Martin Gardner

A nullaoldalú professzor[1]

Dolores, a chicagói Bíborkalaposok Klubjának magas, éjfekete sztriptíz táncosnõje, a parkett közepén éppen elkezdte mûsora csúcspontjának, a Kleopátrának elõadását. Halk, finom egyiptomi zenébe kezdett a klub együttese, a Bíborkalapos-band. A teremben teljesen sötét volt, csak egy smaragdzöld fénysugár játszadozott a táncosnõ áttetszõ óegyiptomi "öltözékén", karcsú, ingerlõen vonzó alakján.

A fejét és vállát takaró fátylat már levette. S abban a pillanatban, amikor Dolores kecses mozdulattal elrepítette a fátyolt, hogy fellebegve essen a padlóra, valahonnan fentrõl olyan hang hallatszott, mintha egy pisztolyt sütöttek volna el, s a mennyezet felõl fejjel lefelé termetes, meztelen férfi zuhant le nagy ívben. Zuhanása közben álla elkapta a fátyolt, és süket robaj kíséretében a fátyol is, meg õ is a padlón kötöttek ki. A férfi állával valósággal a padlóhoz szegezte a lenge fátylat.

Mintha a pokol szabadult volna el a klubteremben.

Jake Bowers, a mûsorvezetõ ceremóniamester üvöltött, hogy gyújtsák fel a villanyt, és minden erejével igyekezett megállítani a szerencsétlenül járthoz rohanó tömeget. A klubelnök a zenekar mellett állt, s mint mindig, figyelte az eseményeket. Észbe kapott, s nyomban lerontotta az egyik asztal abroszát, s az összegörbedt férfira dobta, s csak ezután fektette azt hanyatt.

A férfi zihált, öntudatlan volt, egész biztosan az állát ért ütés miatt vesztette el az eszméletét, de úgy látszott: más sérülés nem érte. Ötvenedik évét alighanem jócskán meghaladta. Rövid, gondosan nyírt szakállat viselt, míg a koponyája biliárdgolyó-kopasz volt. Teste akár egy birkózóé.

Három pincér ragadta meg az eszméletlen férfit, de így is csak kínnal tudták átcipelni az elnök irodahelyiségébe a magatehetetlen testet. A teremben hisztérikus hangulat lett úrrá. Az ott maradt vendégek értetlenül bámulták a mennyezetet, hol pedig egymásra meredtek. Majd idegesen tárgyalták, hogy mi is történhetett. Vitáztak a férfi leesésének módjáról és szögérõl. Az egyetlen ésszerû és józan ésszel valamennyire elfogadható hipotézisnek az tûnt, hogy valaki a parkett mellõl feldobta a mezítelen férfit a magasba, egészen a plafonig. Rendõrért telefonáltak.

A hátsó szobában a férfi közben visszanyerte eszméletét. Azt állította, hogy õ doktor Stanislaw Slapenarski, a varsói egyetem matematikaprofesszora, jelenleg egy idõre Chicagóban tartózkodik, mivel elfogadta az egyetem meghívását elõadások tartására.

Mielõtt a klubban történt eseményeket tovább mesélném, meg kell valljam: a sztriptíz valójában látványos félbeszakításának nem voltam szemtanúja. Egyedül a ceremóniamester és néhány pincér elmondására kellett hagyatkoznom a leírásnál. Ezzel szemben számos olyan esemény részese voltam, amelyek befejezését az a robaj jelentette, aminek kíséretében a fátyol s hegyibe a professzor olyan váratlanul kikötöttek a parketten.

Az események néhány órával elõbb kezdõdtek. Akkor, amikor a Möbius Társaság tagjai rendes évi bankettjükre összegyûltek a Bíborkalaposok Klubjának egyik emeleti különtermében.

A topológiával, vagyis a matematika egyik fiatal és igen fura ágával foglalkozik a Möbius Társaság egész tagsága. Ez a chicagói matematikusok klubja. Népesnek nem mondhatjuk a Társaságot. Két tucat tagnál alig számlál többet. Hogy jobban megmagyarázhassuk, mi is történt ezen az estén, elengedhetetlen legalább röviden felvázolni a topológia alapjait.

