
matematikának több különböző ága is szerepet játszott annak felfedezésében,
hogy a DNS szerkezete a híres kettős spirál. Meglátásaik olyan egyszerűek
voltak, mint Chargaff szabályai - az ausztriai születésű Erwin Chargaff
biokémikus észrevette, hogy a DNS-molekula négy bázisának előfordulási
aránya összefügg - és olyan magas szintűek, mint a diffrakciós törvények,
amiket arra használtak, hogy a DNS-kristályok röntgenképéből megállapítsák
molekuláris felépítésüket.
A kérdés, hogy
miért spirális a csigaház, egészen más jellegű. Többféle
szempontból is felvethetjük - rövid távon, mondjuk a biológiai fejlődés
szempontjából, vagy hosszú távon, az evolúció szemszögéből. A
fejlődéstörténet számára a fő matematikai jellemző a spirál általános
alakja. Alapjában véve a fejlődéstörténet egy olyan élőlény geometriájáról
szól, amelyik lényegében folyamatosan egyformán viselkedik, miközben egyre
nagyobb lesz. Képzeljünk el egy apró állatkát, apró hozzáilleszkedő ős-
házzal. Majd az állat növekedni kezd. A legkönnyebben annak az iránynak a
mentén tud növekedni, amerre házának nyitott pereme mutat, minden más
irányban akadályozza őt a ház. Ha azonban kicsit már növekedett, a házát is
meg kell növelnie, védelem céljából. Így persze a ház újabb anyaggyűrűt
növeszt a pereme körül. Ahogy ez a folyamat továbbhalad, az állat egyre
nagyobb lesz, és a perem mérete is nő. A legegyszerűbb megoldás a problémára
kúp alakú ház volna, amit a tengeri csigánál találunk. Ha viszont az egész
rendszer kis csavarodással kezdődik, ami fölöttébb valószínű, akkor a ház
növekvő széle lassan el is fordul növekedés közben, és a középponttól
távolodva mindinkább elfordul. Az eredmény olyan kúp, amely folyton növekvő
spirál alakban csavarodik. Használhatunk matematikát a fenti geometriai
jelenség valamennyi változójának - mint a növekedési ráta, valamint a
középponttól való távolság növekedése - leírására.
Ha ehelyett evolúciós magyarázatot keresünk, inkább a ház szilárdságára
kell figyelnünk, amely az evolúcióban előnyt jelent, s azt kell
kiszámítanunk, vajon egy hosszú vékony kúp erősebb vagy gyengébb-e, mint egy
szorosan feltekert spirál. Ha nagyratörőbbek vagyunk, matematikai modelleket
alkothatunk magáról az evolúciós folyamatról, a véletlen genetikai
változással - azaz a mutációkkal - és a természetes kiválasztódással
kombinálva.
Figyelemre méltó példa ebből a fajtából a szem evolúciójának számítógépes
szimulációja, amelyet Daniel Nilsson és Susanne Pelger végeztek el, és
1994-ben publikáltak. Emlékeztetünk arra, hogy a hagyományos evolúciós
elmélet az állatok alakjában bekövetkezett változásokat véletlen mutációk
eredményének tekinti. Ezt követi azoknak az egyedeknek a kiválasztódása,
amelyek a leginkább alkalmasak a túlélésre és fajtájuk szaporítására. Amikor
Charles Darwin ezt az elméletet közzétette, az első fölmerülő ellenvetések
azzal érveltek, hogy az összetett struktúrák (amilyen a szem) teljesen ki
kell, fejlődjenek, különben képtelenek valóban működni (a szem egyik fele
semmire se jó), ám annak esélye, hogy a véletlen mutáció komplex változások
megfelelő sorozatát hozza létre, elhanyagolható. Az evolúcionisták azzal
vágtak vissza, hogy míg a szem egyik fele nem sokra jó, egy
félig
kifejlődött szem annál inkább. Egy szem retinával, de mondjuk lencse nélkül,
össze fogja gyűjteni a fényt, és így követni fogja a külső mozgást; s minden
javulás a ragadozók észrevételében evolúciós előnyt jelent az egyednek.
