Ian Stewart: A természet számai

3. FEJEZET

Miről szól a matematika?


Amikor meghalljuk a "matematika" szót, elsőnek a számok jutnak eszünkbe. A számok alkotják a matematika szívét, hatásuk mindig érezhető, a számok az a nyersanyag, amelyből a matematika nagy része kikovácsolódik. Mégis, a számok önmagukban csak elenyésző részét alkotják a matematikának. Korábban már említettem, hogy matematikával teli világban élünk, de ahol csak lehet, a matematikát a szőnyeg alá söprik, hogy világunk "user-friendly" (vagyis "felhasználóbarát", ahogyan a számítógép-forgalmazó cégek mondják) legyen. Ugyanakkor, bizonyos matematikai fogalmak annyira alapvetőek, hogy nem rejthetők el; a számok adják erre a legjobb példát. Például, ha nem lennénk képesek a tojások megszámlálására és a visszajáró pénz kiszámítására, még élelmiszert sem tudnánk vásárolni. Ezért aztán oktatják is a számtant. Mégpedig mindenkinek. Ha valaki nem tud számolni, éppoly hátrányos helyzetű, mint az analfabéta. Ezért közkeletű a felfogás, mely szerint a matematika főleg a számokkal kapcsolatos, pedig valójában nem erről van szó. A számolási trükkök, amelyeket az aritmetikában tanulunk, csak a jéghegy csúcsát alkotják. Élhetjük mindennapi életünket anélkül, hogy sokkal többet tudnánk matematikából, kultúránk azonban nem tudja működtetni társadalmunkat, ha az eszközök közül ennyire keveset vesz igénybe. A számok csak egy fajtája az objektumoknak, amelyekről a matematikus gondolkozik. Ebben a fejezetben megpróbálok néhány mást is megmutatni és megmagyarázni, miért fontosak.

      Szükségszerűen magukból a számokból indulok ki. A matematika korai történetének zöme összefoglalható, mint a rátalálás különböző civilizációkban azon dolgok egyre szélesebb skálájára, amelyeket számoknak nevezhetünk. A legegyszerűbbek a számlálásra használt számok. Valójában a számlálás jóval megelőzte az 1, 2, 3 szimbólumok kialakulását - hiszen lehet számlálni számok nélkül is, például az ujjainkkal. Kiszámolhatjuk, hogy "két kéznyi és egy hüvelykujjnyi tevém van", mindig kihajlítva egy-egy ujjunkat, s rápillantva egy-egy tevére. Nem szükséges, hogy fogalmunk legyen a "tizenegyes" számról annak nyomon követésére, vajon lopják-e a tevéinket. Csak azt kell észrevennünk, hogy legközelebb két kéznyi tevénk van - tehát egy hüvelykujjnyi teve hiányzik.

      A számlálást karcolásokkal is feljegyezhetjük fadarabon vagy csonton. Jeleket is használhatunk számlálóként - agyagkorongokat juhok képeivel juhok számlálására, vagy tevék képével díszített agyagkorongot tevék számlálására. Ahogy egy állat elhalad előttünk, bedobunk egy zsákba egy korongot.

      A szimbólumok használata számok jelzésére valószínűleg körülbelül ötezer évvel ezelőtt alakult ki, amikor ilyenfajta számlálókat raktak egy lezárt agyagtartóba. Túl bonyolultnak bizonyult, hogy amikor a számvevők ellenőrizni akarták ennek tartalmát, az agyagedényt fel kellett törni, és az ellenőrzés végeztével újat készíteni. Így aztán speciális jeleket helyeztek el a tartó külsejére, megjegyzendő, hogy mi van benne. Később rájöttek, hogy egyáltalán nem kell belerakni semmit: ugyanezeket a jeleket róhatják agyagtáblácskára is.

      Csodálatos, hogy mennyire hosszú időbe telik, mire meglátjuk a nyilvánvalót. Persze ez csak most nyilvánvaló.

      A következő felfedezés a számok terén a tört volt - az a számfajta, amit ma úgy jelölünk: 2/3 (kétharmad) vagy 22/7 (huszonkét heted - vagy akár három egész egy heted). A törtekkel nem lehet számolni - bár kétharmad teve megehető, de nem megszámlálható -, ehelyett sokkal érdekesebb dolgokat tehetünk velük. Például ha három testvér az örökségen, két tevén osztozik, úgy képzeljük, hogy mindegyiknek a tulajdona lesz kétharmad teve - ez a fikció teljesen törvényes, és annyira kényelmes, hogy elfelejtjük, milyen furcsa, ha szó szerint vesszük.