A topológiát nem matematikai fogalmakkal nehéz definiálni. Azt is mondhatnánk például, hogy a topológiakutatások témái a tárgynak azok a matematikai tulajdonságai, amelyek függetlenül attól, hogy magát a tárgyat milyen deformációnak vetjük alá, nem változnak meg.[2]

Képzeljünk el egy puha gumiból készült karperecet vagy a sportboltokban kapható marokerõsítõt, amelyet bármely irányban tetszés szerint lehet forgatni és húzni. Mindegy, hogy mennyire deformáljuk (vagy ahogy a matematikusok mondják, transzformáljuk) a gumikarikát, bizonyos jellemzõi nem változnak meg. Így például a közepén mindig lesz nyílás.

A topológiában a "karperec": a tórusz[3]. A szalmaszál tulajdonképpen kihúzott tórusz, és így topológiai szempontból a karperec és a szalmaszál ugyanolyan alakú.

A topológiát egyáltalában nem érdeklik a mennyiségi mérések. Csak annak az alaknak alapvetõ tulajdonságaival foglalkozik, amely a legradikálisabb deformációk alatt sem változik. A szétszakítást és a hozzáragasztást nem tekinthetjük ilyen radikális deformációnak. Ezek tilos mûveletek. Hiszen ha szabad lenne az ilyen leszakítás vagy hozzáragasztás, akkor az adott tárgyat tetszés szerint alakíthatnánk át más tárggyá, ámde ennek már más lenne a struktúrája, és ezzel alapvetõ tulajdonságait mind megszüntetnénk. Ha ön, kedves olvasónk, egy pillanatra elgondolkodik a mondottakon, akkor gyorsan arra a következtetésre jut, hogy a topológia tulajdonképpen azokat a legegyszerûbb és legalapvetõbb matematikai jellemzõket vizsgálja, amelyek minden tárgy sajátjai.[4]

Segítségünkre lehet egy példaként szereplõ topológiai probléma is. Képzeljünk tehát el egy tóruszt (karperecet), amelynek felületét hasonlóan vékony gumi alkotja, mint a kerékpártömlõét. Most pedig képzeljünk el a tórusz egyik oldalán egy kis lyukat. Vajon a tóruszt áthúzhatjuk-e ezen a nyíláson ugyanúgy, ahogy egy léggömböt nyílásán át kifordíthatunk? Ha csak gondolatkísérletrõl van is szó, jól meggondolva, nem is olyan könnyen megoldható a probléma. Hát még a gyakorlatban!

A XVIII. század több matematikusa is foglalkozott ugyan egyes topológiai problémákkal,[5] az elsõ rendszeres munka szerzõje August Ferdinand Möbius (1790-1868) német csillagász volt. A múlt század elsõ felében a lipcsei egyetemen tanított. Möbius felfedezéséig azt hitték, hogy minden felületnek, mint például egy papírlapnak, két oldala van. A német csillagász viszont azt a nyugtalanít felfedezést tette, hogyha vesz egy papírszalagot, annak egyik végét egy félfordulattal elfordítja, és a szalag két végét ezután összeragasztja, akkor olyan felületet kap, amelynek csak egy oldala van Így született meg az "egyoldalú" felület!

Ha az olvasó veszi magának a fáradságot, és elkészít egy ilyen szalagot (amelyet a topológusok Möbius-szalagnak[6] neveznek), majd gondosan megvizsgálja, akkor saját maga is meggyõzõdhet arról, hogy ennek valóban csal: egyetlen folyamatos éle és egyetlen folyamatos oldala van. Nem könnyû hinni abban, hogy egyáltalában létezhet olyan szalag, amelynek csak egyetlen oldala van, ámde mégis létezik, létezése megdönthetetlen, és kézbe fogható bizonyítékát egy pillanat alatt elkészítheti bárki. Ez a szalag kétségtelenül rendelkezik az "egyoldalúság" tulajdonságával, s azt akkor sem veszíti el, ha bármenynyire kihúzzuk vagy deformáljuk is.

