(Vissza a címoldalra)

Euklidész műve, amelynek új magyar fordítását veszi most a kezébe az olvasó, a matematika "klasszikusa". Mindannak nagy része, amit a középiskolában matematikából - különösen pedig amit mértanból, geometriából - tanultunk, megvan már az Elemekben. Sőt, sok helyütt a világon még nem is olyan régen ezt - az Elemeket - tanították az iskolában matematika órán. Alig is van még egy olyan munka, amely a könyvnyomtatás feltalálása óta olyan sok kiadásban látott volna napvilágot, mint Euklidész Elemei. - Ugyanakkor azonban a szerzőről magáról nagyon keveset, majdnem semmit sem tudunk. Kételyek merültek föl egyesekben legutóbb még a név helyesírását illetően is.

Euklidész nevét ugyanis az ókoriak nem egyszerű i-vel, hanem e+i betűkkel írták, amelyek eredetileg egy ún. kettőshangzót (diftongust) jelöltek. Ezt az utóbbit Erasmus nyomán (1467-1535) régi görög szövegekben ej-nek szokták olvasni. Ez a magyarázata annak, miért tettek kísérletet a közelmúltban többen arra, hogy a matematikus nevét is következetesen Eukleidész-nek írják. -- Nem tartjuk fontosnak ezt a próbálkozást már csak azért sem, mert ennek a matematikusok körében közismert névnek az esetében a legtöbb európai nyelv ragaszkodik az i hanghoz. Ezt tette magáévá korábban a magyar nyelvhasználat is. A magyar matematikusok különben is régen hozzászoktak már ahhoz, hogy Bolyai Jánossal kapcsolatban "nem euklidészi" geometriáról beszéljenek. Ebben a másik, gyakrabban használt megjelölésben tehát már amúgyis az i hangot használjuk. Azonkívül lehetővé teszi a hagyományossá lett majdnem latinos írásmód (Euklidész) azt is, hogy megkülönböztessük az ókori matematikust az ugyanolyan nevű, de kevésbé jelentős 4. századi filozófustól (a megarai Eukleidésztől), akivel már az ókorban gyakran összetévesztették. (Az összetévesztés egyébként Tiberius császár korától a 16. századig, tehát nem kevesebb mint másfél évezreden keresztül makacsul újra meg újra felbukkant.)

A matematikus Euklidészről tehát személy szerint úgyszólván semmit sem tudunk. Mindazt, amit mégis elmondhatunk róla, műveiből, főként éppen az Elemekből kell kiolvasnunk. Azt pl., hogy mikor élhetett, ilyen okoskodással szokták megállapítani.

Munkájából azonnal kiderül, hogy ezt csak a Platón és Arisztotelész u t á n i időben írhatták. Minthogy pedig Arisztotelész i. e. 322-ben halt meg, ez máris fontos "terminus post quem". De az is bizonyos, hogy Euklidész műve megelőzi a két híres ókori matematikust: Apollónioszt és Arkhimédészt. Arkhimédész, aki már idézi Euklidész Elemeit, i. e. 287 és 212 között élt. Euklidész tehát nagyjából i. e. 300 körül írhatta munkáját. - Jól összevág ezzel a datálással az is, amit annál a Proklosznál olvasunk, aki időszámításunk 5. századában élt, és akitől ránk maradt az euklidészi Elemek I. könyvéhez írt legjobb ókori kommentár. Van ugyanis Proklosz magyarázatai között egy olyan rövid áttekintés a legrégibb görög matematikusokról, amely újkori föltevés szerint még Arisztotelész tanítványától, a 4. századi Eudémosztól származhat. Ennek a többek által nagyra tartott eudémoszi áttekintésnek a gondolatmenete ugyancsak megerősíteni látszik az Euklidész életkorára vonatkozó kronológiai következtetést.

Ugyanígy felelünk arra a kérdésre is: Hol élhetett, vagy hol működött Euklidész? - A híres késő-antik matematikus, Papposz akinek az életkora egyébként szintén meglehetősen bizonytalan (időszámításunk 4. századának a vége, vagy inkább az eleje?) - említi "Matematikai Gyűjtemény" című munkájában, hogy a nagy Apollóniosz hosszabb ideig együtt volt Alexandriában Euklidész tanítványaival. Eszerint tehát Euklidész is Alexandriában élt. Vagy csak ott tanított egy darabig? Talán éppen az alexandriai "Múszeion" gazdag könyvtára tette volna lehetővé számára nagy műve összeállítását? - Ezek már inkább csak találgatások Papposz adata nyomán.

Elmondja még Papposz, hogy Euklidész lelkiismeretes, nyíltszívű, barátságos, szerény egyéniség volt. Nem zárkózott el a nála fiatalabbak ötletei, okfejtése elől; szívesen meghallgatta, mérlegelte ezeket is. Az pedig soha eszébe nem jutott volna, hogy mások érdemeit, gondolatait úgy tüntesse föl, mintha azok tőle származnának. - Ez az utóbbi megállapítás nyilván azzal függ össze, hogy Euklidésznek az Elemekben túlnyomórészt korábbi matematikusok tételeit, bizonyításait kellett rendszerbe foglalnia. Összeállításának azonban nem az volt a célja, mintha ő mindazt, amit előad, teljes egészében saját műveként akarta volna az olvasó elé tárni - ezt a gondolatot akarja kiemelni Papposz megjegyzése.

Ezzel pedig már ki is merítettük az Euklidészre vonatkozó antik híradásokat. Az a két anekdota, amely ezenkívül még Euklidész nevéhez fűződik, már nem őt magát jellemzi. Inkább az derü1 ki ezekből, hogyan gondolkoztak a régiek a matematikáról.

Elmondja pl. az előbb már említett Proklosz, hogy egy alkalommal maga Ptolemaiosz király, miután meghallgatta Euklidész egyik matematikai tárgyú előadását, azt kérdezte volna tőle: Miért nem lehet a matematikát egyszerűbben tanítani? Euklidész pedig azt felelte volna erre : azért nem, mert a matematikához nem vezet királyi út. - A kényelemhez szokott királyt és a szellemi nehézségeket büszke öntudattal vállaló matematikust állítja szembe egymással ez az anekdota, és nem arról a "szerény Euklidészről" beszél, akit Papposz említett.

Még jellemzőbb ennél az a másik rövid elbeszélés, amelyet Sztobaiosznál olvasunk, aki nagyjából kortársa volt Proklosznak. Ez a történet meg azt állítja, hogy megkérdezte egyszer valaki Euklidésztől: Aztán mi haszna lesz abból, ha megtanulta a matematika tételeit bizonyításaikkal együtt? Euklidész pedig erre - mondja tovább a folytatás - szólította volna rabszolgáját: Adjon már egy oboloszt a kérdezőnek, hogy valami haszna is legyen abból, amit tanult. - Mert antik elgondolás szerint azt, aki elég földhöz ragadt ahhoz, hogy a matematikának (és főként pedig a matematikai bizonyításnak) a hasznát keresse, ahelyett, hogy belefelejtkeznék a matematikai gondolatok szépségébe - azt csak így lehet kifizetni. - Ez az anekdota is arra vall, milyen szoros szálak fűzik a görög, az euklidészi matematikát az idealista, közelebbről a platóni filozófiához.

Bizonyos, hogy Euklidész messze legfontosabb és legismertebb műve az Elemek. De mielőtt erről beszélnénk, említsük itt meg egyéb, hasonlóképpen matematikai tárgyú munkáit, bár ezeknek egy részéről éppen csak tudunk.

1. A "Pszeudaria"-t ("Hamis tételek" vagy "Álbizonyítások") pl. csak címéről ismerjük, a munka maga elveszett. Nyilván arról szólhatott: hogyan kerülhetjük el a matematikában a téves gondolatokat, a rossz levezetéseket.

2. A "Dedomena" (= "Adott mennyiségek") című megmaradt munkája azt mutatja be, hogyan számíthatók ki bizonyos adott mennyiségekből más olyanok, amelyek az előbbiekkel összefüggenek ugyan, de közvetlenül nem ismertek. (A modern magyarázók általában félreértik ezt a munkát és úgy fogják föl, mintha ez valami "euklidészi algebra" kulcsa lenne.)

3. Egy másik, a síkidomok felosztásáról szóló munka csak jóval későbbi arab fordításban maradt ránk.

4. A "Poriszmoi" olyan tételeket mutat be, amelyek középhelyet foglalnak el a "theórémák" és a "szerkesztési feladatok" között.

5. Külön munkája foglalkozott a "mértani helyekkel".

6. Szólt Euklidésznek egy elveszett munkája a "kúpszeletekről". Ami ebben lényeges volt, az feltehetően belekerült Apollóniosz hasonló tárgyú munkájának abba a részébe, amely szerencsére fennmaradt. - Említsük itt meg mindjárt azt is, hogy Apollóniosz a kúpszeletek elméletében messze túljutott Euklidész eredményein.

7. Fennmaradt Euklidésznek egy műve a perspektíváról, "Optika" címen.

8. A tükörképekkel foglalkozik a "Katoptrika".

9. A régi pythagoreusok zeneelméletét foglalja össze az, amelyiknek latin címe: Sectio Canonis (= "A kánon metszése"), és végül

10. elemi asztronómia a "Phainomena" című. Az égbolt félgömbjének látszólagos mozgását, a csillagok felkelését-lenyugvását tárgyalja.

Annyi mindenesetre kiderül már ebből a puszta felsorolásból is: milyen problémakörök foglalkoztatták a görög matematikusokat az i. e. 4. század végén.

De jóval fontosabbnak tartotta ezeknél a műveknél már az ókor Euklidész nagy munkáját, az Elemeket. Erről kapta szerzőjük kitüntető nevét: Sztoikheiótész = "az, aki az Elemeket írta", minthogy az Elemek neve görögül: Sztoikheia.

Csakugyan, jegyezzük meg itt mindjárt: úgy látszik, senki sem írt az egész ókornak Euklidészt követő évszázadaiban még egyszer olyan természetű munkát, mint amilyen Euklidész Elemei. Különösen feltűnő ez azért, mert bár igaz, hogy az egész korábbi, Euklidész előtti görög matematikáról nagyon keveset tudunk, mégis biztos értesülésünk van arról, hogy éppen az Euklidészt megelőző nem egészen 150 év során hárman is kísérleteztek egy-egy olyan jellegű munkával, mint amilyen a mi számunkra Euklidész műve lett. Az egyik az 5. század második felének híres szofistája - és egyben tehetséges matematikusa - a khioszi Hippokratész volt. Ő lett az első, Proklosz híradása szerint, aki Elemeket állított össze. Ugyancsak Proklosz említi mint ilyen munkák szerzőit az egyébként ismeretlen Leónt, és egy bizonyos magnésziai Theudioszt.

Bár ezek a mi számunkra már csak puszta nevek - Hippokratész, León és Theudiosz, mint az Euklidészéhez hasonló "Elemek" szerzői - hiszen ezekből az összeállításokból semmi sem maradt fönn, sőt, úgy látszik, nem forgott közkézen ennek a háromnak a munkája már az ókorban sem; Prokloszon kívül egy antik szerző sem beszél ezekről a régi Elemekről. De egy bizonyos szempontból talán mégsem lényegtelen az, hogy tudunk Euklidészen kívül még három korábbi kísérletezőről. Ez ugyanis arra mutat, mintha egy bizonyos, történetileg jól körülhatárolható időszakaszban - talán éppen Euklidésszel zárult ez a kor - különös aktualitása lett volna egy ilyen természetű matematikai munka összeállításának.

A következőkben mindenekelőtt megpróbáljuk kideríteni: mi lehetett az aktualitása annak, hogy többen is írtak Elemeket a matematika kibontakozásának azon a szakaszán, amelynek záróköve az ókorban, a mi szemünkben, éppen Euklidész nagy műve.