      Sokkal később, Kr. u. 400 és 1200 között a nulla fogalmát is felfedezték, és elfogadták, hogy számot jelöl. Ha úgy véljük, nagyon furcsa a nullának ez az igen kései törvényesítése, vegyük tekintetbe, hogy hosszú ideig az "egy"-et sem tekintették számnak, mert úgy gondolták, hogy csak több dolgot lehet megszámolni. Sok történelemkönyvben olvasható: a nulla megjelenésében a kulcsidea az volt, hogy szimbólumot találtak a "semmire". Ez az aritmetika gyakorlati szempontjából persze hasznos volt; a matematika számára viszont fontossága egy újfajta szám fogalmában rejlett, egy száméban, amely reprezentálta a "semmi" konkrét ideáját. A matematika alkalmaz szimbólumokat, de ugyanúgy nem azonos velük, mint a zene a kottával vagy a nyelv az ábécé betűivel. Carl Friedrich Gauss, akit sokan minden matematikus legnagyobbikának tartanak, egyszer (latinul) ezt mondta: Mi lényeges a matematikában? Nem a jelölések, hanem a fogalmak. A latinban ez szójáték: "non notationes, sed notiones".

      A számfogalom következő bővítése a negatív számok felfedezése volt. Ismét nem sok értelme van mínusz két tevének, legalábbis szó szerint; de ha két tevével tartozunk valakinek, mégiscsak kettővel csökken a tulajdonunkban lévő tevék száma. Tehát egy negatív szám úgy képzelhető el, mint ami valamilyen adósságot reprezentál. Sok más módja van, hogyan értelmezzük ezeket a valamivel misztikusabb számokat; például a negatív hőmérséklet (Celsius fokban) a fagypont alatti hőmérséklet, és egy negatív sebességű tárgy visszafelé mozog. Tehát ugyanaz az elvont matematikai fogalom a természet többféle nézőpontjához is kapcsolódhat.

      A törtek tökéletesen elegendőek a legtöbb kereskedelmi tevékenységhez, de nem a matematikához. Például, ahogy azt az ókori görögök, bánatukra, felfedezték, a kettő négyzetgyöke nem fejezhető ki pontosan törtként. Vagyis, ha bármely törtet megszorzunk önmagával, nem kaphatunk pontosan kettőt. Egészen közel juthatunk hozzá - mondjuk, a 17/12 négyzete 289/144, és ha 288/144 volna, kettőt kapnánk. De nem annyi és akármilyen törttel próbálkozunk, nem kapunk kettőt. A kettő négyzetgyökét, amit általában {2 a négyzetgyök alatt} jellel jelölünk, így "irracionálisnak" mondjuk. A legegyszerűbb mód a számok halmazának kibővítésére, úgy, hogy az irracionálisak is beletartozzanak, az ún. valós számok bevezetése. Lélegzetelállítóan alkalmatlan név ez, mivel a valós számokat olyan tizedes törtekkel ábrázoljuk, amelyek akármeddig folytatódnak, mint a 3,141599..., ahol a pontok végtelen sok tizedesjegyet jelentenek. Hogyan lehet egy dolog valóságos, ha le sem tudjuk írni teljesen? Ez a név mégis megmaradt, bizonyára mert a valós számok sok vizuális érzetünket öntik formába a hosszúságokról és a távolságokról.

      A valós számok az emberi elme által alkotott elvonatkoztatások közül a legmerészebbek közé tartozik, ennek ellenére évszázadokig vidáman használták őket, anélkül, hogy bárki kétkedett volna a mögöttük meghúzódó logikában. Paradox módon, az emberek nagyon sokat kételkedtek a számfogalom ezt követő kibővítésében, pedig az teljesen ártalmatlan volt. Ez, a negatív számok négyzetgyökének bevezetése, az "imaginárius" és a "komplex" számokhoz vezetett. Egy vérbeli matematikus soha nem megy el nélkülük otthonról, de szerencsére ebben a könyvben sehol nem lesz szükség a komplex számok ismeretére, így hát a matematikai szőnyeg alá söpröm őket; remélem, nem fogják észrevenni. Ugyanakkor szeretném hangsúlyozni, hogy amíg egy végtelen tizedes törtet könnyen értelmezhetünk, valamilyen hosszúság vagy súly mérése egyre finomuló sorozatának végállomásaként, addig a mínusz egy négyzetgyökének egyszerű, szemléletes interpretációja nem kézenfekvő.