Most már visszatérhetünk az események ismertetéséhez. A Chicagói Egyetem adjunktusa vagyok, a topológia doktora, tehát nem volt nehéz belépnem a Möbius Társaságba.

A Társaságnak nincs sok tagja, mindössze huszonhatan vagyunk. A többség chicagói topológus, de néhányan közülünk a környezõ városok egyetemein dolgoznak.

Havonként rendszeresen találkoztunk, fõleg vitaesteket tartva, ámde évenként egyszer, november 17-én (Möbius születésének évfordulóján) bankettet szoktunk rendezni, amelyre egy-egy topológust hívtunk meg, hogy elõadásával emelje a találkozás fényét.

Természetesen ezeken a banketteken nemcsak épülni kívántunk, magvas elõadást hallgatva és megvitatva, hanem szórakozni is szerettünk volna. Abban az emlékezetes évben, amikor az elmondott história megtörtént, nem a legrózsásabbak voltak a pénzalapjaink, és ezért úgy határoztunk, hogy a Bíborkalaposoknál rendezzük meg a bankettet, mert elviselhetõ áron vacsorázhattunk, vacsora után még a mûsort is megnézhettük. Vendégnek sikerült meghívnunk Slapenarski professzort, a világ talán legjobb topológusát, az évszázad egyik legnagyobb matematikai lángelméjét, akit mindannyian tiszteltünk.

Slapenarski már néhány hete városunkban tartózkodott, és a Chicagói Egyetemen az einsteini térelmélet topológiai vonatkozásairól tartott elõadássorozatot. Többször találkoztunk az egyetemen, és össze is barátkoztunk, ezért kaptam azt a feladatot, hogy én kalauzoljam el a bankettre.

A Bíborkalaposokhoz taxival érkeztünk. Útközben kértem, hogy mondjon néhány szót arról az elõadásról, amit nálunk szándékozik megtartani. Titokzatosan mosolygott, és kemény, idegen akcentusos angolsággal azt mondotta, hogy várjak még egy kicsit, és majd meglátom. Az elõadás címe ez volt: Oldalnélküli felület. Ezt a címet már korábban megadta. A cím társaságunk tagjai között annyi spekulációs vitát robbantott ki, hogy még dr. Robert Simpson, a Wisconsin Egyetem egyik matematikusa is megígérte, hogy eljön a bankettra. Jó egy éve, hogy nem vett részt a találkozóinkon.[7]

Dr. Simpsont az ország középnyugati részén a topológia elismert szakértõjének tekintették. Számos ismert topológiai atomfizikai munkának a szerzõje, s mûveiben erõteljesen támadta Slapenarski nézeteit.

Egy kissé késve érkeztünk meg. A professzort bemutattam Simpsonnak és társaságunk tagjainak, majd leültünk a terített asztalhoz. Ebkor elmondottam Slapenarskinak azt a hagyományunkat, hogy topológiai apróságokkal is igyekszünk ünneppé tenni a bankettunkat. Így például most a szalvétagyûrûk tulajdonképpen ezüstözött Möbius-szalagok. A kávéhoz perecet szolgáltak fel, és magát a kávét különleges edényekben adták fel; alakjukhoz a tervezõ a Klein-féle palackból[8] indult ki.

Vacsora után Ballantine-sört kaptunk, amelynek érdekes gyári jele[9] van, valamint "treffcsomó"[10] alakú sósperecet. Slapenarskinak nagyon tetszettek ezek az apróságok, sõt még néhány javaslatot is tett hasonló szellemben, ezek azonban túlságosan bonyolultak, ezért nem írhatom le õket, meg a fõ témától is messzire sodornának bennünket. Térjünk vissza a bankett eseményeihez.

A vacsora befejeztével rövid bevezetõt tartottam, majd Slapenarski felállt, mosolyogva nyugtázta a tapsokat, megköszörülte a torkát. Várakozásteljes csönd honolt a teremben. Az olvasó már ismeri a professzor külsejét, atléta termetét, rövid szakállát és tar koponyáját, amit nem ismer, az a tekintete. Arckifejezése, ahogy beszélni készült, máz jelezte: valami nagyon fontos dolgot kíván közölni velünk.