Az Euklidészt magyarázó Proklosz írja a következőt:

"Minthogy azt állítjuk, a matematika feltételekből kiinduló tudomány, amely bizonyos princípiumokból (elvekből) vezeti le következtetéseit..., annak, aki Elemeket állít össze, külön kell tárgyalnia a tudomány princípiumait (az elveket), és külön azokat a dolgokat, amelyeket az előbbiekből vezet le. A princípiumokról nem kell számot adnia (ezeket nem kell bebizonyítania). De feltétlenül be kell bizonyítania mindazt, amit a princípiumokból következtet..."

"Princípiumok" vagy "elvek" a neve ebben az idézetben mindannak, amit Euklidész mint definíciókat, posztulátumokat és axiómákat sorol fel. A másik csoport viszont - az, ami a princípiumokból következik - a tételek (= theórémák) és a szerkesztési feladatok összessége. [Nevezhetjük ezt az utóbbi csoportot összefoglaló értelemben egyszerűen "tételek"-nek is, minthogy igazában nincs lényeges különbség tétel és geometriai feladat között. Minden szerkesztési feladat megfogalmazható tétel formájában is.]

Proklosz tehát egyrészt kettéosztja a matematika egészét - princípiumokra és theórémákra - másrészt pedig leszögezi, hogy a matematikus a princípiumokat nem bizonyítja be - ezeket bizonyítás nélkül fogadja el igazaknak. De be kell bizonyítania mindazt, amit a princípiumokból következtet. Más szóval: a matematika olyan bebizonyított állítások (tételek) rendszere, amelyek be-nem-bizonyított (bizonyítás nélkül elfogadott) elvekre (princípiumokra) épülnek.

Valóban jól talál ez a jellemzés mind Euklidész művére, mind pedig az egész matematikára. A kérdés csak az: Hogyan jutottak el a görögök oda, hogy így értsék és így építsék föl a matematika rendszerét - már Euklidész előtt? Mert nyilvánvaló, hogy Proklosznak igaza van. Addig, amíg nem választják szét egyszer s mindenkorra a bizonyítás nélkül elfogadott matematikai elveket és a belőlük levezetett (bebizonyított) tételeket, gondolni sem lehet arra, hogy valaki az Euklidészéhez hasonló Elemeket állítson össze. Valamiképpen érvényesülnie kellett az ilyen megkülönböztetésnek már annak a másik három szerzőnek az esetében is, aki Euklidész előtt az övéhez hasonló feladatra vállalkozott. - De nézzük csak meg közelebbről, mi az értelme egyáltalán az elvek és tételek szétválasztásának.

Ha megelégednénk olyan válasszal, amilyent erre a kérdésre Arisztotelész követői adnának, egyszerűen azt is mondhatnánk: Bizonyítás nélkül igaznak kell elfogadnunk a tételek egy részét (a princípiumokat), mert ha nem tennénk ezt, ha be akarnánk bizonyítani ezeket is, akkor ez a törekvésünk elkerülhetetlenül regressus ad infinitumhoz vezetne.

Bár ez kétségtelenül így van, de magyarázatnak ez talán mégsem elég. Mert ez a megokolás nem hívja fel a figyelmet arra, hogy az előbb feltett kérdés tulajdonképpen a bizonyítással elérhető evidencia problémájához kapcsolódik.

Annak a korábbi matematikai ismeretnek, amelyet az ember a mindennapi életben oly gyakori számolások, mérések során szerzett meg, még aligha volt szüksége elméleti bizonyításra. Hiszen gyakorlati, empirikus ismeret volt ez, amelyet maga az empíria, a gyakorlat igazolt.

Ha egyelőre a matematika keretein belül maradunk, és így vizsgáljuk a kérdést, valószínűbb, hogy a bizonyítás szükségességének a gondolata inkább az olyan matematikai természetű megfigyelésekkel kapcsolatban merült föl, amelyeknek helyes vagy helytelen voltáról pusztán a gyakorlat, az empíria alapján nem lehet dönteni. Ilyen tapasztalati úton el nem dönthető elemi matematikai megfigyelés pl. a következő kettő.

1. Bizonyos, hogy a görög matematikusokban egyszer föl kellett merülnie a kérdésnek : Tegyük föl, hogy adva egy négyzet, amelynek az oldalát valamilyen mértékszámmal fejeztük ki. Mekkora lesz ennek a négyzetnek az átlója ugyanazokban a mértékegységekben kifejezve, mint amelyeket az oldal megmérésére alkalmaztunk? - Kézenfekvő, hogy egy ilyen kérdésre kezdetben méréssel vagy számítással keresik a választ. Aztán észreveszik, hogy hiába próbálkoznak, nem találnak sem egész-, sem törtszámot, amellyel a négyzet átlóját az oldalhoz tudnák mérni. Azt tapasztalják, hogy a legjobb esetben is csak megközelítik a keresett mértéket. Dehát csakugyan így lesz ez minden esetben? - Erre a kérdésre a gyakorlat nem ad megnyugtató választ. Mert a próbálkozás csak azt mutatja, hogy az adott konkrét esetben nem sikerült a kísérlet. De vajon nincs-e mégis a végtelenül sok ki nem próbált eset között olyan is, amely más eredményre vezet? Végtelenül sok esetet nem próbálhatunk ki, a próba mindig csak véges számú lehet.

2. Ugyanígy nem dönthető el empirikusan a következő egyszerű aritmetikai probléma sem. - Könnyű belátni azt, hogy a természetes számok sora végtelen, azaz: nincs legnagyobb természetes szám. Mert bármilyen nagy számot veszünk is példaként, mindjárt hozzáadhatunk még 1-et, és ezzel máris túljutottunk azon, amelyet az előbb feltételesen "legnagyobb számnak" vettünk. De próbáljuk meg most ezt a gondolatmenetet egy kissé érdekesebb formában. - Osszuk a természetes számokat két csoportba. Legyen az egyik csoport azoké a számoké, amelyeknek nincs valódi osztójuk, mint 2, 3, 5, 7, . . . ; ezek az ún. prímszámok, amelyek ti. csak önmagukkal és az egységgel oszthatók (ezért mondjuk róluk, hogy "nincs valódi osztójuk"). A másik csoportba pedig tartozzanak azok a számok, amelyeknek van valódi osztójuk. Ezek az utóbbiak az összetett számok. Ezek ti. felépíthetők mint csupa prímszám szorzatai, összetételei, pl. 6 = 2·3. - Azt már beláttuk az előbb, hogy "nincs legnagyobb természetes szám", vagyis: a természetes számok sora végtelen. De hogy állunk a prímszámokkal? Ezekből is végtelen sok volna tán? Vagy van esetleg egy "utolsó", "legnagyobb prímszám", és mindaz, ami ezután jön, ami nagyobb ennél, az már csak összetett szám lehetne, amelyet nála kisebb prímszámok szorzataként állíthatnánk elő?

Világos, hogy ez a probléma sem dönthető el empirikusan, azzal, hogy egyszerűen hivatkozunk arra, amit tapasztalunk. A tapasztalás helyett ebben az esetben is elméleti bizonyításhoz kell folyamodnunk.

Mai történeti tudásunk szerint az elméleti bizonyítás problémája a görögöknél legkorábban nem a matematikában, hanem az ún. eleai filozófiában merült föl az i. e. 5. század első felében. Az eleai iskola képviselői - Parmenidész, Melisszosz és Zénón - azt tanították, hogy a tudás, amelyet érzékszerveink útján nyert tapasztalásból merítünk, azaz: empirikusan szerzünk, megbízhatatlan, félrevezető. Az érzékszervek útján nyert benyomások önmaguknak ellentmondó állításokra vezetnek. Az eleai filozófusok csakugyan ki is tudták mutatni az ellentmondást még az olyan legegyszerűbb állításokban is, amelyeknek helyességét a mindennapi életben rajtuk kívül senki sem merte volna kétségbevonni. Ezzel közvetve arra is rámutattak, hogy hamisnak, tévesnek tekintendő az az állítás, amely ellentmondásra vezet. (Helyes, vagy igaz csak a megcáfolt állítás ellenkezője lehet.)

Úgy látszik, az eleai filozófia képviselői kezdetben beérték a puszta cáfolással. A folytonos cáfolgatás azonban könnyen szofisztikába torkollik. Ha minden állításban ki tudjuk mutatni az ellentmondást, akkor ez egyértelmű azzal, hogy "igaz állítás" tán nem is lehetséges.

Volt azonban az eleai filozófia továbbépítésének egy másik lehetősége. Ki lehetett indulni olyan állításokból, amelyeknek igaz voltát minden kétségen felül állónak tartották. Ezeket el lehetett fogadni ellenőrzés nélkül. Ezekre építhették a további vizsgálódást, és most már csak azt kellett ellenőrizniök: melyek azok a további állítások, amelyek összhangban vannak a kiindulásul elfogadott, az alapul vett állításokkal.

Így bontakozott ki az eleai filozófia vitáiból az a görög dialektika, amelyet különösen Platón műveiből ismerünk. Ennek a dialektikának egyik kikristályosodott formája az euklidészi matematika.

Amint látjuk, előfeltétele volt annak, hogy valaki kísérletet tegyen az Euklidészéhez hasonló matematikai Elemek összeállítására, az alábbi három:

1. Mindenekelőtt meg kellett lennie annak az igénynek, hogy a matematikai ismereteket szabatosan megfogalmazott állításokba, tételekbe - foglalják, és hogy ezeket a tételeket be is bizonyítsák. (Tételeket ti. a korábbi, a görögség előtti matematika még egyáltalán nem fogalmazott meg.)

2. Rá kellett jönniök arra, hogy a matematikai bizonyítás nem lehet egyszerűen a tapasztalatra, az empíriára való hivatkozás. Éppen ellenkezőleg: annak a matematikusnak, aki Elemeket akart összeállítani, az absztrakciónak olyan fokára kellett emelkednie, amely már elfordul a közvetlenül, az érzékszervekkel tapasztalható anyagi va1ó-ságtól. Az elméleti bizonyítás csak elméleti megfontolásokbó1 indulhat ki.

3. Ahhoz, hogy valaki összeállítsa a matematikai természetű állításoknak (tételeknek) valamiféle rendszerét, bizonyításaikkal együtt, okvetlenül kísérletet kell tennie arra is, hogy megállapítsa: melyek azok az állítások, amelyeket elfogad bizonyítás nélkül, milyen princípiumokra, elvekre építi rendszerét. - Feltehető, hogy a matematikai princípiumok összeállítását próbálkozások előzték meg. Nem valószínű, hogy azokat a matematikai elveket (definíciókat, posztulátumokat és axiómákat), amelyeket Euklidész művében találunk, bárki már az első próbálkozásra hiánytalanul össze tudta volna állítani. Ezért van az, hogy még Arisztotelész is - aki pedig majdnem egy egész évszázaddal később élt, mint az a khioszi Hippokratész, aki elsőnek állított össze Elemeket - hosszasan értekezik arról, milyenek legyenek a matematika bizonyítás nélkül elfogadott elvei.

Igaz, nem tudjuk, milyen mértékben ismerték föl ezt a három követelményt már Euklidész előtt azok a szerzők, akik éppenúgy, mint ő maga, megpróbálták összeállítani a matematika Elemeit, és mennyire tudták ki is elégíteni az ilyen igényeket. Arra sem vállalkozhatunk ebben az összefüggésben, hogy magából Euklidészből mutassuk ki a korábbi Elemek nyomait. Elégedjünk meg itt azzal a megállapítással, hogy az euklidészi Elemek magas tudományos szín-vonala, a bizonyítások szigorúsága, világos, tiszta megfogalmazása, egyszóval: mindaz, ami Euklidészben az évszázadok hosszú során át felülmúlhatatlannak látszott, és amin úgyszólván csak a legújabbkori matematika tudott túlhaladni - mindez megerősíteni látszik az elgondolást, hogy nemcsak az Elemek egyes tételei, hanem magának az egész műnek a felépítése is több megelőző kísérlet után érlelődött olyanná, amilyen formában ránk maradt.