      A jelenleg érvényes szóhasználat szerint a 0, 1, 2, 3... számokat természetes számoknak mondják. Ha negatív egész számok is megengedettek, egész számokról beszélünk. A pozitív és negatív törteket racionális számoknak hívjuk. A valós számok fogalma ennél általánosabb, a komplexeké még általánosabb. Így öt számhalmazunk van, mindegyik nagyobb, mint az előző: természetes számok, egészek, racionálisak, valós számok és komplex számok. Ebben a könyvben az egészek és a valósak halmaza lesz fontos. Ugyanilyen gyakran kell majd beszélnünk a racionális számokról; és, mint említettem, a komplex számokat teljesen ki tudjuk kerülni. Remélem azonban, mostantól megértik, hogy ennek a szónak: "szám", nincs semmilyen istenadta, változtathatatlan jelentése. Többször is kitágult ennek a szónak a jelentése, ami elvileg akármikor újra bekövetkezhet.

      Ugyanakkor a matematika nem szűkíthető le a számokra. Futólag már találkoztunk egy másfajta matematikai fogalommal, a művelettel; példa rá az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. Általában a művelet két (néha több) matematikai objektumra alkalmazható, hogy segítségével egy harmadik objektumot kapjunk. Céloztam már egy harmadik fajta matematikai objektumra is, amikor a négyzetgyököket említettem. Ha kiindulunk egy számból és a négyzetgyökét képezzük, új számot kapunk. Az ilyen "objektum" neve függvény. Egy függvényt úgy kell elképzelnünk, mint egy matematikai szabályt, amely kiindul valamely matematikai objektumból - általában egy számból -, és egy másik objektumot rendel hozzá speciális módon. A függvényeket gyakran definiálják algebrai képletekkel, amelyek rövid formái a szabály magyarázatának, de bármilyen más alkalmas módon is definiálhatók. Egy másik kifejezés, ami ugyanazt jelenti, mint a függvény, a transzformáció: a szabály az első objektumot a másodikba transzformálja. Ezt a kifejezést általában akkor használják, amikor a szabályok geometriai jellegűek. A 6. fejezetben alkalmazunk majd transzformációkat, hogy megragadjuk a szimmetria matematikai lényegét.

      A műveletek és a függvények nagyon hasonló fogalmak. Valójában az általánosság megfelelő szintjén nem szükséges már őket megkülönböztetnünk. Mindkettő inkább folyamat, mint dolog. S most itt a pillanat, hogy kinyissuk Pandóra szelencéjét és bemutassuk az egyik leghatásosabb fegyvert a matematikus fegyvertárából, amit így hívhatnánk: a folyamatok "dolgokká tétele". A matematika "dolgai" nem léteznek a való világban; absztrakciók. Csakhogy a matematikai folyamatok is absztrakciók, tehát a folyamatok nem kevésbé "dolgok", mint azok a "dolgok", amelyekre alkalmazzuk őket. Kézenfekvő ezért a folyamatok "dolgokká tétele". Valójában tudok olyan esetet, amikor a "kettes" szám éppen hogy nem dolog, hanem folyamat - az a folyamat, amikor éppen számláljuk a tevéket és a juhokat, s ellátjuk őket az "1, 2" címkékkel. A szám olyan folyamat, amelyet nagyon régen dologgá tettünk, és mindenki dologként gondol rájuk. Ugyanennyire megengedhető - bár legtöbbünk számára kevésbé természetes -, hogy egy műveletre vagy egy függvényre úgy gondoljunk, mint egy dologra. Például beszélhetünk a "négyzetgyökről", mintha dolog volna és itt most nem egy bizonyos szám négyzetgyökére gondolok. Ebben a képben a négyzetgyök függvény valamilyen hurkatöltő gép: az egyik végén betöltünk egy számot, a négyzetgyöke pedig kijön a másikon.