Mindez szóbeli ellenvetés az elmélettel szemben, és szóbeli felelet rá. De a
friss számítógépes elemzés sokkal tovább megy.
Sejtekből alkotott sík felület matematikai modelljéből indul ki, és
különféle "mutációkat" enged meg. Egyes sejtek érzékenyebbé válhatnak a
fényre, vagy a sejtfelület hajlított alakot vehet fel. A matematikai modellt
számítógépes programként állították fel, amely elvégzi a fenti véletlen
változtatásokat, és kiszámítja, mennyire alkalmas a kapott struktúra a fény
követésére, illetve a "látott" minták felismerésére. Mindig azt a változást
választja ki, amely növeli ezeket a képességeket. Egy szimuláció során,
amely körülbelül négyszázezeréves periódusnak felel meg - evolúciós
mértékkel mérve egyetlen szemvillanás -, a sejtfelület gömbbé hajlik, rajta
apró, szivárványhártyaszerű nyílással, és ami a legdrámaibb, lencsével.
Ráadásul, akár a mi szemünk lencséinél, ennek a lencsének a törésmutatója -
annak mértéke, amennyire megtöri a fényt - pontról pontra változik. Mi több,
a törésmutató változásának mintája, amit a számítógépes szimulációval
nyertek, hasonlít a miénkhez. A matematika tehát megmutatja, hogy a szem
feltétlenül képes fokozatosan és természetes módon fejlődni, növekvő
túlélési esélyt biztosítva minden fázisban. S ami ennél több: Nilsson és
Pelger munkája demonstrálja, hogy ha adottak bizonyos kulcsfontosságú
biológiai képességek, ez (úgymint a sejtek fényérzékenysége és
mozgékonysága) a szemhez határozottan hasonló struktúrák kialakulását vonja
maga után - Darwin természetes kiválasztódási elméletével teljes
összhangban. A matematikai modell sok további részletet is kiad, amit a
darwini érvelés csak sejtés formájában tartalmazott, és a modell révén
sokkal nagyobb biztonsággal állíthatjuk, hogy az elmélet korrekt.
1. ábra
A szem evolúciójának számítógépes modellje.
A számítás minden lépése kb. kétszáz év biológiai evolúciónak felel
meg.
Azt mondtam, a matematika további feladata, hogy az alapvető mintákat és
szabályosságokat a legkielégítőbb módon rendszerbe szervezze. Ennek
megvilágítására térjünk vissza az első fejezetben fölvetett kérdésre. Melyik
minta jelentős (ha egyáltalán valamelyik az): az Orion-öv csillagainak
három-egy-sorban mintája vagy a három-egy-sorban minta a Jupiter holdjainak
keringési periódusában? Először foglalkozzunk az Orionnal. Az antik
civilizációk az égen látható csillagokat állatok és mitikus hősök képeibe
szervezték. Ezekben a képekben az Orion három csillagának egy vonalba esése
fontos, különben a hősnek nem volna öve, amiből kardját előhúzza. Ha azonban
háromdimenziós geometriát használunk szervező elvként, és a három csillagot
valódi pozíciójukba helyezzük, azt találjuk, hogy a Földtől igencsak eltérő
távolságban vannak. Hogy a Földről úgy látszanak, mint egymástól azonos
távolságra levő pontok, csak véletlen, a nézőpont következménye. Maga a
"konstelláció" (együttállás) szó is félrevezető tetszőleges nézőpont esetén.