Arra a kérdésre tehát, hogy mi lehetett az aktualitása annak, hogy már az Euklidészt megelőző másfél évszázad során többen kísérleteztek azzal, hogy matematikai Elemeket írjanak, összefoglalóan csak a következőket felelhetjük.

Az eleai filozófusok rájöttek arra, hogy az érzékszervek útján nyert benyomásaink, tapasztalataink megbízhatatlanok. Az empíria önmagában nem vezet igazi tudáshoz. Kimutatták azt is, hogy az önmagának ellentmondó állítás nem lehet igaz. (Ezzel közvetve az ellentmondásmentességet tették meg az igaz állítás kritériumának.) Ilymódon egyrészt fölmerült a bizonyítás igénye, másrészt pedig össze kellett állítani (legalább is a matematikában) azoknak a lehetőleg "egyszerű" tételeknek a rendszerét, amelyeket bizonyítás nélkül igaznak tarthattak; ezek lettek a matematika elvei, princípiumai.

Bizonyára nem véletlen az, hogy ezek a törekvések éppen abban az időben vezettek egymásután többször is Elemek összeállítására, amikor, úgy látszik, az egész görög szellemi életre különben is erősen hatott az eleai filozófia. (Elég lesz itt talán emlékeztetni a "látszat" és a "valóság" ellentétének problémájára, amely ugyanebben az időben annyira foglalkoztatta az egész görög irodalmat. Igazában ezt a problémát is az eleai tanítás állította az érdeklődés középpontjába.) Nagyjából az i. e. 450-től 300-ig terjedő kor ez.

Befejezésül egészítsük ki ezt a kitérést az Elemek bizonyításformáinak rövid áttekintésével.

Euklidész kétféle bizonyítást ismer. Nyomatékosan fel kell hívnunk e kettő közül a figyelmet arra, amelyiket az 5. századi Platón mint a matematikára különösen jellemző bizonyítást emleget. Ez a reductio ad absurdum, vagy más néven indirekt bizonyítás.(megj_1) Ez volt már az eleai filozófusok (Parmenidész és Zénón) gyakran alkalmazott okoskodása. Ez abból áll, hogy kimutatja: igaznak kell lennie a bizonyításra kiszemelt tételnek, mert ugyanennek az ellenkezője - az állítás tagadása - ellentmondásra vezet, s ezért nem lehetséges.

Pl. az előbb említett két tétel közül az elsőt - azt, hogy a négyzet oldala és átlója nem összemérhető mennyiségek - a következő okoskodással bizonyítja be Euklidész (v. ö. az Elemek X. 27. függelékével).

Mindenekelőtt fogalmazzuk meg a bebizonyítandó tétel ellenkezőjét: "a négyzet oldala és átlója összemérhető". (Ezt az utóbbit fogjuk tehát cáfolni.)

A négyzet átlójára és két oldalára érvényes Pythagorasz tétele: az átfogó (ebben az esetben az átló) négyzete egyenlő a két befogóra (a négyzet oldalaira) emelt négyzetek összegével. Tehát

x² = 2y².

Ha x és y összemérhető, akkor ez a két szám relatív prím. (Illetőleg, ha nem relatív prím, akkor addig egyszerűsítjük őket, míg relatív prímek lesznek.) A felírt képlet arra vall, hogy x² páros szám. Mert csak páros szám lehet egyenlő egy másik szám duplájával. Persze, ugyanígy páros szám x is. Mert csak páros számnak a négyzete páros.

De éppen ezért y-nak páratlannak kell lennie, hiszen megegyeztünk már abban, hogy x és y relatív prímek.

Ha viszont x páros (x = 2z), akkor az előbbi képletet így is írhatjuk:

(2z)² = 2y², vagyis 4z² = 2y².

Ha most ennek a legutóbbi egyenletnek mindkét oldalát osztjuk 2-vel, akkor azt kapjuk, hogy 2z² = y². Ez viszont arra vall, hogy y páros szám, mert csak páros szám négyzete lehet egyenlő egy másik számnak a duplájával.

Dehát lehet-e valamely szám egyszerre páros is meg páratlan is mert az előbb arra az eredményre jutottunk, hogy "y-nak páratlannak kell lennie" ? - Nyilvánvaló, hogy nem. Okoskodásunk, amely egyébként hibátlan volt, azért vezetett abszurd ellentmondásra, mert kiindulásunk volt téves: az az állítás, hogy "a négyzet oldala és átlója összemérhető". Miután pedig ezt megcáfoltuk, ez egyszersmind bizonyítás arra is, hogy a tétel ellenkezője igaz: "a négyzet oldala és átlója nem összemérhető".

Az alapvető, bizonyítás nélkül elfogadott elv, amelynek segítségével sikerült megcáfolnunk bebizonyítandó tételünk ellenkezőjét, mindössze ez volt: "valamely szám nem lehet egyszerre páros is, meg páratlan is". Ez a princípium pedig nem egyéb, mint a páros és páratlan szám definíciójának más megfogalmazása. - Ezen az elven kívül szükségünk volt még a bizonyításhoz a Pythagorasz-tételre; ezt az adott esetben már előzőleg bebizonyítottnak vettük.

Vegyük észre azt is, hogy a bemutatott bizonyítás nem valamely konkrét négyzeten illusztrálja az átló és az oldal összemérhetetlenségét, hanem érvényes minden négyzetre. Mert bármely négyzet átlóját és oldalát jelölheti x és y - két mennyiség, amelyet a bizonyítás során "számoknak" gondolunk. Minden négyzet esetében érvényes az átlóra és oldalra a Pythagorasz-tétel. És minden számra érvényes az, hogy vagy páros, vagy páratlan, de nem lehet egyszerre mind a kettő. - Ez a bizonyítás tehát valóban minden, azaz: végtelen sok négyzetre érvényes.

Szinte még elegánsabb ennél az, ahogy Euklidész az előbb példaként említett másik tételt bebizonyítja: a prímszámok sorozata végtelen.(megj_2) Ennek a tételnek az indirekt bizonyításához ti. szinte nem is kell egyéb, mint a prímszámnak és az összetett számnak az a két definíciója, amelyre föntebb már utaltunk.(megj_3) A gondolatmenet nagyjából a következő:

Fölállítjuk a bebizonyítandó tételnek ellentmondó állítást: "Előállítható a prímszámok véges sorozata". Erről az állításról kell a bizonyításnak kimutatnia, hogy ez téves, azaz igazában: "n e m á 1 1 í t h a t ó e 1 ő a prímszámok véges sorozata".

Ha csakugyan előállítható a prímszámok véges sorozata, akkor ez azt jelenti, hogy fölírhatunk - esetleg egy nagyon hosszú sorban minden prímszámot. Szimbolizálja pl. a következő három betű - x, y és z - a prímszámok egész sorát, mintha ezeken kívül már nem is volna több prímszám.(megj_4) Szorozzuk össze ezeket mind, és legyen

valamilyen összetett szám. Kérdés: Milyen szám lesz akkor

(Q+1) = x·y·z+1 ?

Nyilván csak két lehetőségre gondolhatunk: vagy prímszám, vagy összetett szám. Nézzük meg külön-külön, mit jelent e két lehetőség.

1. Ha prímszám (x·y·z+1), akkor nem igaz az, hogy az előbbi sor x, y, z tartalmaz minden prímszámot. Akármilyen sokat is szimbolizál ez a három betű, van ezeken kívül még több prímszám is, máris találtunk egyet: (x·y·z+1).

2. De előfordulhat az is hogy (x·y·z+1) összetett szám. [Mielőtt tovább vizsgálnánk ezt a lehetőséget, tegyük félre egy pillanatra Euklidészt, és kérdezzük meg, tőle függetlenül: Csakugyan előfordulhat az is, hogy összetett számot kapunk, ha 1-gyel növeljük a prímszámok valamilyen szorzatát? - Hogyne! Vegyük pl. ezt a két prímszámot: 2 és 13. Ezeknek szorzata 2·13=26 összetett szám, de ugyancsak összetett szám az 1-gyel nagyobb 27 is.] Ha tehát összetett szám (Q+1), akkor ennek - az összetett szám definíciója értelmében osztója kell legyen valamely prímszám. De ez az osztó nem lehet egyik sem azok közül a prímszámok közül, amelyeknek szorzata Q = x·y·z, mert ha ezek közül bármelyikkel osztjuk is Q+1-et, maradékul 1-et kapunk. Ez azt jelenti: csak olyan prímszám lehet a Q+1 összetett szám osztója, amelyet az előbb kifelejtettünk, amikor azt hittük, hogy x, y és z-vel felsoroltuk a prímszámokat mind. [Ha az előbbi illusztráló példára gondolunk, a 2·13+1=27 -nek nem osztója a két prímszám, 2 és 13 közül egyik sem, de osztója egy "kifelejtett prímszám": a 3.]

Látjuk tehát: egyik esetben sem sikerült összeállítanunk a prímszámok teljes (véges) sorozatát, több prímszám van, mint amennyit bármikor is fel tudnánk sorolni: a prímszámok sora végtelen.

Feltűnhet ezen a bizonyításon az is, hogy bár azt állítjuk: több prímszám van, mint amennyit fel tudunk sorolni, és bár a bizonyítás csakugyan abból áll, hogy rámutatunk: a felsoroltakon kívül - bármilyen sokan legyenek is - lennie kell még legalább egy prímszámnak, de igazában mégis függőben marad: Melyik hát az a sorozaton túli prímszám, amelyikről beszélünk? Mert ez lehet: (x·y·z+1), de lehet egy olyan is, amelyikről csak azt tudjuk, hogy nem x, nem y és nem z.

Az Elemek másik bizonyításformája az ún. szintetikus bizonyítás. (Görögül szyntheszisz "összetevés", "összeállítás" vagy "összerakás".) Ez abból áll, hogy több alapul vett - bizonyítás nélkül igaznak tartott - állítást (princípiumot) vagy esetleg már korábban bebizonyított, igazolt tételt úgy állítunk össze, hogy magából az összeállításból, a szintézisből derüljön ki: a bebizonyítandó tételnek szükségszerűen igaznak kell lennie, mert ez valójában nem is egyéb, mint "következménye" ismert és elfogadott princípiumoknak vagy korábban igazolt tételeknek.

A következőkben bemutatok Euklidész nyomán egy ilyen négy lépésből álló (I-IV.) szintetikus bizonyítást. De mielőtt idézném magát a tételt és bizonyítását, érdemes lesz előrebocsátani itt két megjegyzést. Egyrészt azt, hogy az alább idézendő tétel annyira egyszerű, hogy bizonyítása tulajdonképpen fölösleges. A szemlélet közvetlenül és azonnal igazolja az állítást. Nem valószínű, hogy ezt bárki - aki egyáltalán megértette, hogy miről van szó - valaha is megpróbálta volna kétségbevonni. A bizonyítás tehát ebben az esetben - amint ez egyébként többször előfordul az Elemeltben - öncélú. Aki ezt megszerkesztette, az nyilván csak azt akarta a bizonyítással illusztrálni: íme, ez a tétel sem egyszerű princípium, hanem levezetett theóréma. Másrészt érdemes lesz felhívni a figyelmet arra is: a bemutatandó szintetikus bizonyítás első lépése máris utalás egy másik, közvetlenül előtte bebizonyított és még egyszerűbb tételre. Csak azért nem ezzel a másik tétellel illusztrálom a szintetikus bizonyításformát, mert ez túlságos egyszerűsége miatt már nem is instruktív.

A tétel tehát, amelynek bizonyításáról szó lesz, az Elemek I. könyvének 15. theórémája, így hangzik:

"Ha két egyenes metszi egymást, a keletkező csúcsszögek egyenlők." Arról van tehát szó, hogy az AB és a CD egyenesek, melyek metszik egymást, az x és y csúcsszögeket alkotják; x és y pedig egymás között egyenlők. (Természetesen csúcsszög a másik kettő is; z és a vele szemben fekvő, amelyet az ábrán nem betűztünk meg. Beszélhetnénk ennek az utóbbi kettőnek az egyenlőségéről is.)