      A 6. fejezetben a sík és a tér mozgatásait úgy tekintem majd, mintha dolgok lennének. Már most figyelmeztetem az olvasót, mert lehet, hogy zavarni fogja majd. De nem a matematikusok az egyedüliek, akik a "dologgá tevés" vagy "dologiasítás" játékot játsszák. A törvénykezés a "lopásról" úgy beszél, mint dologról; mi több, pontosan be is határolja - bűncselekmény. Olyan mondatokban, mint "a nyugati társadalom két fő rákfenéje a kábítószer és a lopás", találunk egy igazi dolgot és egy dologgá tevésből származó dolgot, miközben úgy kezelik őket, mintha ugyanazon a szinten lennének. Mert a lopás folyamat, amelynek során tulajdonom máshoz kerül át az én beleegyezésem nélkül, de a kábítószer valóságosan létező tárgy.

      A számítógéptudósoknak van egy jó kifejezésük azokra a képződményekre, amelyek számokból dologiasítási eljárásokkal építhetők fel: adatstruktúráknak hívják őket. Jól ismert példák a számítógéptudományban a listák (számok sorozatai) és a tömbök (számtáblázatok több sorral és oszloppal). Említettem már, hogy a számítógép képernyője számpárok listájaként is felfogható; ez egy bonyolultabb, de egészen szemléletes adatstruktúra. Elképzelhetők sokkal bonyolultabb lehetőségek is - tömbök, amelyek számok helyett listákból álló táblázatok; tömbök listái; tömbök tömbjei; listák tömbjeinek listáinak listái... A matematika hasonló módon építi gondolati objektumait. Amikor a matematika logikai alapjai még éppen csak kialakulóban voltak, Bertrand Russell és Alfred North Whitehead írtak egy hatalmas háromkötetetes művet, a Principia Mathematicát, s ez a lehető legegyszerűbb logikai egységgel kezdődött, a halmaz fogalmával. A halmaz dolgok gyűjteménye. A szerzők fő célja a matematika logikai struktúrájának elemzése volt, de erőfeszítéseik zöme arra irányult, hogy megfelelő adatstruktúrákat tervezzenek a matematikai gondolkodás fontos objektumai számára.

      A matematika képe alapvető objektumainak ebben a leírásában egy fához hasonlít, amelynek gyökerei - a számok -, egyre ravaszabb adatstruktúrákba ágaznak el, ahogy a törzstől az ágak felé, ágaktól az ágacskákhoz, ágacskáktól a gallyakhoz... haladunk. Ebből a képből mégis hiányzik egy lényeges összetevő. Figyelmen kívül hagyja, hogyan hatnak egymásra a matematikai fogalmak. A matematika nem egymástól elszigetelt tények gyűjteménye: nem puszta táj; sajátos földrajza van, amit felhasználói és alkotói jól ismernek, miközben keresztülnavigálnak rajta. E sajátos geográfia nélkül áthatolhatatlan dzsungel lenne ez a táj. Például van valamiféle képletes távolságérzék. Bármelyik matematikai tény közelében ott találunk más hozzá kapcsolódó tényeket. Például a tény, hogy a kör kerülete az átmérőjének {Pi} szerese, szorosan összefügg azzal, hogy a kerület a sugár két {Pi} szerese. A két tény között közvetlen a kapcsolat: az átmérő a sugár duplája. Ezzel szemben nem egymáshoz kapcsolódó fogalmaknak nagyobb a távolságuk; például az a tény, miszerint pontosan hatféle módon rendezhetünk sorba három tárgyat, igen távol áll a fenti, körökkel kapcsolatos tényektől. Van valamiféle képletes érzékünk a magaslatokról is. "A magasba törő csúcsok kilyukasztják az eget" - a fontos, széles körben használható ideák messziről láthatók, mint a Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről, vagy a differenciálszámítás alapvető technikái. Minden kanyarban új látkép rajzolódik ki - váratlan folyó, amit csak köveken lépkedve tudunk átszelni, hatalmas, nyugodt tó, átjárhatatlan gleccserszakadék. A matematika alkalmazója csak a vidék jól kitaposott ösvényein jár. Az alkotó matematikus felkutatja ismeretlen titkait, feltérképezi azokat, és utakat épít rajtuk keresztül, hogy mindenki számára hozzáférhetők legyenek.