Az Io, Európa és Ganümédesz keringési periódusainak numerikus
összefüggése ugyanígy lehetne a nézőpont esetleges megválasztásának
következménye. Honnan gondoljuk, hogy a "keringési periódus" a természetben
bármiféle jelentőséggel bír? Ám ez a numerikus összefüggés egy bizonyos
dinamikus keretbe nagyon is beleillik. Példa ez az ún.
rezonanciára, amely
periodikusan mozgó testek közt fennálló viszonyrendszer, ebben ciklusaik
szorosan összefüggnek, úgyhogy szabályos intervallumokban a testeknek
ugyanazt az egymáshoz viszonyított pozíciót kell felvenniük. Ezt a közös
ciklusidőt a rendszer periódusidejének nevezzük. Az egyes testeknek lehet
különböző, de egymással összefüggő periódusa. Ki tudjuk számítani a köztük
fennálló összefüggést. Ahol a rezonancia jelensége fellép, a szóban forgó
összes testnek megszabott viszonyítási pozícióba kell kerülnie, miután a
ciklusok egész számú többszöröse letelt - de ezek az egész számok különbözők
is lehetnek. Így van a rendszernek valamilyen közös periódusa, s minden
egyes test periódusa ennek egész számú osztója. Ebben az esetben a
Ganümédesz periódusa 7,16 nap. Az Európa periódusa nagyon közel van a
Ganümédeszének a feléhez, az Io-é pedig az egynegyedéhez. Az Io négyszer
kerüli meg a Jupitert, amíg az Európa kétszer, és a Ganümédesz egyszer,
miután mindannyian az eredeti pozícióba kerülnek vissza. Ezt 4:2:1
rezonanciának nevezzük.
A Naprendszer dinamikája tele van rezonanciákkal. A Hold forgási
periódusa (bizonyos csekély eltérésektől eltekintve, amit más testek
perturbációja okoz) ugyanannyi, mint a Föld körüli keringés periódusa - ez
tehát 1:1 rezonancia a forgási és a keringési periódus között. Ezért mindig
ugyanazt az oldalát látjuk a Holdnak, a "túlsó oldalát" soha. A Merkúr 58,65
nap alatt fordul meg a tengelye körül, és a Napot 87,97 nap alatt kerüli
meg. Mármost, 2x87,97=175,94 és 3x58,65=175,95, tehát a Merkúr forgási és
keringési periódusai 2:3 arányú rezonanciában vannak. (Valójában hosszú
ideig úgy hitték, hogy ez a rezonancia 1:1, és mindkét szám körülbelül 88,
mivel nehéz egy bolygót megfigyelni, ha ennyire közel kering a Naphoz. Ez
okozta a hiedelmet, mely szerint a Merkúr egyik oldala hihetetlenül forró,
és a másik hihetetlenül hideg, ami nem igaz. Rezonancia viszont mégiscsak
van - ráadásul érdekesebb, mint a puszta egyenlőség.)
A Mars és a Jupiter között helyezkedik el a kisbolygók öve. Ez egy apró
testek ezreit tartalmazó széles zóna, amelyben e testek nem egyenletesen
oszlanak el. A Naptól bizonyos távolságokra "kisbolygó-övecskéket" találunk;
más távolságokban alig. A magyarázat mindkét esetben a Jupiterrel való
rezonancia. A Hilda kisbolygócsoport, az egyik övecske, 2:3 rezonanciában
van a Jupiterrel. Azaz éppen olyan távolságban, hogy minden Hilda-beli
kisbolygó háromszor kerüli meg a Napot, amíg a Jupiter kétszer. A
legészrevehetőbb hézagok a 2:1, 3:1, 4:1 és 7:2 rezonanciáknál találhatók.
Az olvasó fennakadhat rajta, hogy a rezonanciákkal magyarázzuk mind a
besűrűsödés, mind a ritkulás jelenségét. Az ok: minden egyes rezonanciának
sajátos dinamikája van; egyesek sűrűsödést okoznak, mások az ellenkezőjét.
Minden a rezonancia pontos értékén múlik.