Nehéz részletesen ismertetni Slapenarski nagyszerû elõadását. De a legfontosabb téziseit fel kell sorakoztatom. Amint elmondta, tíz évvel ezelõtt nagy hatással volt rá Möbiusnak az a megállapítása, hogy nincs semmiféle olyan elméleti ok, amiért egy adott felület ne veszthetné el mindkét oldalát, és ezzel, másként megfogalmazva, "oldalnélküli" felületté válna. Ezt Möbius egyik kevéssé ismert munkájában olvasta.

A professzor elmagyarázta, hogy az ilyen "nullaoldalú felületet" természetesen nem lehet elképzelni, de ugyanez vonatkozik a négyzetgyök mínusz egyre vagy a négydimenziós geometria hiperkockájára. Ámde már régóta mindenki egyetért abban, hogy egy koncepció elképzelhetetlensége egyáltalában nem jelentheti azt, hogy nem létezik, vagy hogy akár a matematikában, akár a modern fizikában ne lenne használható. Emlékeznünk kell arra, folytatta a professzor, hogy még az egyoldalú felületet sem tudja elképzelni az, akinek sohasem volt a kezében Möbius-szalag. És még ez sem elég, hiszen sok az olyan ember, akinek ugyan fejlett a matematikai látásmódja, és mégsem tudja megérteni, hogy mint is létezhet ilyesvalami, pedig már a kezében is tartotta.

Dr. Simpsonra néztem, és úgy láttam, mintha a szája szögletében szkeptikus mosoly bujkált volna.

Slapenarski folytatta elõadását. Elmondta, hogy hosszú éveken át dolgozott az oldalnélküli felület elkészítésén. Az ismert felülettípusok analógiája alapján az "oldalnélküli" felület számos tulajdonságát sikerült kielemeznie. És végül egy nap – itt drámai szünetet tartott, és apró, szürke szemét végighordozta a hallgatók várakozóan figyelõ arcán – sikerült végre megalkotnia az oldalnélküli felületet.

Ezek a szavak áramütésként hatottak. Mindannyian megremegtünk, fészkelõdni kezdtünk a helyünkön, és nagy ámulattal néztünk szomszédainkra. Észrevettem, hogy Simpson határozottan megrázta a fejét. Miközben az elõadó a terem másik végére ment, oda, ahol a tábla állt, Simpson elfordította a fejét, és a bal szomszédjának odasúgta: "Tiszta marhaság. Ez a Slap vagy megbolondult, vagy minket akar bolonddá tenni."

Az volt a benyomásom, hogy a többiek is tréfának tekintették az elõadást, mivel láttam, ahogy elmosolyodtak, mialatt a professzor nagy gonddal valamiféle görbéket rajzolt a táblára.

Rövid, de élénk magyarázat után (amely a görbékre vonatkozott, de abból egyetlen szót sem tudtam megérteni) a professzor kijelentette, hogy elõadását az "oldalnélküli" sík egyik egyszerûbb formájának megkonstruálásával fejezi be. Most már mindenki mosolygott Dr. Simpson mosolya inkább grimaszra emlékeztetett.

Slapenarski egy darabka papírt, ollót és ragasztós tubust vett elõ a zsebébõl. A papírból, legalábbis ahogy láttam, papírbabához hasonló figurát vágott ki. Öt kiálló elem volt rajta, ezek a fejre, kezekre és lábakra emlékeztettek. Ezután gondosan összehajtogatta, és ragasztani kezdte a figurát. Nagyon bonyolult mûveletet végzett. Az egyes sávok egymás fölött és alatt furcsán kerülték egymást, míg végül csak két végzõdés maradt meg. Slapenarski egy rétegnyi ragasztóval borította be ezt a két végzõdést.

– Uraim – szólt, felmutatva a kékes, összecsavarodott konstrukciót, és úgy forgatta meg, hogy mindannyian jól láthassuk –, egy pillanat múlva szemtanúi lesznek a Slapenarski-felület elsõ nyilvános bemutatójának.