      E táj egybekapcsolására a bizonyítás szolgál. A bizonyítás jelöli ki az utat az egyik ténytől a másikig. Hivatásos matematikus nem tekint érvényesnek semmilyen állítást mindaddig, amíg az be nincs bizonyítva logikai hiba nélkül. Ám vannak határok: mit bizonyíthatunk be és hogyan. A filozófia és a matematika megalapozásának tudománya igen nagy munkát fordított arra, hogy megmutassa: nem bizonyíthatunk bármit, mert valahonnét ki kell indulnunk; s ha már eldöntöttük, honnan induljunk, bizonyos állítások bizonyíthatatlanok vagy cáfolhatatlanok lehetnek. Nem kívánok ebben az irányban továbbhaladni; ehelyett gyakorlatiasan szemügyre veszem, mik a bizonyítások és miért szükségesek.

      A matematikai logika tankönyvei szerint a bizonyítás állítások sorozata, ezek mindegyike vagy előző állításokból következik, vagy axiómákból - bizonyíthatatlan, de explicite feltételezett állításokból, amelyek végső soron meg is határozzák a matematika éppen vizsgált területét. Ez így körülbelül annyit mond számunkra, mintha egy regényt mondatok sorozataként jellemeznénk, mely mondatok mindegyike vagy utal egy ismert szövegre, vagy hihetően következik az előző mondatokból. Mindkét meghatározásból csak a lényeg hiányzik: hogy akár a bizonyításnak, akár a regénynek érdekesnek kell lennie. Másodlagos szempontot ragadnak meg, ti. a sztori meggyőző voltát, és a használandó formátumot is megjelölik, de a legfontosabb jellemző, valljuk be, mégiscsak egy lendületes jó sztori volna.

      Nagyon kevés tankönyv beszél erről.

      Legtöbbünket felbosszant egy logikai bakugrással teli film, legyen mégoly fényes a technikai kivitele. Nemrég láttam egy ilyet, ebben egy repülőteret gerillák foglalnak el, és az irányítótorony elektronikus berendezését a sajátjukkal helyettesítik. A személyzet és a főhős aztán a filmből másfél órát vagy még többet (sztori-időben mérve több órát) töltenek el azzal, hogy képtelenek kommunikálni a közeledő repülőgépekkel, amelyek egyre jobban összetorlódnak a magasban, és az üzemanyaguk is kifogy. Senkinek nem tűnik fel, hogy van egy tökéletesen működő repülőtér alig 50 kilométernyire, és eszükbe se jut, hogy telefonáljanak a legközelebbi légibázisra. A sztorit ragyogóan és fényűzően vitték filmre - és bután.

      Ettől még sokan élvezhetik a filmet, a kritikai szintjük, úgy látszik, alacsonyabb, mint az enyém. De mindannyiunknak vannak korlátai, meddig fogadunk el valamit hihetőnek. Ha egy amúgy realisztikus filmben egy gyerek azzal szórakozna, hogy felkap egy házat, és odébbviszi, legtöbbünk elvesztené az érdeklődését. Hasonlóan, a matematikai bizonyítás maga is történet a működő matematikáról. Nem fontos, hogy minden i-re kitegye a pontot és áthúzza minden t szárát; az olvasók maguk is elvégezhetik a rutinlépéseket - ahogy a film szereplői is felbukkanhatnak váratlanul új körülmények között anélkül, hogy tudnánk, hogyan kerültek oda. De a sztoriban nem lehetnek hézagok, és a cselekménynek bizonyosan hihetőnek kell lennie. A szabályok szigorúak: a matematikában egyetlen rés is végzetes. Sőt, egy nemnyilvánvaló logikai rés ugyanúgy, mint egy nyilvánvaló.

      Vegyünk egy példát. Egyszerűt választottam, hogy elkerüljük a technikai nehézségeket; ezért aztán a bizonyítás egyszerű és nem túlságosan jelentős sztorit mesél el. Egy kollégámtól loptam, aki SHIP/DOCK Tételnek nevezi. Bizonyára ismeri az olvasó azt a rejtvényt, amiben adott egy szó (SHIP), amit át kell alakítani egy másikká (DOCK), mindig csak egy betűt változtatva, és végig értelmes szavakon haladva. Megpróbálhatná az olvasó is megfejteni a rejtvényt még most, mielőtt tovább olvasna: akkor talán könnyebben megértené a tételt és a bizonyítását. Íme egy rnegoldás:


      (*) A játék szellemének érzékeltetésére magyarul is készítettünk egy változatot - miként lesz a NAPOS-ból BORÚS. (A szaklektor megj.)
     Számtalan lehetőség van, és némelyik még kevesebb szóval is megoldható. De ha eljátszadozunk ezzel a problémával, észre fogjuk venni, hogy minden megoldásban van valami közös: legalább az egyik közbülső szó tartalmazni fog két magánhangzót.