Euklidész, hogy a bizonyítást megkönnyítse, megbetűzi a két egyenes metszéspontját is, amely egyben a keletkező csúcsszögek közös pontja: E. A bizonyítás maga a következő négy lépésből áll.

I. Az AB és az ED egyenesekre pillantunk, és megállapítjuk: a két egymás mellett fekvő szög összege két derékszög: z+x = 2R. Éppen ezt mondja ki ti. a korábban bebizonyított I. 13. tétel:

"Ha úgy keletkeznek szögek (z és x), hogy egy egyenest (AB) állítunk egy egyenesre (ED), akkor vagy két derékszög, vagy (összegben) két derékszöggel egyenlő szögek keletkeznek."

[Közbevetőleg azt is megjegyezhetjük, hogy ez az éppen idézett tétel csak kiegészíti az egyik princípiumot, az I. könyv 10. definícióját: "Ha valamely egyenesre egyenest állítunk úgy, hogy egyenlő mellékszögek keletkeznek, akkor a két egyenlő szög derékszög, és az álló egyenest merőlegesnek mondjuk arra, amelyen áll."]

II. A második lépés csak abban különbözik az elsőtől, hogy most a CD és AE egyenesekre pillantunk, és megállapítjuk, hogy a y és x szög összege is két derékszög kell legyen: y+x = 2R. Ezekre is érvényes ti. az előbb idézett tétel, mert most is egy egyenesre (CD) állítottunk egy másik egyenest (AE), és most is két szög keletkezett egymás mellett: y és z.

III. A harmadik lépés abból áll, hogy észrevesszük: van két olyan egyenletünk, amelyeknek jobb oldalai azonosak:

z+x = 2R és y+z = 2R.

Ezekre érvényes az Elemek egyik princípiuma, az 1. axióma: "Ha két mennyiség egyenlő egy közös harmadikkal, akkor a két mennyiség egymás között is egyenlő." Azaz:

IV. Végül pedig negyedik lépésben észrevesszük, hogy új egyenletünknek mind a bal, mind a jobb oldalán egyformán szerepel ugyanaz a z mennyiség. Erre tehát alkalmazhatjuk az Elemek egy másik princípiumát, a 3. axiómát: "Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, a maradékok egyenlők lesznek." Vonjuk ki az egyenlet mindkét oldalából z-t; utána ez marad

Éppen ezt akartuk bebizonyítani: a két csúcsszög, x és y egyenlő. Látjuk tehát: a szintetikus bizonyítás felépítése abból áll, hogy úgy csoportosítunk, illetőleg alkalmazunk ismert és már igaznak elfogadott állításokat (princípiumokat vagy már korábban elfogadott tételeket), hogy alkalmazásuk, azaz a velük végzett műveletek közvetlenül vezessenek e1 a bizonyítandó tételhez.

Ahhoz, hogy a tárgyalt tételt ne egyszerűen csak a szemlélet alapján fogadjuk el igaznak, hanem azt is belássuk, hogy ennek csakugyan szükségszerűen így kell lennie, három másik már korábbról ismert tételre kellett gondolnunk. Sőt, a három közül az egyiket egymásután kétszer is alkalmaznunk kellett (lásd az I. és a II. lépést), mert csak így jutottunk közelebb a célul kitűzött bizonyításhoz. Azonkívül nem elég még az sem, hogy egyszerűen csak hivatkozzunk a három fölhasznált tételre. Elengedhetetlen a bizonyításhoz - legalább részben - az alkalmazott tételek föntebb követett sorrendje is. A III. és IV. lépés csak az I. és II. után kerülhet sorra.

Az Elemekben található bizonyítások nagy része feltehetően éppenúgy az Euklidész előtti korból származik, mint a tételek és szerkesztések többsége. Vannak esetek, amelyekben a történeti kutatás konkréten ki is tudta mutatni a korábbi eredetet. Az egyik föntebb bemutatott bizonyítással kapcsolatban pl. már Arisztotelész elmondja, hogy ezt a négyzetre vonatkozó tételt azzal szokták bizonyítani: ha összemérhető lenne az átló és az oldal, akkor ugyanannak a számnak kellene egyszerre párosnak és páratlannak lennie. - Euklidész tehát ebben az esetben készen vette át a hagyományos bizonyítást művébe.

Vannak viszont az Elemekben olyan tételek is, amelyekkel kapcsolatban az antik források éppen a bizonyítást vagy a tétel általánosítását tulajdonítják Euklidésznek. Proklosz pl. a híres Pythagorasztételről mondja őszinte csodálattal, hogy ennek a bizonyítása az Elemekben (I. 47) magától Euklidésztől származnék, és mindjárt hozzáteszi azt is, hogy ugyanennek a tételnek egyik általánosítása a VI. könyvben (31.) ugyancsak az Elemek szerzőjének a műve lenne. Talán nem lesz fölösleges megemlíteni itt mindjárt azt is, hogy a modern kutatás ebben az összefüggésben némi szkepszissel fogadta Proklosz szavait. Egyrészt kétségbevonták, hogy az adott bizonyítás (I. 47.) csakugyan Euklidésztől származnék, másrészt viszont - ami a tétel általánosítását illeti a VI. könyvben (31.) - a bizonyítást találták kissé elnagyoltnak, hiányosnak - egyáltalán nem csatlakozva ezúttal Proklosz lelkesedéséhez.

Ne feledkezzünk meg arról sem, hogy azok, akik a legutóbbi évtizedek során behatóbban foglalkoztak az Elemekkel, nem a "nagy matematikust" látták Euklidészben, nem is "rendszerező munkáját" emelték ki, inkább didaktikai érdemeit hangsúlyozták. Egyben utaltak ezek a megfigyelők arra, hogy a 13 könyvből álló Elemek színvonala korántsem mindenütt egységes. Vannak benne egészen kiváló, elsőrangú matematikusra valló részek, de olyanok is, amelyek azt a benyomást keltik a modern olvasóban, mintha az előbbieknél jóval gyengébbek lennének. Ezt azzal magyarázták, hogy azokban a könyvekben, amelyekben Euklidész kiváló matematikus elődök munkásságára támaszkodott, ott az ő színvonala is meglepően magas lett; ahol viszont nem álltak a rendelkezésére ilyen előmunkálatok, ott nem is tudta megközelíteni a különben magas színvonalat.

Tekintsük át ezek után nagy vonásokban az Elemek első 13 könyvének a tartalmát. Csak ezek a könyvek származnak ugyanis kétségtelenül magától Euklidésztől. Bár van az Elemek legtöbb fennmaradt kéziratában - a késő-ókorra mennek vissza ezek mind - egy XIV., sőt még egy XV. könyv is. De tudjuk erről a kettőről, hogy ezeket csak utólag csatolták Euklidész munkájához. A XIV. könyv szerzője az alexandriai Hypsziklész volt az i. e. 2. században. A XV. könyv pedig még későbbi eredetű, időszámításunk 6. századából való.

Azonnal feltűnik mindenkinek, aki ezt a munkát elfogulatlanul veszi a kezébe, hogy Euklidész túlnyomórészt a geometriával foglalkozik; az aritmetika ezen belül csak egészen alárendelt szerephez jut, nem is foglalkozik vele több csak az Elemek három könyve: a VII., VIII. és IX. Pedig ez az eljárás egyáltalán nincs összhangban azzal, amit Proklosz az Elemekhez írt kommentárjában, az ún. "második előszóban" kifejt. A magyarázó ugyanis egyértelműen leszögezi: a matematika tudománya két részből áll: aritmetikából és geometriából. Sőt Proklosz nyomatékosan hangsúlyozza: a geometriát pedig csak a második hely illeti meg az aritmetika után. A megokolás erre a rangsorolásra kettős:

Egyrészt a számok elvontabbak (absztraktabbak) mint a geometriai idomok. A számok között van olyan legkisebb, amelyből minden további szám felépíthető: az 1. (A görög aritmetika ragaszkodott az 1 oszthatatlanságának a gondolatához. Kisebb szám mint 1 nincs. A törteket két-két szám aránya helyettesíti.) De nem így a geometria. A geometriában nincs legkisebb; itt megvan a "végtelenül osztható"; ahol pedig ez föllép, ott mindjárt jelentkezik az is, amit a görögök alogonnak ("ésszel föl nem foghatónak") neveztek.

Bizonyos, hogy Proklosz rangsorolása csakugyan sokkal jobban megfelel a görög tudomány szellemének, mint az, hogy Euklidész első helyre teszi a geometriát, és csak mellékes szerepet biztosít az aritmetikának. Mi lehet ennek a magyarázata? - Bármilyen különös is, de be kell ismernünk: az Euklidésszel foglalkozó modern irodalom nem adott eddig általánosan elfogadott választ arra a kérdésre: miért lett a görög matematika túlnyomórészt geometria?

Aligha lehet igazuk azoknak, akik a geometria előtérbe kerülését a régi görögök szemléletességre törekvésével akarták magyarázni. Az euklidészi tudomány igazában nem szemléletes, sőt igyekszik tudatosan háttérbe szorítani a szemléletességet.

Én magam már korábban azzal próbáltam megokolni a geometria túlsúlyba jutását, hogy utaltam arra: minden jel arra mutat, hogy a deduktív görög matematika kibontakozásának korában jóval nehezebb probléma volt a geometria elvi megalapozása, mint az aritmetikáé. Ez már önmagában is fontosabbá tehette a geometria Elemeinek az összeállítását. - Hozzáfűzhetem ehhez most mint további érvet azt a megfigyelést, hogy a pythagoreusok fontos matematikai diszciplínája volt az asztronómia. Ez pedig a görögöknél sokkal inkább geometria és nem aritmetika. Ez is hozzájárulhatott ahhoz, hogy elvben ugyan az aritmetikát tartották a matematika első számú részének, de mégis fontosabbnak érezték az Elemekben a geometria kidolgozását.

Az I. könyv a 13 közül az egyik legérdekesebb; nemcsak azért, mert - ami a fölépítést illeti - egyike a legjobban kidolgozottaknak. Szinte káprázik belé a szemünk, amikor észrevesszük: ennek a könyvnek mind a 48 tétele szigorú sorrendben követi egymást, mint mondani szokták: minden tétel vaskövetkezetességgel épül a megelőzőekre, míg el nem éri a tárgyalás az előre kitűzött célt: a 47.-ben a Pythagorasz tételt, a 48.-ban pedig ugyanennek a megfordítását: "ha a háromszög egyik oldalára emelt négyzet egyenlő a másik két oldalra emelt négyzetek összegével, akkor derékszögű háromszöggel van dolgunk."

Érdekes ez a könyv azért is, mert itt találjuk, rögtön az elején, a legtöbb matematikai princípiumot. Euklidész három csoportba osztva sorolja föl ezeket: 1. definíciók, 2. posztulátumok és 3. axiómák.

Ami a definíciókat illeti, a mai matematikus nem ért egyet azzal, hogy Euklidész definiál olyan fogalmakat is, mint pont, vonal, egyenes stb. Manapság az ilyen alapvető fogalmakat definíció nélkül használjuk. Sőt, hajlandók lennénk logikai szempontból elhibázottnak tartani az ilyesmire irányuló definíciós kísérletet. Következik ez egyszerűen abból, hogy a mi elgondolásunk másban látja a definíció szerepét, mint amiben ezt Euklidész kortársai látták.

Annak a görög dialektikának, amely az eleai filozófiából bontakozott ki, előírása volt, hogy a vita résztvevőinek mindenekelőtt abban kellett megegyezniök, amiről a vita folyt. Olyan erre vonatkozó állításokat kellett keresniök, amelyeket, jóllehet egymással szemben álló résztvevők a vitában, mégis egyformán magukévá tudtak tenni. Ilyen szerepet szánt Euklidész a geometria tárgyalásában a definícióknak.