Mikor ezt kimondta, a két kiálló véget összekötötte egymással. Hangos csattanás hallatszott, mint amikor egy villanykörte kiég, a papírfigura pedig eltûnt.

Annyira elképedtünk, hogy egy pillanatig mozdulni sem tudtunk a csodálkozástól. Aztán egyidejûleg tapsoltunk és nevettünk. Természetesen mindannyian azt hittük, hogy egy remek trükk áldozatai vagyunk, hogy tényleg kapitális tréfát ûzött velünk a nagy hírû tudós. Azt hittem ugyanis, s velem együtt mindenki abban a hitben élt, hogy amit láttunk, nem volt más, mint valami preparált papírral végzett mutatvány, és az anyag a súrlódástól vagy valami mástól felrobbanhatott, nem hagyva maga után még hamut sem.

Ám a professzort szemmel láthatóan igencsak bántotta ez a zajos ováció, és arca lassanként színben a szakálláéval kezdett vetekedni. Zavarában elmosolyodott, és tartózkodóan leült. Hogy a professzorból kitöröljük ezt a nem túlságosan kellemes benyomást, körülfogtuk, és gratuláltunk a nagy felfedezéshez. Ekkor Társaságunk elnöke emlékeztetett bennünket arra, hogy lent is fenntartottak szániunkra egy asztalt, és akiknek kedvük tartja, lemehetnek, ihatnak valamit, és megnézhetik a mûsort.

A terem lassan kiürült, és csak hárman maradtunk ott: Slapenarski, Simpson és én. A két kiváló topológus a tábla elé állt. Simpson széles vigyorral mutatta az egyik görbét.

– Kiválóan rejtette el gondolatmenetének hibáját, professzor úr – jelentette ki Simpson. – Nem tudom, vajon bárki mais képes lett volna-e arra, hogy észrevegye, mint én.

Slapenarski nem örült ennek a bókba tekert epéskedésnek.

– Nincs ott semmiféle hiba – replikázott türelmetlenül.

– No, no, doktor úr – makacskodott Simpson –, itt pedig hibának kell lennie. – Továbbra is mosolyogva, hüvelykujjával az egyik görbe sarkát kopogtatta. – A konstrukcióban ezek a vonalak itt nem keresztezhetik egymást. A keresztezõdésnek valahol itt kell lennie. – – Kezével jobbra intett.

Slapenarski újból ellilult.

– Mondom önnek, hogy ott nincs semmiféle hiba – nyilatkozott hangját megemelve. Aztán lassan a táblához ment, és kimérten hangsúlyozva a szavakat, még egyszer levezette a bizonyítást, majdnem minden mondatánál megkopogtatva ujjával a táblát.

Simpson figyelmesen hallgatta végig, majd ellenvetést tett. Ezt a professzor megcáfolta. Azután jött a második ellenvetés. Azt is megcáfolta. Csöndben meghúzódtam oldalt. A vita, legalábbis számomra, túlságosan magas színvonalúvá vált. Azután mindketten hangoskodni kezdtek. Említettem már, hogy Simpson ellenvéleménnyel élt, nemcsak most, hanem korábban is Slapenarski számos kiindulási axiómájával szemben. A professzor néhányat érvként használt fel az axiómák közül.

– Márpedig azt mondom magának, hogy a leképezés nem kétszeresen folyamatos, és ezért a két rendszer nem lehet homeomorf – kiáltotta Simpson.

Slapenarski halántékán dagadni kezdtek az erek:

– Akkor kérem, azt magyarázza meg, hogy miért tûnt el a forma, amit hajtogattam! – kiabált vissza a lengyel topológus.

– Ez csak amolyan olcsó trükk volt – replikázott Simpson. – Fogalmam sincs, hogyan csinálta, és egyáltalában nem is érdekel, de egészen biztos vagyok benne, hogy annak semmi köze ahhoz, hogy végsõ soron a forma egyszerre "oldalnélkülivé" vált.

– Szóval ez a véleménye! – sziszegte Slapenarski összeszorított foggal. Mielõtt bármit is tehettem volna, hatalmas ökle doktor Simpson állkapcsán csattant. A Wisconsin Egyetem professzora nyögött egyet, és a földre puffant. Slapenarski megfordult, és dühödt pillantást vetett rám.