      Rendben van, bizonyítsuk be!

      Nem fogadok el semmiféle kísérleti bizonyítékot. Hiába hoz valaki száz megoldást, és mindben akad egy-egy szó két magánhangzóval. Egy ilyen bizonyíték nem felel meg nekünk, egyrészt, mert valami azt súgja, hátha elnéztünk egy jó megoldást, ami ilyen szót nem tartalmaz. Másrészt bizonyára azt is érezzük: "ez nyilvánvaló". Egyetértek: de miért nyilvánvaló?

      Most önök olyan lelkiállapotba kerültek, amiben a matematikusok idejük nagy részét töltik: ez a frusztráció. Már tudják, mit akarnak bizonyítani, hisznek benne, de nem látják, milyen meggyőző sztori-ív alkalmas a bizonyításra. Ez azt jelenti, hogy hiányzik valami kulcsötletük, ami az egész problémát feltárná önök előtt. Hadd adjak önöknek ilyen ötletet. Gondolkozzanak el rajta néhány percig, és megtapasztalhatják a matematikus sokkalta kellemesebb lelkiállapotát: a megvilágosodást.

      Az ötlet a következő: Minden, az angol nyelvben valóban létező szó tartalmaz legalább egy magánhangzót.

      Egész egyszerű kis állítás. Először is, győződjenek meg róla, hogy igaz. (Itt elfogadható egy szótárban történő keresés, feltéve, hogy nagy szótárról van szó.) Akkor hát tekintsük az állítás következményeit!

      Rendben, akár megcsinálták, akár föladták. Mindkét esetben ugyanezt tette számos matematikai problémájával minden hivatásos matematikus. És most jön a trükk. Arra kell koncentrálniuk, mi történik a magánhangzókkal. Ezek a hegycsúcsok a SHIP/DOCK tájon, azok az útjelzők, amelyek körül a bizonyítás ösvénye kanyarog.

      A SHIP kezdőszó csak egy magánhangzót tartalmaz, a harmadik helyen. A DOCK végszó is egyet, a második helyen. Hogyan válthat helyet a magánhangzó? Három lehetőség van. Átugorhat az egyik helyről a másikra; teljesen eltűnhet és újra megjelenhet később; vagy pedig többlet magánhangzó vagy magánhangzók keletkezhetnek, majd később eltűnhetnek.

      A harmadik lehetőség egyenesen a tételhez vezet. Mivel egyszerre csak egy betű változhat, egy bizonyos fázisban a szónak egymagánhangzósból kétmagánhangzósba kell átmennie. Nem ugorhat például egyből háromba. De mi a helyzet a másik két lehetőséggel? Ötletem az, hogy a SHIP szó egyetlen magánhangzója nem tűnhet el. Így már csak az első lehetőség marad, ahol mindig pontosan egy magánhangzó van, de az a harmadik helyről valamikor átugrik a másodikba. Ám ez egyetlen betű megváltoztatásával lehetetlen. Egy lépésben egy harmadik helyen lévő magánhangzóból és egy második helyen lévő mássalhangzóból kellene egy harmadik helyen lévő mássalhangzót és egy második helyen lévő magánhangzót faragni. Két betűnek kellene változnia egyszerre, ami nem megengedett. Q.E.D. (*)