Vegyük észre azt is, hogy vannak Euklidész definíciói között olyanok, amelyeket később a tételek tárgyalása során soha nem használ. Beszél pl. a 22. definíció rombuszról, romboidról és trapézről anélkül, hogy a tételek később akár csak egyetlen egyszer is ilyen néven említenének valamely paralelogrammát. Logikai szempontból, persze, hiba az ilyen fölösleges definíció. De annál tanulságosabb történeti szempontból. Bizonyíték ez egyrészt arra, hogy a korábbi, az Euklidész előtti görög geometria ilyen fogalmakat is használt. Másrészt pedig némi fény derül ebből arra is: hogyan dolgozhatott Euklidész. Nyilván kitette maga elé a korábbi Elemeket - nem tudjuk melyiket, Hippokratész, León vagy Theudiosz munkáját - és amit ezekben használhatónak talált, azt átvette saját összeállításába. A rombusz, romboid és trapéz nevek alighanem ilyen korábbi matematikai munkákból kerültek át hozzá - figyelmetlenségből.

A posztulátumok a tárgyalásra kerülő geometriai idomok megszerkeszthetőségét biztosítják, és így a matematikai egzisztencia problémájához kapcsolódnak. Megszerkeszthetők a geometriai idomok azért, mert mint az első két posztulátum kimondja: bármely két pont összeköthető egyenes vonallal, illetőleg bármely adott egyenes tetszés szerint meghosszabbítható. A harmadik posztulátum a tetszőleges sugarú kör megszerkeszthetőségét mondja ki. - Ezek szerint az első három posztulátum lehetővé teszi a vonalzó és a körző használatát. (Csak ez a kettő a geometria klasszikus, megengedett segédeszköze.)

A posztulátum megjelölés latin fordítása a megfelelő görög aitéma szakkifejezésnek. A dialektikából, illetőleg az eleai filozófiából származik ez a fajta princípium is. Szó volt már arról, hogy a dialektikus vita résztvevőinek előre meg kellett egyezniök a közösen elfogadott kiinduló tételekben. De előfordulhatott az is, hogy csak az egyik résztvevő kérte ("követelte", "posztulálta") egy-egy elvnek az elfogadását, de nem volt bizonyos az, hogy hozzájárul-e ehhez a másik is. Ilyen egyoldalúan követelt kiindulási elv volt a posztulátum. Csakugyan az az első három, amelyre épp az imént utaltunk, a mozgás megengedését kívánja. (Mozgás nélkül sem egyenes nem húzható, sem kör nem rajzolható.) Az eleai filozófia viszont tagadta a mozgás lehetőségét, és ennek megfelelően a matematikusok igyekeztek kiiktatni a mozgást a geometriából. Minthogy viszont mozgás nélkül nincs geometriai szerkesztés, posztulálni kellett legalább a vonalzó és körző használatának a lehetőségét.

Külön föl kell még hívnunk a figyelmet a híres 5. posztulátumra. (A 4. csak előkészítése ennek az 5.-nek.) Egyesek úgy gondolják, hogy ez a híres párhuzamossági posztulátum talán magától Euklidésztől származik. Mint ismeretes, Euklidész után több mint 2000 éven át többször próbát tettek ezzel: hátha nem is posztulátum ez, hanem tétel, amit be is lehetne bizonyítani. Az egyik legelső, aki a vitát eldöntötte, Bolyai János volt; ő ti. enélkül a posztulátum nélkül építette föl ún. abszolút geometriáját. Ezzel igaza lett Euklidésznek is - szemben a későbbi, de Bolyai előtti kísérletezőkkel: a kérdéses állítás valóban eldönthetetlen posztulátum, és nem tétel.(megj_5)

A princípiumok harmadik csoportja: az axiómák. Több Arisztotelész-idézet igazolhatja, hogy korábban csakugyan ezt a megjelölést használták ezekre a bizonyítás nélkül elfogadott elvekre: axiómata. A másik név, amelyet ezekre Euklidész szövege használ (koinai ennoiai), feltehetően későbbi eredetű, és azzal a felfogással függ össze, amelyet ezekről az elvekről Arisztotelész nyomán vallottak. Arisztotelész ugyanis meg volt győződve róla - amint ezt Proklosz szövege is hangsúlyozza - hogy az axiómák olyan állítások, amelyeknek igaz voltát "józaneszű ember nem vonhatja kétségbe". Magukévá tették ezt a nézetet a későbbi görög matematikusok is.

Több jel arra mutat viszont, hogy korábban - az Euklidész, sőt az Arisztotelész előtti időkben - sokan úgy gondolták: a priori nem dönthető el, igazak-e vagy hamisak az axiómák. Láttuk már, hogy ezt vallotta Bolyai János a másik princípiumról, a párhuzamossági posztulátumról. És hogy csakugyan így gondolkoztak már az ókorban a princípiumoknak erről a másik csoportjáról is, azt mindjárt illusztrál-hatjuk az egyik euklidészi axiómával: "az egész nagyobb, mint a rész". Mai megítélésünk szerint ez az állítás csak az ún. véges halmazokra érvényes. Hiszen végtelen halmaz éppen az, amelynek van az egésszel ekvivalens rész-halmaza, amelyre tehát nem érvényes az idézett axióma. De alighanem így gondolkozott erről a kérdésről már az eleai Zénón is, mert különben nem állíthatta volna föl paradoxonát: "A fele idő egyenlő a duplájával."

A II. könyv jóval rövidebb, mint a megelőző, mindössze 14 tételből áll. Figyelemre méltó ez a könyv történeti szempontból különösen azért, mert ennek a tételeiben ismerte föl több modern kutató az ún. geometrikus algebrát. Óvatos megfogalmazásban ez azt jelenti ezeket a tételeket mi manapság algebrai formában tárgyaljuk. Más kérdés az, hogy vajon csakugyan algebrai problémák adtak-e alkalmat már az ókorban ezeknek a kidolgozására. - Bár a magam részéről tévesnek tartom, meg kell itt röviden említenem azt az elterjedt történeti felfogást, amely szerint az Euk1idész művében "geometrikus algebrának" elnevezett tételek Babilónban eredetileg tiszta algebra lettek volna; ezt vették volna át a görögök, már Euklidész előtt, geometrizált formában.

Érdekes, hogy Proklosz egy alkalommal elmondja: mire használták az ókoriak pl. a II. 10 tételt. (Ezt ti. magunktól aligha találtuk volna ki.) Rájöttek arra - már a Platón előtti korban - hogyan szerkeszthetők olyan négyzetek, amelyeknél az átló és az oldal aránya "megközelíti az összemérhetőséget". Ha pl. az oldal 5 egység, akkor az átló megközelítően: 7; ha az oldal 12, akkor az átló kb. 17 stb. Mi ezt a fölismerést ma így fogalmaznánk meg: az adott szabály szerint előállított törtek: 7/5, 17/12, 41/29, ... d/a egyre inkább megközelítik a mértékét. - Ezt a fölismerést igazolták az ókoriak a II. 10 tétellel.

Az Elemek III. és IV. könyve, ha lehet, még szorosabban kapcsolódik egymáshoz, mint a megelőző két könyv. A III. 37, a IV. 16 tételből áll. Az előbbi a körnek néhány alapvető tulajdonságát foglalja tételekbe, a másik pedig a körbe (és a kör köré) írható szabályos sokszögeket - háromszög, négyszög, ötszög, hatszög és a körbe írt tizenötszöget - tárgyalja. A "kört", "középpontját", "átmérőjét" és a "fél- kört" már bemutatta egy-egy definíció az I. könyv elején, minthogy szükség volt ezekre a fogalmakra már az I. és II. könyv egyik-másik tételében. A III. könyv további, körre vonatkozó 11 definícióval egészíti ki a korábbiakat.

Úgy látszik, a körrel kapcsolatos tételek kidolgozására - azaz gyakorlatilag mindarra, amit a III. és IV. könyv tárgyal - a görög alkalmazott matematika egyik ágában, az asztronómiában került sor. Kimutatható ez több Euklidésznél tárgyalt tételről.

Vegyük pl. elsőnek a III. 36. tételt. Ez ti. azt mondja ki - az itt bemutatott ábrán illusztrálva: ha valamely körhöz egy rajta kívüleső A pontból érintőt (lásd az x szakaszt) és szelőt (y) húzunk, akkor az érintő (x) középarányos lesz az egész szelő (y) és a szelőnek a körön kívüleső darabja (z) között. Tehát

Igaz, a III. 36. tétel ezt az állítást nem mint arányt, hanem mint egy téglalapnak és egy négyzetnek az egyenlőségét fogalmazza meg:

De erre a különös megfogalmazásra csak azért kényszerült az Elemek szerzője, mert az V. könyv előtt nem akarta használni az arány fogalmát.

Aligha tudnánk egykönnyen kideríteni, mi adott alkalmat e tétel fölismerésére, ha nem olvasnánk Euklidésznél ennek egymásután két bizonyítását. Ő ti. elsőnek azt a speciális esetet mutatja be, amelyben a körön kívüleső pontból húzott szelő a kör középpontján megy át, amint ezt az ábra mutatja.

Elég egy pillantást vetnünk erre az ábrára, hogy fölismerjük: ez nem egyéb; mint az a "szimbolikus világkép", amelyet a hellenisztikus asztronómia és matematikai földrajz olyan gyakran használt az ún. gnómónnal kapcsolatban: r a vízszintes síkban függőlegesen fölállított gnómón, a napóra mutatója; az x szakasz (meghosszabbítva) a dél-északi irányt mutatja, erre a vonalra esik mindig a gnómón déli árnyéka; x tehát lehet a gnómón déli árnyéka valamely megadott helyen az esztendő egy bizonyos napján; a kör maga szimbolikusan a "meridián", N pontban áll délben a nap; a Föld szimbolikusan a gnómón csúcspontja: a "világ-meridián" körének a középpontja. NA tehát a déli napsugár az esztendő valamely napján.

Mint sok forrásból tudjuk, a hellenisztikus tudomány gondosan számon tartotta városról-városra a gnómónnak és napéjegyenlőségi déli árnyékának az arányát. Mert ebből az arányból kiszámítható volt a kérdéses hely földrajzi szélessége, azaz fokokban mért távolsága az Egyenlítőtől. (Csak példaként említem meg, hogy a hellenisztikus irodalom szerint ez az arány Athénben 4:3, Rhodoszban 7:5, Alexandriában 5:3.)

A mérések tehát azt mutatták, hogy városról-városra más a gnómónnak és napéjegyenlőségi déli árnyékának az aránya. De ha valaki erre a szimbolikus világképre nézett, azonnal megállapíthatta (az Elemek III. 36. tétel értelmében): a déli árnyék (x) - nemcsak napéjegyenlőségkor, hanem bármikor - középarányos az egész szimbolikus napsugár (y=NA) és ennek a meridián körön kívüleső darabja között. (Nota bene: ezt az utóbbi szakaszt megkapták úgy, hogy az egész szimbolikus napsugárból (NA) levonták a gnómón kétszeresét.)

A másik tétel, amelynek az asztronómiában betöltött szerepéhez nem fér kétség, a IV. könyvben az utolsó, a 16., a körbe írt szabályos tizenötszög szerkesztését tárgyalja. A kommentátor Proklosz beszél arról, hogy ez azért került bele az Elemekbe, mert nagy hasznát vették a régi asztronómusok: a szabályos tizenötszög oldalával mérték a két pólusnak, az ekliptika és az egyenlítő pólusának egymástól való távolságát. Csakugyan, a szabályos tizenötszög egyik oldalához tartozó középponti szög: 24°. Úgy látszik, ez volt a legrégibb kísérlet az ekliptika ferdeségének a megmérésére. Csak mellékesen említem meg ebben az összefüggésben, hogy a mérést - amint ez kétségtelenül rekonstruálható - ugyanazon a szimbolikus asztronómiai gnómónvilágképen végezték, amelyre fentebb, a III. 36. tárgyalása során már utaltam. Mai mérés szerint egyébként az ekliptika ferdesége hozzávetőleg: 23°27'. Tudjuk azt is (a nagy ókori csillagásznak Klaudiosz Ptolemaiosznak a művéből), hogy nem sokkal Euklidész után már Eratoszthenész pontosabban megmérte ugyanezt a hajlásszöget, némileg korrigálva a régi mérési eredményt (24°), majd még tovább tökéletesítette ugyanezt a mérést a nikaiai Hipparkhosz.