– Lépjen el, fiatalember! – üvöltötte. Mivel legalább száz fonttal volt nehezebb, mint én, hanyatt-homlok engedelmeskedtem.

Rémülten néztem, mi történik. Slapenarski még mindig dühtõl õrjöngõvé torzult arccal térdelt a tehetetlen test mellé, és az ájult férfi kezét, lábát fantasztikus hurkokba bogozta. A wisconsini topológus testét tulajdonképpen ugyanúgy hajtogatta össze, mint ahogy a papírbabáét! Végül egy hirtelen kis robbanásszerû dörejt hallottam, mintha kipufogócsõ robbant volna a közelben, és Slapenarski csak Simpson doktor ruháját tartotta a kezében. Simpsonból "nullaoldalú" felület vált.

Slapenarski feltápászkodott, fújtatva zihált. Kezében a tweedöltönyt, benne a mellényt, az inget, és az alsóruházat többi részét tartotta. Ujjai szétnyíltak, s a ruha a földre esett. Kövér verejtékcsöppek csurogtak az arcán. Valamit motyogott, majd öklével a homlokát verte.

Valamennyire magamhoz tértem, az ajtóhoz mentem, és kulcsra zártam. Alig jött ki hang a torkomon, de azért megkérdeztem

– De vajon... vissza lehet õt hozni?

– Nem tudom, nem tudom – nyöszörögte Slapenarski. – Alig kezdtem meg ezeknek a felületeknek a kutatását. Épphogy elkezdtem... Fogalmam sincs, hol lehet... Kétségtelenül valamelyik magasabb rendû dimenzióban, talán valamelyik páratlanban van... Csak az Isten tudja, melyikben.

Megragadta a zakómat, és olyan erõvel rázott, hogy még a felsõ protézisem is kiugrott a helyébõl.

– El kell mennem, ahová õ ment – mondta. – Ez az egyetlen, amit tehetek érte. Ez minden.

Leült a padlóra, és nekifogott karjai, lábai összerakásának.

– Ne állj itt, .mint egy fajankó! – kiabált rám. – Segíts!

Visszatettem a protézist, és segítettem Slapenarskinak jobb karját a bal lába alá becsavarni, majd visszafelé a fej mögé annyira, hogy meg tudja fogni a jobb fülét. A bal kart hasonlóan kellett megcsavarni.

– Felül! Nem alul! – vezényelt.

Nagy nehezen sikerült olyan közel húznom az arcához, hogy meg tudta fogni az orrát.

És újból a robbanásszerû hang, most valamivel erõsebb, mint a Simpson eltûnésekor hallott... Hideg szél csapott az arcomba. Amikor kinyitottam a szemem, csak egy második ruhahalmaz feküdt elõttem.

Egy kis ideig meredten bámultam a két halom ruhára, amikor magam mögött váratlanul halk "pfft"-szerû hangot hallottam. Megfordultam. A fal mellett meztelenül és remegve ott állt Simpson. Arca halottfehér, a térde pedig felmondta a szolgálatot, s teste csöndben a földre csúszott. Testén, azokon a helyeken, ahol a professzor összetekergette tagjait, vörös nyomok látszottak.

Az ajtóhoz rohantam, kinyitottam, és szinte repültem lefelé a lépcsõn, hogy valami erõs italt keressek. Magamnak természetesen. Ekkor hangzott fel a parkettrõl az a bizonyos süket robaj. Slapenarski éppen akkor fejezte be szenzációs repülését.

A hátsó szobában már ott tolongtak a Möbius Társaság tagjai, valamint a Bíborkalaposok Klubjának tisztviselõi is. Mindenki nagyon izgatott volt. Slapenarski az abroszba csavartan ült egy széken, és állát jégkockákkal megrakott zsebkendõvel borogatta.

– Simpson visszatért! – kiáltottam. – Elájult, de az izgalmon kívül – azt hiszem – semmi baja.

– Hála istennek – sóhajtott Slapenarski.