      (*) Quod erat demonstrandum (latin) = amit bizonyítani kellett, ahogy az Eukleidész latin forrásaiból közkinccsé vált. (A szaklektor megj.)
      Egy matematikus sokkal formálisabban írná le ezt a bizonyítást, kicsit a tankönyvbeli modellhez hasonlóan, de a fontos az, hogy a sztori meggyőző legyen. Mint minden jó sztori, van eleje és van vége, és egy íve, amely eljuttatja az olvasót az elejétől a végéig, logikai hézag nélkül. Bár az előbbi nagyon egyszerű példa volt, és egyáltalán nem standard matematika, a lényeget láttatni engedi; többek között az óriási különbséget a természetes módon meggyőző érv és az "integetős" érv között, amely elfogadható, mégsem átütő. Remélem, sikerült elérni, hogy az olvasó átélje az alkotó matematikus néhány lelkiállapotát: a frusztrációt amiatt, hogy nem sikerült még kezelni azt, aminek egész könnyű kérdésnek kellene lennie, a lelkesültséget, amikor földereng a fény, a gyanakvást, amikor ellenőrizzük az érvelést, nincs-e benne logikai hézag, az esztétikai örömöt, amikor eldöntöttük, hogy az idea valóban helyes, és látjuk, milyen elegánsan vágta keresztül a gordiuszi csomót. Az alkotó matematika éppen ilyen - csak komolyabb a tárgya.

      A bizonyításoknak meggyőzőeknek kell lenniük, ahhoz, hogy a matematikusok elfogadják őket. Sok olyan eset fordult elő, amikor igen nagy numerikus adathalmaz rossz megoldást sugallt. Egy közismert példa a prímszámokkal kapcsolatos ezek azok a számok, amelyeknek két osztója van: önmaguk és az 1. A prímszámok sorozata a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sorozattal kezdődik, és akármeddig folytatódik. A 2-től eltekintve mindegyik páratlan; a páratlan prímek kétfélék: azok, amelyek eggyel kisebbek, mint a négy többszöröse (3, 7, 11, 19) és amelyek eggyel nagyobbak, mint a négy többszöröse (5, 13, 17). Ha a prímek sorozatán haladva mindig megszámoljuk, hány prím esik az egyik, illetve a másik osztályba, megfigyelhetjük, hogy mindig több van az "eggyel kisebb", mint az "eggyel nagyobb" osztályban. Például a fenti hét prím közül négy esik az első, és három a második osztályba. Ez a minta kitart legalább egybillióig, és teljesen indokolt volna azt sejteni, hogy mindig érvényes.

      De mégsem ez a helyzet.

      A számelmélet szakemberei indirekt módszerekkel kimutatták, hogy amikor elég nagy prímeket vizsgálunk, a szituáció megváltozik, és az "eggyel nagyobb" osztály kezd vezetni. Ennek a ténynek az első bizonyítása csak 10'10'10'10'46-nál nagyobb számokra működött. Hogy a nyomtató macskakörmeit elkerüljem, a ' jelet használtam a hatványozás jelölésére. Ez csillagászatian nagy szám. Ha teljesen kiirnánk, tömérdek nullát kellene a végére írni. Ha a kozmoszban minden papírrá változna, és minden elektronra ráírnánk egy nullát, még úgy is csak apró töredékét tudnánk leírni a szükséges nulláknak.

      Nincs a kísérleti tapasztalatoknak olyan mennyisége, ami szavatolná, hogy kivételek ne merüljenek fel a megsejtett szabály alól, még ha ezek a kivételek csak a fenti nagyságrendű számoknál jelentkeznek is. Sajnos a matematikában a ritka kivételek is számítanak. A hétköznapi életben nem szoktunk aggódni olyan események miatt, amelyek billió esetből egyszer következnek be. Szokott ön aggódni, hogy eltalálja egy meteorit? Ennek az esélye kb. egy a trillióhoz. A matematika azonban a logikai következtetéseket sorra egymásra rakja, és ha csak egy lépés hibás, az egész épület összedőlhet. Ha azt állítottuk, hogy minden szám egy bizonyos módon viselkedik, és akár csak egy szám mégsem így, akkor tévedtünk, és mindennek az érvényessége, amit erre a hamis állításra építettünk, bizonytalanná válik.

      Még a legjobb matematikusokkal is előfordult: kijelentették valamiről, hogy bebizonyították, később azonban kiderült, hogy állításuk nem állja meg a helyét, volt a bizonyításukban egy megbúvó rés, vagy a számításaikban valami egyszerű hiba, esetleg figyelmetlenségből feltételeztek valamit, ami mégsem volt olyan sziklaszilárdan igaz, mint képzelték. Ezért aztán az évszázadok során a matematikusok megtanulták, hogy nagyon kritikusak legyenek a bizonyításokkal szemben. A bizonyítások tartják össze a matematika szövetét, ha csak egy cérnaszál is gyenge, az egész szövet szétbomolhat.