Nem lesz fölösleges utalni ezzel a két utóbbi tétellel kapcsolatban - III. 36 és IV. 16 - arra is, hogy mind a kettő régi pythagoreus eredetű. Azonkívül: feltétlenül szükségük volt az ókori matematikusoknak e két tétel felépítéséhez olyan tételekre is, amelyeket a modern irodalom "geometrikus algebra" néven tart számon. Felmerül itt ti. a gyanú: Vajon nem a korai, Euklidész előtti görög asztronómiában kell-e keresnünk az ún. "geometrikus algebra" eredetét?

Egy ókorból származó iskolai följegyzés, egy ún. szkholion, amelynek szerzőjét nem ismerjük, azt állítja: sokan úgy tudják, hogy Euklidész az Elemek V. könyvében Platón fiatalabb kortársának, a híres matematikusnak és csillagásznak, Eudoxosznak az arányelméletét foglalta össze. (A szkholionok eredetileg margóra írt rövid följegyzések voltak, amelyeket egy-egy az iskolában tanított szerzőnek a művéhez fűztek. Később - még az ókorban - fölismervén ezeknek az iskolai följegyzéseknek hasznos voltát, összegyűjtve külön ki is adták közölök egyiket-másikat. Ilyen szkholionból származik tehát az V. könyvre vonatkozó értesülésünk.)

Csakugyan, ha elolvassuk ez előtt a könyv előtt azt a mesterien megfogalmazott 5. definíciót, amely azt határozza meg, hogy mi az aránypár, szívesen hitelt adunk az ismeretlen ókori forrásnak. Mert ez a definíció valóban csak olyan nagy matematikustól származhat, aki rájött arra, hogyan lehet új alapokra helyezni az egész korábbi arányelméletet az ún. összemérhetetlen (= inkommenzurábilis) mennyiségek felfedezése után. Ebből állt Eudoxosz matematikai érdeme. Bizonyos ugyanis, hogy volt a görög matematikának arányelmélete már Eudoxosz előtt. Sőt, meg is maradt számunkra sok minden ebből a régi tanításból - amint erre majd mindjárt kitérünk. Előbb azonban arra hívjuk itt még fel a figyelmet, hogy Euklidész az Elemek első négy könyvébe egyáltalán semmit sem vett be ebből a korábbi, Eudoxosz előtti elméletből. Úgy látszik, ő az arányok tárgyalását mindjárt azon a színvonalon akarta elkezdeni, amely az ő idejében a legkorszerűbb volt. Ez történt az V. könyvben.

Dehát hogy van az, hogy Euklidész csak az V. könyvben jut el az arányokhoz? Korábban ez a probléma föl se merült volna nála? A jelek arra mutatnak, hogy volt az ókoriaknak egy szellemes módszerük arra, hogyan kerüljék meg az arány problémáját. Mielőtt az V. könyvet vennénk a kezünkbe, mutassunk be erre a fent már említett III. 36. tételen kívül még két példát a korábbi könyvekből.

Az Elemek I. könyvének 44. tétele egy olyan feladatnak a megoldását tárgyalja, amely némileg egyszerűsített formában így hangzanék: legyen adva egy téglalap, amelynek oldalai y és z; ezt át kell alakítanunk egy olyan másik vele egyenlő területű téglalappá, amelynek csak x oldalát ismerjük. A feladat tehát képletben

Ugyanez aránypár formájában így írható föl:

Keressük az aránypár negyedik tagját, m-et. De megoldható ez a feladat - amint ezt az I. 44. tétel mutatja - arányok említése nélkül, pusztán felületek egymás mellé helyezésével is.

Hasonló ehhez annak a feladatnak a megoldása, amelyet - ugyancsak némileg egyszerűsített formában - a II. 14. tétel szerint így fogalmazhatnánk meg: Hogyan alakítunk át adott téglalapot vele egyenlő területű négyzetté? Ha az adott téglalap két oldala x és y, akkor ez a feladat aránypár formájában így írható föl:

Keressük a téglalap két oldalának középarányosát.

Jegyezzük meg ezzel a feladattal kapcsolatban azt is: az antik szaknyelv a téglalapnak négyzetté való átalakítását tetragóniszmosznak, "négyzetesítésnek" nevezte. Arisztotelész pedig több ízben kifejti: a tetragóniszmosz azért megoldható feladat, mert két mennyiség között mindig van középarányos. Világosan kiderül ebből a megjegyzésből, hogy az ókoriak tisztában voltak vele: a téglalapnak négyzetté való átalakítása tulajdonképpen a középarányos problémájának a megoldása. - De ugyanígy arányossági problémát tárgyalt a korábban említett másik két tétel is: az I. 44. és a III. 36.

Kérdés mármost: Miért lett az ókoriaknál az eredeti arány-problémából az egyenlő felületek problémája? - A történeti kutatás erre azt a plauzibilis magyarázatot találta: feltehetően azért, mert fölismervén az összemérhetetlen (inkommenzurábilis) mennyiségeket, észrevették azt is, hogy ezzel megalapozatlanná lett egész korábbi arányelméletük. [Gondoljunk pl. a következő esetre. Amikor a középarányost keressük két olyan szám között, amelyeknek szorzata nem négyzetszám, akkor tulajdonképpen egy irracionális számot keresünk. De kiküszöbölhetjük mind az "irracionális szám", mind pedig az "arány" fogalmát, ha ugyanezt a feladatot úgy fogjuk föl, mint valamely téglalap átalakítását vele egyenlő területű négyzetté.]

A történészek rekonstrukciója szerint tehát a görög matematika régi arányelmélete - az, amelyet valamikor az 5. század folyamán a pythagoreusok dolgoztak ki, és amely még csak a számokat vette figyelembe - válságba jutott akkor, amikor rájöttek az összemérhetetlen mennyiségek létezésére. Ezen a válságon kezdetben úgy próbáltak úrrá lenni, hogy figyelmen kívül hagyva az arány problémáját, a felmerült feladatokat úgy fogalmazták meg, ahogy azt az I. 44., II. 14. és III. 36. tételek példáján láttuk. Ez azonban, úgy látszik, csak átmeneti megoldás volt annak a görög matematikának a kibontakozásában, amelynek záróköve Euklidész Elemei. Az új arányelméletet Eudoxosz teremtette meg, ez pedig az V. könyv 5. definíciójából indult ki.

Csakugyan, elég jól ismerjük azt a régebbi elméletet is, amely megelőzte az Eudoxoszét. Ez még az aránynak abból a meghatározásából indult ki, amelyet a VII. könyv 21. definíciójában olvasunk.

A különös éppen az, hogy Euklidész fölvette művébe ezt a korábbi, pusztán csak a számokra érvényes arányelméletet is, holott ez Eudoxosszal már túlhaladottá lett. Hiszen Eudoxosz általánosabb elmélete értelem szerint magába foglalja ezt is.

De éppen azért, mert megvan Euklidész művében egy-egy ilyen tételnek mind a korábbi, mind pedig a későbbi (eudoxoszi) megfogalmazása, érdemes ezeket összehasonlítani egymás között. Aki pl. elolvassa a VII. könyv 11. tételét, és rögtön utána az V. 19.-et, előbb meglepődve tapasztalja, hogy a kettő csaknem szórul-szóra azonos. De ha jobban megnézzük, észrevesszük, hogy a VII. könyv theórémája még csak számokról beszél, az V. könyvben pedig majdnem ugyanaz mennyiségekről állapítja meg majdnem "ugyanazt". - De ugyanígy szorosan összetartoznak a VII. 12. és párja az V. 12.; vagy a VII. 13. és a neki megfelelő V. 16. tétel, és így tovább még több más.

Persze mindezekben az esetekben lényegesen különböznek egymástól a "párhuzamos tételek" bizonyításai. Azokat a bizonyításokat, amelyeket a kérdéses tételek számokra érvényes esetében alkalmaztak, nem lehetett mechanikusan "ráhúzni" a tétel általánosabb formájára. Az a körülmény tehát, hogy a két-két tétel megfogalmazása majdnem szórul-szóra azonos, igazában csalóka látszat.

A VI. könyv annak az eudoxoszi arányelméletnek az alkalmazása a planimetriára, amelyet elöljáróban az V. könyv alapozott meg. Az arány a geometriában mindenekelőtt az idomok hasonlóságával kapcsolatban jut szerephez; ezért kezdődik a VI. könyv egy olyan definícióval, amely éppen az egyenesvonalú idomok hasonlóságát határozza meg.

Érdemes lesz azonban itt legalább egy példán azt is bemutatni, milyen helyet foglal el ez a VI. könyv a görög geometria történeti kibontakozásában. Vegyük példának ebből a könyvből a 13. tételt, amely azt tárgyalja, hogyan szerkesztjük meg két adott szakasz középarányosát.

Elég egy futó pillantást vetni arra az ábrára, amelyet Euk1idész e tételhez csatolt, hogy észrevegyük: ez valahogy nagyon ismerős. Persze, majdnem ugyanezt az ábrát látjuk a II. könyv 14. tétele mellett is. Voltaképpen ott is két mennyiség középarányosának a megszerkesztéséről volt szó, csakhogy ott a feladat - amint erre az imént utaltunk már - még olyan megfogalmazásban került elénk: hogyan alakítunk át valamely adott téglalapot vele egyenlő területű négyzeté. Minthogy azonban lényegében ez a feladat mégiscsak a középarányost szerkeszti meg, használhatta Euklidész ebben az esetben is majdnem ugyanazt az ábrát, mint amelyik később a VI. 13. tételnél került sorra. Mert csakugyan, gondoljunk arra, hogyan szerkesztjük meg az iskolában még ma is két adott szakasz középarányosát.

Előbb összeadjuk a két szakaszt - amelyek közül az egyik feltétlenül nagyobb, mint a másik (megj_6) - egy egyenes mentén, majd megfelezzük a két szakasz összegét, és a felező pontból mint középpontból a két szakasz összegének felével félkört rajzolunk. Aztán a félkör átmérőjére - abban a pontban, ahol a két összeadott szakasz érintkezik merőlegest emelünk a kör kerületéig. Majd kijelentjük, hogy ez a most emelt merőleges a keresett középarányos. - Megokoljuk pedig ezt az állításunkat a következőképpen.

Összekötjük a megszerkesztett merőleges végpontját a kör kerületén a két adott szakasz egy-egy végpontjával ugyancsak a kör kerületén. Ily módon kapunk (az ismert Thalész-tétel értelmében) egy félkörön nyugvó derékszögű háromszöget. Ezt a derékszögű háromszöget bontja megszerkesztett merőlegesünk két kisebb egymás között hasonló derékszögű háromszögre. Maga a merőleges - ebben az utóbbi két hasonló derékszögű háromszögben - kettős szerephez jut: egyrészt rövidebb befogója a nagyobb, másrészt hosszabb befogója a kisebb derékszögű háromszögnek. Ennek a kettős szerepnek a következménye az, hogy a szóban forgó merőleges középarányos a két adott szakasz között. (Minthogy ezek a szakaszok ugyancsak befogói a két hasonló derékszögű háromszögnek.)

Lényegében ezzel a gondolatmenettel okolja meg Euklidész VI. 13. tétele a középarányos szerkesztését. De egészen más a szerkesztés megokolása az előbbivel párhuzamos II. I4. tétel esetében. - Mert jól vigyázzunk: az ábra ugyan majdnem ugyanaz a két esetben, de távolról sem ugyanaz a két tétel gondolatmenete. Figyeljük csak meg a következőket.

Mind a két esetben előbb összeadjuk a két szakaszt - amelyekhez ti. a középarányost szerkesztjük - majd megfelezzük a két szakasz összegét, és a felezőpontból félkört rajzolunk a két szakasz összegének a felével mint sugárral. De más a célunk ezzel a félkörrel a VI. 13., és ismét más a II. 14. tétel esetében.