A matematika további szerepe az előrejelzés. Az égitestek mozgásának
megértése tette lehetővé a hold- és napfogyatkozások, valamint az üstösök
visszatérésének előrejelzését. A csillagászok tudták, merre irányítsák
távcsövüket, hogy megtaláljanak olyan kisbolygókat, amelyek a Nap mögé
kerültek; s amelyek megfigyelése különben lehetetlen volt. Mivel az árapály
jelenségét lényegében a Napnak és a Holdnak a Földhöz viszonyított pozíciója
vezérli, az apályt és dagályt sok évre előre tudták jelezni. (A fő bonyolító
tényező ilyen jóslatoknál nem csillagászati jellegű; az egyik a kontinensek
alakja, a másik az óceánok medrének terepviszonyai, ami késleltetni vagy
siettetni tudja a dagályt. Ugyanakkor ezek egy évszázad alatt nemigen
változnak, így módosító hatásuk rutinszerűen beszámítható.) Ezzel szemben az
időjárást sokkal nehezebb előre jelezni. Ugyanannyit tudunk az időjárás
matematikájáról, mint az árapályéról, de az időjárás alapvetően
jósolhatatlan. Ennek ellenére a meteorológusok hatékony rövid távú
előrejelzéseket tudnak adni az időjárási mintákra - körülbelül három-négy
napra előre. Az időjárás jósolhatatlanságának ugyanakkor semmi köze a
véletlenhez - ezt a témát a 8. fejezetben taglaljuk, amikor a káosz fogalmát
tárgyaljuk.
A matematika szerepe messze túlmegy a puszta előrejelzésen. Ha
megértettük, hogy egy adott rendszer hogyan működik, nem kényszerülünk
passzív megfigyelésre. Megkísérelhetjük vezérelni a rendszert, hogy az
történjen benne, amit mi akarunk. Túl nagy ambíciókat nem érdemes
táplálnunk: az időjárás-vezérlés például gyerekcipőben jár - nemigen tudunk
esőt csinálni, még akkor sem, ha körös-körül esőfelhők vannak. A rendszerek
vezérlésére példák széles skáláját hozhatjuk fel, a bojler vízhőmérsékletét
szabályozó termosztáttól egészen az erdőirtásig. Bonyolult matematikai
vezérlő rendszer nélkül az űrhajó úgy repülne, mint a tégla - hiszen annak
is tekinthető mivel egy pilóta sem képes elég gyorsan korrigálni
szükségszerű instabilitási tényezőket. A szívbetegek elektronikus pacemakere
a vezérlés egy másik példája.
E példák mutatják meg a matematika legföldhözragadtabb aspektusát: a
gyakorlatban alkalmazhatósággal bizonyítja a matematika, hogy érdemes
művelni. Világunk matematikai alapon nyugszik, és a matematika
elválaszthatatlanul beleágyazódott egész kultúránkba. Azért nem vesszük
mindig észre, mennyire erősen érinti életünket, mert - érthetően - lehetőleg
minél jobban a színfalak mögött tartják. Amikor elmegyünk az utazási irodába
és befizetünk egy útra, nem kell értenünk a bonyolult matematikai és fizikai
elméleteket, amelyek lehetővé teszik számítógépek és telefonvonalak
tervezését, vagy az optimalizáló eljárásokat, amelyek segítségével a lehető
legtöbb repülőjáratot ütemezik be egy repülőtérre, vagy a jelfeldolgozási
módszereket, amelyek pontos radarképeket adnak a pilótáknak. Amikor egy tv-
műsort nézünk, nem kell értenünk a képernyőn speciális effektusok
létrehozására használt háromdimenziós geometriát, a mesterséges holdakkal
televíziós jelek továbbításához alkalmazott kódolási módszereket, a
mesterséges hold Föld körüli mozgását leíró egyenletek matematikáját és a
matematika ezernyi különböző alkalmazását, melyeket a mesterséges hold
pályára állításához használt űrhajó gyártásának minden egyes lépésekor
találnánk. Amikor a farmer új burgonyafajtát ültet, nem kell ismernie a
genetika statisztikus elméleteteit, amelyek segítségével azonosították az
adott fajtát a betegségekkel szemben ellenállóvá tevő géneket.