A Bíborkalaposok Klubjának tulajdonosai és tisztviselõi természetesen egész életükben sem értették, hogy mi is történt ezen a rendkívüli éjszakán, és hiába igyekeztünk megértetni velük a históriát, képtelenek voltak felfogni, hogy mi is történt. Hogy a kavarodás még nagyobb legyen, megjött a rendõrség is.

Végül sikerült mindkét professzort felöltöztetnünk, rendbe hoznunk, és eltávoztunk a klubból azzal, hogy másnap mindent megmagyarázunk, s elhozzuk az ügyvédeinket is. A klub elnöke értésünkre adta, hogy szerinte valamilyen tengerentúli összeesküvés van a dologban, és azzal fenyegetõzött, hogy "reputációrontás" miatt beperel minket. Késõbb kiderült, hogy ez az eset kiváló reklámnak bizonyult a klub számára, és ezért a bíróságra nem került sor. Az újságírók természetesen mindenrõl tudtak, de a sajtó megelégedett azzal a hírrel, hogy Phanstiehl úr, a klub sajtóügynöke sikertelen – vagy nagyon is sikeres – reklámtrükköt hajtott végre.

Simpsonnak kutya baja sem lett a kalandtól, de Slapenarskinak eltörött az álla. Elvittem õt Billingsbe, az egyetem szomszédságában levõ kórházba, és késõ éjszaka itt mondotta el, hogy mit is gondolt errõl az egészrõl. Simpson minden bizonnyal valamilyen más dimenzióba (valószínûleg az ötödikbe), sík területre került. Amikor magához tért, kibontakozott helyzetébõl, és azon nyomban normális háromdimenziós lényként tért vissza az eredeti külsõ és belsõ síkjaival együtt. Slapenarskinak nem volt ilyen szerencséje. Valamilyen lejtõre jutott. Semmit sem látott szürke, meghatározhatatlan ködön kívül, de azt határozottan érezte, hogy lefelé zuhan. Jobb kezével mindenáron próbálta az orrát szorítani, de végül is nem bírta tovább. Mielõtt leért volna a lejtõn, a keze kicsúszott a feje mögül. Azonnal kioldódott, és visszazuhant a háromdimenziós térbe, mégpedig Dolores egyiptomi számának közepébe. Legalábbis Slapenarski így képzelte.

Néhány hétig a kórházban feküdt, és egyetlen látogatót sem fogadott egész idõ alatt. Az állomásra is én kísértem el. Beszállt egy New Yorkba tartó vonatba, most láttam utoljára. Néhány hónappal késõbb Varsóban egy szívroham végzett vele. Dr. Simpson most az özvegyével levelezik, mert szeretné az oldalnélküli felületre vonatkozó feljegyzéseit megszerezni.

Hogy ezek a feljegyzések (ha egyáltalán megkapjuk õket) topológusaink számára érthetõk lesznek-e, még kiderül. Papírfigurákkal számos kísérletet végeztünk, de csak két- és egyoldalú felületeket kaptunk. Az igaz, hogy Slapenarskinak segítettem összetekercselni saját magát, de érthetõen annyira izgatott voltam, hogy szinte nyomban elfelejtettem minden részletet.

Azt azonban soha nem felejtem el, amit a nagy topológus mondott azon az emlékezetes éjszakán, mielõtt a kórházat elhagytam volna.

– Tiszta szerencse – jegyezte meg –, hogy Simpson is, és én is a jobb kezünket eresztettük el elsõnek, és nem a balt.

– És miért? – kérdeztem.

Slapenarski szinte beleremegett a gondolatba.

– Mindketten belsejünkkel kifelé fordulva váltunk volna ismét háromdimenziósokká – válaszolta.

 

JEGYZETEK

1 Az ábraanyag G. Steingauz: Matyematyicseszkij Kalejdoszkop (Goszizdat Tyehnyiko-Tyeoretyicseszkoj Lityeraturi, 1949.) és E. P. Northrop: Rejtélyek a matematikában (Gondolat, 1960) c. könyvébõl való.

2 A szerzõ az ún. kétoldali, folytonos deformációkra gondol, amelyeknek – egyszerûen megfogalmazva – az a jellemzõje, hogy a tárgy két pontja nem ragad össze, de nem is szakad szét az ilyen deformáció, torzítás alatt.