A VI. 13. tételhez azért van szükségünk a félkörre, hogy megkapjuk (a Thalész-tétel értelmében) azt a félkörön nyugvó derékszögű háromszöget, amelyet a kérdéses merőleges két kisebb hasonló derékszögű háromszögre bont majd. - A II. 14. tétel szerkesztéséhez viszont azért kell a "két szakasz összegének a fele", mert ez lesz az átfogója egy derékszögű háromszögnek. Erre az átfogóra emelünk - gondolatban - egy négyzetet, hogy aztán kivonjuk az átfogó négyzetéből az "egyik befogó négyzetét". A Pythagorasz-tétel szerint ennek a kivonásnak az eredménye a "másik befogó négyzete" lesz. - Az imént említett "egyik befogó" - amelynek négyzetét kivonjuk az átfogó négyzetéből - a II. 14, tétel szerkesztése szerint, a két adott szakasz érintkezési pontjától az összegük felezési pontjáig terjedő szakasz-rész lesz. A "másik befogó" szerepe pedig az érintkezési pontba emelt merőlegesnek jut. - Már ebből is látható, milyen szellemesen kapcsolja össze a II. 14. tétel bizonyítása egyfelől a Pythagorasz-tételt, másfelől pedig azt a II. 5.-öt,(megj_7) amelynek lényege abban foglalható össze: ha kivonunk egy nagyobb négyzetből egy kisebb négyzetet, olyan idomot kapunk (egy "gnómónt" - a szónak abban az értelmében, ahogy ezt az Elemek II. könyve 2. definíciója használja (megj_8) ), amely könnyen átalakítható téglalappá.

Az, aki először jött rá a II. 14. szerkesztésére, a következőképpen fordította visszájára az imént összefoglalt fölismerést. A téglalap két oldala összegének a feléből konstruált egy négyzetet. (Ez lett az átfogóra emelt négyzet.) A téglalap két oldala különbségének a feléből konstruált egy kisebb négyzetet. (Ez lett az egyik befogóra emelt négyzet.) Amikor pedig kivonta a kisebb négyzetet a nagyobbikból, arra hivatkozott, hogy egyfelől a két négyzet különbsége maga a téglalap, másfelől pedig - a Pythagorasz-tétel értelmében - a különbség a másik befogóra (azaz: arra a bizonyos merőlegesre) emelt négyet. Így lehetett megoldani - az arány fogalmának használata nélkül a téglalap átalakítását vele egyenlő területű négyzetté. A megoldás, persze, mind a két esetben ugyanaz a szakasz volt: az a merőleges, amelyet a két adott szakasz összeadásakor keletkező érintkezési pontba emelünk a kör kerületéig.

Még jobban elmélyítheti a középarányosság problémájának történeti megértését - illetőleg konkréten: az Elemek VI. I3. tétel magyarázatát - ha figyelembe veszünk néhány olyan kétségtelenül régebbi eredetű tételt, amelyet az Elemek VIII. könyve őrzött meg számunkra. Gondolok itt főként a VIII. könyv olyan tételeire, mint a 11., 12., 18. és 20.

A két első ezek közül csak annyit állapít meg, hogy két négyzetszám között van egy, két köbszám között pedig van két középarányos. [Illusztrálhatja az előbbi állítást a 4 és a 9 (22 és 32), amelyek között 6 a középarányos: 4:6 = 6:9; az utóbbit pedig a 8 és a 27 (23 és 33), amelyek között 12 és 18 a középarányos: 8:12 = 12:18 = 18:27.]

Önmagában ez a két tétel még nem túl jelentős. De egyszerre érdekesebb lesz mind a kettő, ha összehasonlítjuk őket a VIII. könyv 18. és 20. tételével. Ez az utóbbi kettő ugyanis azt mondja ki - használva a régi pythagoreus terminológiát: két "hasonló síkszám" között mindig van egy középarányos (VIII. 18.), illetőleg: ha van két szám között egy középarányos, akkor a két szám "hasonló síkszám" (VIII. 20.). - "Síkszám" a VII. könyv elején megadott terminológia szerint (lásd ezekhez a VII. könyv 16. és 21. definícióját) bármely szám, amelyet felbontottunk két tényező szorzatára. "Hasonló síkszám" pedig az olyan kettő, amelyet ábrázolhatunk mint két egymáshoz hasonló téglalapot; ilyen pl. a 6 és 24, mert 6 = 2·3 illetőleg 24 = 4·6, és 2:3 = 4:6; vagy 6 és 54, mert 6 = 2·3 illetőleg 54 = 6·9. Ezért 6 és 24 között középarányos a 12, mert 6:12 = 12:24; vagy 6 és 54 között középarányos a 18, mert 6:18 = 18:54.

Ez a négy tétel együttesen azt látszik igazolni, hogy volt a görög aritmetika fejlődésében egy korszak, amikor az kötötte le a matematikusok figyelmét: mikor van, és mikor nincs középarányos két szám között. - Egy magasabb fejlődési fok volt ennél az, amikor rájöttek ha vonalszakaszokkal ábrázolnak két számot, akkor ezekhez mindig megszerkeszthető a középarányos, csakhogy ez az utóbbi nem mindig egész- vagy törtszám. (Tehát a görög aritmetika szerint: néha nem szám !) Ezen a fokon azonban inkább még csak megkerülték és nem oldották meg a középarányos problémáját. Ezt a fokot mutatja a II. 14. tétel. - Egy m ég magasabb fejlődési fok - az eudoxoszi - az volt, amikor a problémát már úgy oldották meg, ahogy azt a VI. 13. tétel tanítja.

Párhuzamba állítottuk tehát a II. 14. és a VI. 13. tételeket. De ugyanígy szoros összefüggés mutatható ki egyfelől a II. 5. és 6., másfelől a VI. 28. és 29. tételek között. Ezeket az utóbbiakat - mind a II., mind a VI. könyvből - az ókori hagyomány úgy tartotta számon mint a "pythagoreus Múzsa" ajándékait.

A VI. könyvvel átmenetileg félbeszakad a geometria tárgyalása. Anélkül, hogy az eddig előadottakhoz szervesen kapcsolódnék, közbeékelődik a 3 aritmetikai könyv: VII-VIII-IX. Kitűnik ennek a háromnak szorosabb egysége már abból is, hogy Euklidész a VII. könyv elején sorolja föl azt a 23 definíciót, amelyre az aritmetikában szüksége lesz. A VIII. és IX. könyv nem vezet be újabb definíciókat. A páros és páratlan elméletére pl. csak a IX. végén függelékszerűen kerül ugyan sor, de ennek a definíciói is már a VII. könyv elején olvashatók.

Szó volt már róla, hogy a VII. és VIII. könyv több tétele korábbi eredetű; nemcsak az Eudoxosz előtti korból származnak ezek, hanem feltehetően megelőzik azokat a geometriai tételeket is, amelyek, mint mondottuk: "megkerülik az összemérhetetlenség problémáját."

Csakugyan, a történészek az Euklidésznél található egész aritmetikát pythagoreus eredetűnek tartják, azaz: nagyjából a Platón előtti korból származtatják. Hozzátehetjük, hogy Euklidész, úgy látszik, nem is vette föl művébe az egész akkor ismert pythagoreus aritmetikát. Beszél pl. a kétségtelenül pythagoreus "tökéletes számokról" (olyan számok ezek, amelyek egyenlők saját osztóik összegével pl. 6 = 1+2+3, vagy 28 = 1+2+4+7+14), de nem említi az ugyancsak pythagoreus "barátságos számokat" (ezekre az jellemző, hogy az egyik osztóinak összege a másik szám, és megfordítva; pl. 220 és 284, mert 220 osztói: 1+2+4+5+10+20+1I+22+44+55+110 = 284, és 284 osztói: 1+2+4+71+142 = 220). De ugyanígy nincs szó Euklidésznél a pythagoreus sokszög-számokról, a különféle számsorokról és összegezésükről; nem olvassuk nála, hogy 1-től fölfelé a páratlan számok összege mindig négyzetszám, és hogy ezért két egymást követő négyzetszám különbsége mindig páratlan szám; stb., kimaradt művéből sok más érdekes aritmetikai megfigyelése a pythagoreusoknak, ami mind már régen megvolt.

Általános jellemzésül elmondhatjuk az euklidészi aritmetikáról, hogy ez csak az egész számokkal foglalkozik; az 1-et mint minden szám alkotó elemét nem tekinti számnak; ismeri a prímszám-összetett szám, páros-páratlan, négyzet- és köbszám, osztó, közös osztó, többes, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többes stb. fogalmát.

A IX. könyv végén 16 tétel (21-36.) - amelyeknek archaikus jellege szembeötlő - a páros és páratlan elmélete. Érdekesek ezek nemcsak azért, mert egyrészt a "tökéletes számokról" szóló tételben (IX. 36.), másrészt a négyzet oldala és átlója összemérhetetlenségének a kimutatásában (X. könyv 27. függelék) kulminálnak, hanem azért is, mert a szerencsés véletlen lehetővé tette datálásukat: i. e. 500 körül. (A szicíliai kómikus költő, Epikharmosz egyik töredéke félreérthetetlenül céloz ezekre a tételekre.) Jelenleg ez - a páros és páratlan elmélete a görög matematika legrégibb ismert tételsorozata.

Az Elemek 13 könyve között legterjedelmesebb a X. könyv; nem kevesebb mint 115 tételből és 4 előrebocsátott definícióból áll. De ez egyszersmind a legkevésbé olvasott és a legnehezebb könyv is. Így nyilatkozott erről már a 13. században az itáliai Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180-1250), a 16. század végén a németalföldi Simon Stevens (1548-1620), és azóta még sokan mások, akik egyáltalán megkísérelték, hogy elmélyedjenek a matematikai irracionalitásoknak ebben az impozáns antik elméletében. Általában magasztalni szokták ennek a könyvnek "szigorú, logikus felépítését", rendkívül "tömör és rövid bizonyításait", amelyek - kevés kivételtől eltekintve - a modern igényeket is kielégítik. De bármilyen egyöntetű tisztelettel, elismeréssel beszélnek is erről a könyvről, részletes, meggyőző történeti elemzése a modern irodalomból eddig nem ismeretes.

El szokták mondani ezzel kapcsolatban, hogy amiképpen az Elemek V. könyvében Eudoxosz eredményeit foglalta össze Euklidész, ugyanúgy ez a X. könyv tulajdonképpen Theaitétosz műve lenne. - Csakugyan van nyoma annak, hogy megpróbálták ennek a könyvnek egyes tételeit már az ókorban annak az egyébként nem ismert és fiatalon elhunyt matematikusnak tulajdonítani, akinek nevét Platón egyik dialógusa, a "Theaitétosz" viseli. Úgy látszik, ez a dialógus már az ókorban nagy hatással volt azokra, akiket érdekelt a matematika. Az újkorban is, egészen a legutóbbi időkig, ki akarták olvasni ebből a dialógusból a "történeti Theaitétosznak" egy matematikai felfedezését. Ez mindenesetre tévedés. Platón dialógusában ilyesmiről nincs szó. - Ugyanígy bizonyos az is, hogy az a szkholion, amely az Elemek X. 9. tételét Platónra hivatkozva Theaitétosznak tulajdonítja, egyszerűen téved. Platón szövege nem erősíti meg állítását. - Éppen azért, mert ebben a két részletkérdésben nyilvánvaló a tévedés, függőben kell maradnia annak a másik, általánosabb érdekű kérdésnek: Csakugyan Theaitétosz-e a X. könyv szerzője. Azoknak az érveknek alapján, amelyekre eddig hivatkozni szoktak, ez a kérdés aligha dönthető el. Az mindenesetre bizonyos, hogy a X. könyv szerzője kiváló matematikus volt.