Mindazonáltal egyszer a múltban valakinek meg kellett értenie mindezt,
különben az utasszállító repülőgépeket, a televíziót, az űrhajót, az
ellenálló burgonyafajtát mind nem találták volna fel. És valakinek most is
kell értenie hozzájuk, különben nem üzemelnének tovább. Azután valakinek új
matematikát kell felfedeznie a jövőben, meg kell tudnia oldani eddig fel sem
merült, vagy megoldhatatlannak tartott problémákat, különben társadalmunk
lemarad, amikor a változás megoldást követel új problémákra, vagy új
megoldást a régiekre. Ha a matematika és minden, ami rajta nyugszik,
valahogyan hirtelen kivonódna világunkból, az emberi társadalom egy pillanat
alatt összeomlana. És ha a matematika befagyna, s egyetlen lépést sem
haladna előre, civilizációnk elkezdene visszafejlődni.
Nem kívánhatjuk az új matematikától, hogy azonnal pénzben mérhető hasznot
hozzon. Beváltani egy matematikai ötletet valamire, ami egy gyárban vagy egy
lakásban hasznot hoz, ehhez időre van szükség. Sok időre: nemritkán egy
évszázadra is. Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy a hegedűhúr rezgésének
vizsgálata a 17. században hogyan vezetett el háromszáz évvel később a
rádióhullámok felfedezéséhez, majd pedig a rádió, a radar és a televízió
feltalálásához. Gyorsabban is elvezethetett volna, de nem
sokkal gyorsabban.
Ha azt gondoljuk - ahogyan egyre inkább menedzser stílusú kultúránkban sokan
gondolják -, hogy a tudományos kutatás folyamata felgyorsítható, ha az
alkalmazásra koncentrálunk és mit sem törődünk a "kuriózumok felé forduló"
kutatással, súlyosan tévedünk.
Valójában magát a "kuriózumok felé forduló kutatás" kifejezést nemrég
találták ki fantáziaszegény bürokraták, az elméleti szakemberek szándékos
elhallgattatása céljából. Vágyuk csinos kis projektek után, amelyek
garantált és gyors profitot kínálnak, túlságosan is naiv, mert a
célorientált kutatás csak megjósolható eredményeket hoz. Látnunk kell a célt
ahhoz, hogy megcélozhassuk. De amit látunk, azt a versenytársaink is látják.
A biztos kutatás szorgalmazása mindannyiunkat egyszerre szegényít el. A
valóban fontos áttörések mindig megjósolhatatlanok. Éppen a
megjósolhatatlanságuk teszi őket fontossá: olyan módon változtatják meg
világunkat, ahogyan nem számítottunk rá.
A célorientált kutatás ráadásul gyakran egyszer csak "falnak ütközik", és
nemcsak a matematikában. Például, hozzávetőleg nyolcvan évbe és intenzív
mérnöki erőfeszítésbe került a fénymásoló gép kifejlesztése, miután a
xeroxozás alapelvét a tudósok már felfedezték. Az első fax nagyjából egy
évszázaddal ezelőtt elkészült, de nem működött elég gyorsan és megbízhatóan.
A holográfia elvét (nézzük csak meg a háromdimenziós képet a hitelkártyákon)
több mint egy évszázada felfedezték, de senki sem tudta, hogyan kell a hozzá
szükséges koherens fénynyalábot előállítani - olyan fényt, amelyben a
hullámok együtt haladnak. Az effajta késlekedés nem ritka az iparban, az
intellektuálisabb kutatási területeket nem is említve, és a zsákutcából
általában csak akkor jutnak ki, mikor váratlanul új ötletek jelennek meg.
Nincs semmi rossz a célorientált kutatásban, ha konkrét, elérhető
célokért folyik. De az álmodozóknak és különcöknek is kell adni valamennyi
szabadságot.
Világunk nem statikus: folyton új problémák merülnek fel, és a régi
válaszok sokszor elavulnak. Ahogy Lewis Carroll Vörös Királynőjének, nekünk
is nagyon gyorsan kell futnunk, hogy nyugodtan állhassunk.