Bármennyire is furcsa, ez a két alakzat a topológusok számára ugyanolyan. A kör is és ez a girbegurba firka is két részre osztja a síkot: vagy a görbén belül (B) vagyunk, vagy kívül (K). A körbõl kívülre csak a vonal átlépésével juthatunk el. Megfelelõ nagyságú körbõl a girbegurba alakzat szakítás és ragasztás nélkül elõállítható, de ugyanúgy kiindulhatunk ellipszisbõl vagy más egyszerû, zárt görbébõl, amely a síkot ugyanígy csak két részre osztja.

3 A tóruszt úgy kapjuk, hogy egy hosszúkás csõ két végét egymáshoz ragasztjuk.

4 Ha az olvasó közelebbrõl meg akar ismerkedni a matematikának ezzel az új ágával, akkor az Encyclopaedia Britannicában (tizennegyedik kiadás) az Analysis Situs és az Encyclopaedia Americanában ugyanilyen címszó alatt kiváló cikkeket talál. – M. G.

5 Az elsõ topológiai problémák egyike az Euler által megfogalmazott híres kérdés, amely a königsbergi hidakra (1.) vonatkozott: ha a B (vagy akár az A, C, D) ponthól kiindulunk, akkor minden hídon csak egyszer átmenve visszajuthatunk-e a kiindulási pontunkba? Hasonló topológiai problémákat jelentenek azok a feladatok, amelyekben egyetlen vonallal (tehát a ceruza felemelése nélkül) kell megrajzolni valamilyen alakzatot. A königsbergi hidak problémájának leegyszerûsített változata a következõ: megrajzolható-e ez az alakzat (2.) a ceruza felemelése nélkül, úgy, hogy csak egyszer haladunk át minden ponton?

6 Ha a Möbius-szalagot (1) középvonala mentén (fekete vonal) kettévágjuk, akkor a várt eredménytõl eltérõen nem két szalagot kapunk, hanem egyet, amely azonban már kétoldalú felületet képvisel (2). Ennek szélessége fele, hossza kétszerese az eredetinek. Ha a Möbius-szalagot hossza mentén három egyenlõ széles sávra vágjuk szét, akkor két egymásba kapcsolódó szalagot kapunk (3); az elõzõ szalag két fele egymáson átfonódik, akárcsak egy lánc két szeme.

7 Dr. Simpson késõbb elmondta, hogy tulajdonképpen nem az elõadás miatt jött el a vacsorára, hanem azért, hogy Dolorest láthassa. – M. G.

8 Nevét Felix Kleinrõl, a kiváló német matematikusról kapta. Ez a palack (a Klein-féle palack), hasonlóan a gömbhöz, teljesen zárt felület, de nincs se belsõ, se külsõ terc. A Möbius-szalaghoz hasonlóan egyoldalú, de nincsenek élei. Folyadékot tartalmazhat, és úgy lehet felvágni, hogy két Möbius-szalaggá váljon. – M. G.

9 Ez a jel nagyon érdekes topológai forma. Noha mindhárom gyûrû kapcsolódik egymáshoz, két tetszés szerinti között nincs kapcsolat. Más szóval, ha közülük egyet eltávolítunk, a fennmaradó kettõ szabad lesz. – M. G.

(Nézzük meg ezt az ábrát: Tulajdonságai megegyeznek a Gardner által leírt gyári jellel.)

10 A treffcsomó az egyszerû zárt görbén elképzelhetõ csomó legegyszerûbb változata. Két alakban ismeretes, az egyik a másik tükörképe. Habár topológiailag mindkettõ azonos, mégsem lehet folytonos transzformációval az egyiket a másikba átalakítani, ami a topológusoknak igen nagy gondot okoz. A csomók kutatása a topológia igen fontos ága, habár ma még nem sokat tudunk a legegyszerûbbekrõl sem. – M. G.

A treffhurok két változata agymásba csak úgy alakítható át, ha a fonalat elvágjuk, és újból összekötjük, noha a két alakzat teljesen azonos.