Nem vállalkozhatunk itt e könyv tételeinek összefoglalására, inkább csak a keretét vázoljuk. A matematikai irracionalitás antik elmélete a szakaszok összemérhetőségének vagy összemérhetetlenségének (kommenzurabilitás-inkommenzurabilitás) a kérdéséből indult ki. Összemérhető vagy összemérhetetlen két szakasz aszerint, hogy van-e közös mértékük vagy nincs. (Ha nincs valamely szakasznak közös mértéke egy másikhoz viszonyítva, akkor mi erre azt mondjuk, hogy ennek a hosszúsága csak irracionális számmal fejezhető ki.) Lehet azonban valamely szakasz "hosszúsága szerint összemérhetetlen", de "összemérhető a rá emelt négyzet szerint"; pl. a négyzet átlója összemérhetetlen az oldallal "hosszúság szerint", de összemérhető ugyanazzal a rá emelt "négyzet szerint", minthogy az átló négyzete éppen kétszer akkora, mint az oldal négyzete. - Rövid jellemzésül megjegyezhetjük: a X. könyv összesen tizenötféle szakaszt különböztet meg; ezek közül racionális kettő, és irracionális tizenhárom. - Ami pedig a tételek fölhasználását illeti, Euklidész a X. könyv tételeit csak a XIII. könyvben, a szabályos testekkel kapcsolatban alkalmazza.

A görög geometria szó - amelyet magyarra mértannak szoktunk fordítani - eredetileg földmérést jelent. Ennek megfelelően a matematikának ez az ága korábban síkmértan ("planimetria") volt. Csak később épülhetett erre a testmértan, a sztereometria. Ezzel az utóbbival foglalkozik az Elemek utolsó három könyve, a XI., XII. és XIII.

Kimutatható a görögök érdeklődése a sztereometria problémái iránt már az 5. századból. Plutarkhosz említi pl. Démokritosz következő problémáját. Vegyük egy kúpnak, amelynek egyenes az alkotója, az alapkörrel párhuzamos metszetét. Ez a metszet az eredeti kúpot két részre bontja: egy felső kisebb kúpra, és egy alsó csonkakúpra. Egy-egy körlap mind a csonkakúp fedőlapja, mind pedig a kisebb kúp alapja. Kérdés: Vajon a két kör egyenlő-e, vagy nagyobb-e a csonkakúp fedőlapja? Mert nyilvánvaló, hogy végtelen sok ilyen metszet lehetséges; a két kör egymáshoz való viszonya pedig mindig ugyanaz kell legyen. - Ha egyenlő a két kör, akkor nem kúppal, hanem hengerrel van dolgunk. Ha viszont nagyobb a csonkakúp fedőlapja (kisebb a felső, a kisebb kúp alapja), akkor az eredeti kúp alkotója nem egyenes, hanem a kúp alapjától a csúcsa felé vezető lépcsősor.

Sztereometriai probléma megoldását készítette elő Hippokratésznek az a találó javaslata, hogy a kocka megduplázásához meg kellene találnunk a módját annak, hogyan iktatunk két középarányost a kocka éle és ugyanennek a mennyiségnek a kétszerese közé. Meg is oldotta ezt a problémát - bár nem klasszikus módon, azaz nem "csak vonalzó és körző használatával" - valamivel később Hippokratész után, Arkhytasz.

A felsorolt három adat tehát - Démokritosz problémája, Hippokratész javaslata, és Arkhytasz említett megoldása - mind arra vall, hogy a sztereometria Euklidész korában már elég régi tudomány volt.

Ennek ellenére több jele van annak, hogy abban az időben, amikor sor került az Elemek összeállítására, a sztereometria még nem volt olyan érett tudomány, mint a planimetria. Illusztrálhatjuk ezt pl. a következő megfigyeléssel.

Euklidész a síkmértant - mint láttuk már - 5 posztulátummal vezette be. Igazában szüksége lett volna ezekhez hasonló más posztulátumokra a sztereometriában is. A XI. könyv elején azonban nincs egy posztulátum sem, csak 28 új definíció. De ha jobban megnézzük ennek a XI. könyvnek első három tételét, nem lesz nehéz rájönnünk, hogy ezeknek a bizonyításai - az igazat megvallva - nem sokat érnek. Amint erre már többen utaltak: ez a három "tétel" valójában inkább három posztulátum lehetne, amelyet jobb lett volna bizonyítási kísérlet nélkül elvként elfogadtatni. Hogy erre csakugyan megvolt a lehetőség, azt mutatja az eudoxoszi V. könyv példája. Bár itt sincs posztulátum, de van ennek a könyvnek a definíciói között egy olyan, amely minden további nélkül lehetne posztulátum is: a negyedik;(megj_9) ezt nevezték el a 19. században nem éppen találó névvel "arkhimédészi alaptörvénynek".

Rövid összefoglalásként elmondhatjuk: a XI. könyv 39 tétele bevezetés a testmértanba. A tételek itt is bizonyos, didaktikai szempontból "emelkedőnek" nevezhető sorrendben követik egymást. A térben elhelyezett egyenesek és síkok viszonylag "egyszerűbb" problémáitól lépésről-lépésre jutunk el a testszögeken keresztül a prizmákhoz, a parallelepipedonhoz és a kockához. Általában azzal jellemezhető a XI. könyv, hogy ebben - a párhuzamosságtól eltekintvemég esik olyan sztereometriai kérdésekről van szó, amelyek tárgyalhatók a végtelen problémájának érintése nélkül. Éppen ebben különbözik ez a könyv az utána következő XII.-től.

A XII. könyv feltűnő vonása, hogy alkalmazza az ún. exhaustio módszerét, pl. a 2., 3., 4., 5., a 10., 11., 12. tételben - és egy kissé más formában a 16-18. tételekben. Arkhimédész a forrásunk arra, hogy ez a módszer Eudoxosztól származik. Röviden az exhaustio-t (= "kimerítés") - amelynek elnevezése erősen félrevezető, mert tulajdonképpen nem "kimerítésről", hanem éppen ellenkezőleg valami kimeríthetetlennek a megközelítéséről van szó - a következőképpen jellemezhetjük. Vegyük példának a kör területét. Ezt úgy közelítjük meg, hogy mind nagyobb oldalszámú szabályos sokszöget írunk a körbe; bár ezeknek a területe mindig kisebb lesz, mint a kör területe, de minél nagyobb a sokszög oldalszáma, annál inkább megközelíti a sokszög területe a kör területét - szinte úgy mondhatnánk: "alulról". Ha ugyanakkor szabályos sokszögeket írunk a kör köré kívülről, ezekkel is megközelítjük a kör területét "felülről". Mert a kör köré írt szabályos sokszögek területe mindig nagyobb lesz ugyan a kör területénél, de minél nagyobb ezeknek a sokszögeknek az oldalszáma, annál közelebb jutunk a kör területéhez. Így aztán a két határ közé szorítva annyira közel juthatunk a kör területéhez, amennyire csak akarunk - bár tudjuk, hogy magát a kör-területet mégsem érjük el soha, de ott van ez feltétlenül valahol a két közelítő határ között. Ezt a módszert alkalmazza tehát a XII. könyv a felületek és köbtartalmak kiszámítására. - Amikor, persze, Euklidész térfogat-kiszámításairól beszélünk, ne gondoljunk konkrét mérésekre, számokkal való operációkra. Euklidésznél inkább csak olyan térfogat-megállapító tételeket találunk, mint a XII. 10.: "Minden kúp harmadrésze az egyenlő magasságú és ugyanazon alapon álld hengernek." Stb.

Végül a XIII. könyvben Euklidész több olyan tétel után, amely az aranymetszéssel foglalkozik, áttér az öt szabályos test tárgyalására. - Ami az aranymetszésre vonatkozó tételeket illeti, ezeknek legalább egy része, úgy látszik, valami olyan húrtáblázatot készít elő, amilyent tulajdonképpen csak jóval későbbi korból, az időszámításunk 2. századában élő csillagásznak, Klaudiosz Ptolemaiosznak a művéből ismerünk. A történeti kutatás eddig kevés figyelemre méltatta azt a kérdést: mennyiben készíti elő már Euklidész az asztronómia húrtáblázatát, ezt az "ókori trigonometriát".

Az öt szabályos test: a tetraéder, hexaéder (kocka), oktaéder, pentagondódekaéder és ikoszaéder. - 'Tárgyalásuknál Euklidész mindig egy adott gömbből, illetőleg a gömb átmérőjéből indul ki.

Amiképpen a IV. könyv a szabályos sokszögeket egy körbe irtó, úgy írja a XIII. könyv a szabályos testeket egy adott átmérőjű gömbbe. Kiszámítja aztán Euklidész minden szabályos test élének és a köréje írt gömb átmérőjének az arányát.

A későbbi ókor a szabályos testeket "platóni testek" néven tartotta számon, minthogy beszél ezekről Platón a "Timaiosz" című dialógusban. Bizonyos azonban, hogy ezeknek a szabályos testeknek egy része tudományos vizsgálódások tárgya volt (különösen a pythagoreusok körében) már jóval a Platón előtti korban.

Egyébként az egész XIII. könyv olyan önmagában is kerek, zárt egész, hogy voltak modern kutatók, akik feltették: eredetileg ez Euklidész önálló műve lett volna, amelyet talán csak utólag csatolt az Elemekhez. Mások viszont azt emelték ki: mintha éppen a szabályos testek tárgyalása lett volna az egész euklidészi Elemek végső célja.

Irodalom

További tájékoztatásul Euklidészről és az antik matematikáról megemlítem itt az alábbiakat:

Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása (Gyorsuló Idő sorozat) Budapest, 1978.

Szabó Árpád: Anfänge der griechischen Mathematik, Budapest 1969, és ua. angolul: The Beginnings of Greek Mathematics, Budapest, 1978.

T. L. Heath: The thirteen books of Euclid's Elements. I-II-III. (second edition, 1925; Dover Publication)

A. Frajese - L. Maccioni: Gli Elementi di Euclide, Torino, 1970 (olasz fordítás és magyarázatok)

B. L. v. d. Waerden: Egy tudomány ébredése. Gondolat, Budapest, 1977.

1. Pólya Gy. könyve (A gondolkodás iskolája, Budapest 1957. 199) különbséget tesz a reductio ad absurdum (= visszavezetés a képtelenségre) és az indirekt bizonyítás között, minthogy az előbbi cáfol egy tételt (x), az utóbbi pedig az ellenkező tételt (non x) állítja. A két név tehát ugyanazt a valamit két ellentétes oldalról mutatja be: éppen azáltal, hogy "x"-et cáfoljuk, bizonyítjuk "non-x"-et.

2. Elemek IX. 20. Az eredeti megfogalmazás szerint: "Több prímszám van, mint a prímszámok előállítható sorozata". Vö. Pólya Gy. i. m. 199.

3. Euklidész a IX. 20. bizonyításában utal a VII. 36. és VII. 31. tételre is. Ez az utóbbi kettő azonban felfogható úgy is, mint közvetlen következménye az "összetett szám" definíciójának.

4. Jellemző Euklidész tömörségére, hogy az ő bizonyításában csakugyan mindössze három betű szimbolizálja a prímszámok elképzelt "teljes sorát". Ugyanez modern átírásban (pl. az említett Pólya-könyvben) így néz ki:

ahol P az elképzelt "legnagyobb prímszám".

5. Érdemes lesz itt megemlíteni: ez a párhuzamossági posztulátum több régi Euklidész-kiadásban úgy szerepel mint "11. axióma". Ezért lett Bolyai János munkájának címe: "Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI. Euclidei, a priori haud unquam decidenda, independentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circuli geometrica."

6. Ha ti. a két szakasz egyenlő, akkor "középarányosuk" is egyenlő velük.

7. A II. 5. tételt az ún. "geometrikus algebrához" szokták sorolni.

8. Vigyázat! Nem cserélendő össze az Elemekben használt "gnómón" fogalom a napóra mutatójával, amelyről már szó volt ebben az Előszóban.

9. Igazában nincs lényeges különbség definíció, posztulátum és axióma között. E nevek ma már szinte tetszés szerint fölcserélhetők. A megkülönböztetés csak történeti szempontból lehet érdekes.